Jeżeli $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$, to równanie

nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą $x$.

Wiadomo, że proste $k$ i $l$ są równoległe. Wyznaczymy $x$.

R1E0KzSqZrBXI

Ilustracja przedstawia dwie półproste zaczynające się w jednym punkcie, pierwsza z nich jest pozioma natomiast druga jest poprowadzona pod kątem ostrym względem pierwszej. Przez obie półproste poprowadzono dwie równoległe proste, prosta k oraz prostą l dzielące obie półproste na dwa kawałki. W półprostej poziomej, pomiędzy początkiem a prostą k odcinek x dodać dwa, pomiędzy prostą k a prostą l odcinek x odjąć dwa. W półprostej poprowadzonej pod katem, pomiędzy początkiem a prostą k, odcinek x odjąć trzy oraz pomiędzy prostą k a prostą l odcinek x odjąć pięć.

Rozwiązanie:

Ponieważ proste $k$ i $l$ są równolegle, zatem korzystając z twierdzenia Talesa rozwiązujemy równanie:

$\frac{x+2}{x-2}=\frac{x-3}{x-5}$

Ponieważ rozpatrujemy długości odcinków, zatem do ustalenia dziedziny równania rozwiązujemy nierówności:

$x-2>0$, czyli $x>2$

$x-3>0$, czyli $x>3$

$x-5>0$, czyli $x>5$

$x+2>0$, czyli $x>-2$

Zatem $x\in \left(5,\infty \right)$.

Równanie $\frac{x+2}{x-2}=\frac{x-3}{x-5}$ przekształcamy do postaci:

$\left(x-5\right)·\left(x+2\right)=\left(x-3\right)·\left(x-2\right)$

$-3x-10=-5x+6$

$2x=16$

$x=8$

Obwód kwadratu jest równy $64 \mathrm{cm}$. Jeden bok tego kwadratu skrócono o $x \mathrm{cm}$, a drugi wydłużono o $x \mathrm{cm}$ i otrzymano prostokąt, w którym stosunek długości boków jest równy $\frac{3}{5}$. Obliczymy pole tego prostokąta.

Rozwiązanie:

Narysujmy kwadrat i prostokąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunkach.

R4D5qJRxqvhda

Ilustracja przedstawia dwa rysunki prostokątów. Pierwszy z nich jest kwadratem o boku a, natomiast figurą druga jest prostokąt o bokach a odjąć x oraz a dodać x.

Ponieważ obwód kwadratu jest równy $64 \mathrm{cm}$, zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie: $4·a=64$.

$a=16$

Jeżeli boki prostokąta pozostają w stosunku $3:5$, to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{16-x}{16+x}=\frac{3}{5}$

$5·\left(16-x\right)=3·\left(16+x\right)$

$80-5x=48+3x$

$-8x=-32$

$x=4$

Zauważmy, że $x>0$, $16-x>0$ oraz $16+x>0$.

Wobec tego $x\in \left(0,16\right)$.

Po uwzględnieniu dziedziny równania otrzymujemy, że $x=4$.

Zatem boki prostokąta mają długości $12 \mathrm{cm}$ i $20 \mathrm{cm}$.

Pole tego prostokąta jest równe $240 {\mathrm{cm}}^2$.

W trójkącie równobocznym każdy bok skrócono o $2 \mathrm{cm}$ i otrzymano nowy  trójkąt równoboczny. Stosunek długości boku otrzymanego  trójkąta do długości boku wyjściowego  trójkąta jest równy $3:4$. Obliczymy, o ile zmniejszyło się pole tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Narysujmy dwa trójkąty równoboczne i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższych rysunkach.

RG3xdq0KAYB20

Ilustracja przedstawia rysunki dwóch trójkątów równobocznych. Pierwszy z nich o boku x, oraz drugi trójkąt o boku x odjąć dwa.

Z treści zadania wynika następujące równanie, za pomocą którego wyznaczymy wartość $x$:

$\frac{x-2}{x}=\frac{3}{4}$

$4·\left(x-2\right)=3x$

$4x-8=3x$

$x=8$

Jeżeli $x=8$, to pole większego trójkąta równobocznego wynosi:

$P=\frac{8^2\cdot \sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3} \left({\mathrm{cm}}^2\right)$

$P=\frac{6^2\cdot \sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3} \left({\mathrm{cm}}^2\right)$

Zatem pole trójkąta zmniejszyło się o $7\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2$ .

W trapezie $ABCD$ przedstawionym na poniższym rysunku, dolna podstawa jest o $4$ dłuższa od górnej podstawy, a wysokość trójkąta $ABS$ jest o $6$ krótsza od górnej podstawy trapezu. Wysokość trapezu DSC jest równa 4,5. Obliczymy pole tego trapezu.

ReI9gGfWEBooe

Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Na rysunku zaznaczono również obie przekątne figury, przekątną A C oraz B D przecinające się w punkcie S. Powstał trójkąt S C D, z wierzchołka S upuszczono wysokość trójkąta o długości cztery przecinek pięć.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenia, zgodnie z danymi podanymi w treści zadania.

Rf1RG83RcSqNf

Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Na rysunku zaznaczono również obie przekątne figury, przekątną A C oraz B D przecinające się w punkcie S. Powstały dwa trójkąty, trójkąt S C D oraz trójkąt A B S. Z wierzchołka S upuszczono wysokość trójkąta S C D o długości cztery przecinek pięć oraz wysokość trójkąta A B S o długości x odjąć sześć. Odcinek A B  ma długość x dodać cztery, natomiast odcinek D C ma długość x.

Zauważmy, że trójkąty $ABS$ i $CDS$ są podobne, zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{x+4}{x}=\frac{x-6}{4,5}$

Zauważmy, że $x\in \left(6,\infty \right)$.

Wobec tego

$4,5·\left(x+4\right)=x·\left(x-6\right)$

$4,5x+18=x^2-6x$

$x^2-10,5x-18=0$

$2x^2-21x-36=0$

$\Delta ={\left(-21\right)}^2-4·2·\left(-36\right)=729$

$\sqrt{\Delta }=27$

$x_1=\frac{21-27}{4}=-\frac{3}{2}<0$

$x_2=\frac{21+27}{4}=12>6$

Niech $a$, $b$, $h$ będą odpowiednio długościami dłuższej i krótszej podstawy oraz wysokości trapezu.

Wówczas:

$a=16$

$b=12$

$h=10,5$

Zatem pole omawianego trapezu jest równe:

$P=\frac{1}{2}·\left(a+b\right)·h$

$P=\frac{1}{2}·\left(16+12\right)·10,5=147$

Wyznaczymy współrzędne punktu $P$ leżącego na prostej o równaniu $y=2x$, jeżeli punkt ten należy do odcinka o końcach $A=\left(8,0\right)$ oraz $B=\left(0,6\right)$.

Rozwiązanie:

Niech $P=\left(x,y\right)$.

Jeżeli punkt $P$ leży na prostej o równaniu $y=2x$, to $P=\left(x,2x\right)$.

Przedstawmy na rysunku sytuację opisaną w zadaniu.

R6Q2PVVmt2uXd

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus trzech do dziewięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do ośmiu. Na rysunku zaznaczono prostą A B gdzie punkt A ma współrzędne nawias osiem średnik zero koniec nawiasu, a punkt B nawias zero średnik sześć koniec nawiasu. Na odcinku zaznaczono punkt P o współrzędnych nawias x średnik dwa x koniec nawiasu. Współrzędne tego punktu zostały zrzutowane, na oś X w punkcie D o współrzędnych nawias x średnik zero koniec nawiasu. Powstał odciek P D o długości dwa x. Punkt P został także zrzutowany na pionową oś Y w punkcie C o współrzędnych nawias zero średnik dwa x koniec nawiasu i utworzył odcinek P C o długości x. Odcinek B C ma długość sześć minus dwa x natomiast odległość punktu B od początku układu współrzędnych wynosi sześc. Odcinek A D ma długość osiem odjąć x natomiast odległość punktu A od początku układu współrzędnych wynosi osiem.

Zauważmy, że trójkąty $DAP$ i $CPB$ są podobne oraz $x\in \left(0,3\right)$. Zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{6-2x}{2x}=\frac{x}{8-x}$

$\left(6-2x\right)·\left(8-x\right)=2x^2$

$48-6x-16x+2x^2=2x^2$

$22x=48$

$x=\frac{48}{22}=\frac{24}{11}$

Wobec tego punkt $P$ ma współrzędne:

$P=\left(\frac{24}{11},\frac{48}{11}\right)$.

równanie postaci

gdzie:
$W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)\ne 0$ – są wielomianami i wielomian P(x) nie jest wielomianem  zerowym