Przeczytaj

Zaczniemy od przypomnienia konstrukcji, dzięki której możemy otrzymać obraz danego punktu względem osi $X$ . Ilustracje poszczególnych kroków konstrukcji znajdują się poniżej.

Jeśli punkt $A$ leży na osi $X$ , to jego obraz $A'$ w symetrii względem osi $X$ jest równy $A$ .
R13hLUW9I19cV
Przez punkt $A$ nie leżący na osi $X$ , którego obraz w symetrii względem osi $X$ chcemy wyznaczyć, prowadzimy prostą $k$ prostopadłą do osi $X$ .
Punkt przecięcia osi $X$ i prostej $k$ oznaczmy przez $S$ .
Obraz $A'$ punktu $A$ w symetrii względem osi $X$ znajduje się na prostej $k$ w tej samej odległości od $S$ co punkt $A$ , ale po przeciwnej stronie osi $X$ niż punkt $A$ .
Punkt $A'$ można wyznaczyć jako punkt przecięcia okręgu o środku w punkcie $S$ i promieniu $|A S|$ z prostą $k$ .

R1NY0t4uOQBv8

Ilustracja pierwsza przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych zamalowaną kropką zaznaczony został punkt który jest podpisany literą A.

RlxDmQ7tq5WnS

Ilustracja druga przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych zamalowaną kropką zaznaczony został punkt który jest podpisany literą A. Przez punkt A prostopadle do osi x poprowadzona została prosta, która jest podpisana literą k.

RHLbFuADuTQKu

Ilustracja trzecia przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych zamalowaną kropką zaznaczony został punkt który jest podpisany literą A. Przez punkt A prostopadle do osi x poprowadzona została prosta, która jest podpisana literą k. Punkt przecięcia się prostej k z osią x został podpisany literą S i jest on środkiem okręgu, który przechodzi przez punkt A.

Rz7Z9Ro3fFg23

Ilustracja czwarta przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych zamalowaną kropką zaznaczony został punkt który jest podpisany literą A. Przez punkt A prostopadle do osi x poprowadzona została prosta, która jest podpisana literą k. Punkt przecięcia się prostej k z osią x został podpisany literą S i jest on środkiem okręgu, który przechodzi przez punkt A. W czwartej ćwiartce zaznaczony został punkt przecięcia się okręgu z prostą k, punkt ten podpisano A prim.

REDBJs3aq32nU

Ilustracja piąta przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych zamalowaną kropką zaznaczony został punkt który jest podpisany literą A. Współrzędne punktu a to początek nawiasu, xa, ya, zamknięcie nawiasu. Przez punkt A prostopadle do osi x poprowadzona została prosta, która jest podpisana literą k. Punkt przecięcia się prostej k z osią x został podpisany literą S i jest on środkiem okręgu, który przechodzi przez punkt A. W czwartej ćwiartce zaznaczony został punkt przecięcia się okręgu z prostą k, punkt ten podpisano A prim. Współrzędne punktu A prim to początek nawiasu, xa, -ya, zamknięcie nawiasu.

Można zauważyć, że:

ponieważ punkty $A$ i $A'$ leżą na prostej prostopadłej do osi $X$ , więc oba mają równe pierwsze współrzędne,

ponieważ punkty $A$ i $A'$ leżą w tej samej odległości od osi $X$ , więc wartości bezwzględne ich drugich współrzędnych są równe,

ponieważ punkty $A$ i $A'$ leżą po różnych stronach osi $X$ , więc ich drugie współrzędne mają różne znaki.

Zatem obrazem punktu $A$ o współrzędnych $(x, y)$ w symetrii względem osi $X$ jest punkt $A'$ o współrzędnych $(x, - y)$ .

Aby wyznaczyć obraz figury $F$ w symetrii względem osi $X$ , wyznaczamy obraz w symetrii względem osi $X$ każdego punktu należącego do figury $F$ . Zbiór obrazów wszystkich punktów figury $F$ tworzy obraz figury $F$ . Na rysunku poniżej zilustrowano odcinek $A B$ i jego obraz w symetrii względem osi $X$ .

RJW7PhfXDqRxj

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. Na płaszczyźnie linią przerywaną zaznaczone zostało pięć pionowych prostych. Wszystkie proste przechodzą przez pierwszą i czwartą ćwiartkę. Na pierwszej prostej w ćwiartce pierwszej zaznaczony został punkt A prim, a w ćwiartce czwartej punkt A. Na drugiej prostej w pierwszej ćwiartce zaznaczony został punkt X prim, a w ćwiartce czwartej punkt X. Na trzeciej prostej w ćwiartce pierwszej znajduje się punkt Y prim, a w ćwiartce czwartej punkt Y. Na czwartej prostej w pierwszej ćwiartce jest punkt Z, a w czwartej Z prim. Na piątej prostej w pierwszej ćwiartce mamy punkt B, a w czwartej ćwiartce punkt B prim. Litery bez oznaczenia primem, czyli A, X, Y, Z, B zostały zaznaczone kolorem niebieskim i połączone linią prostą. Wszystkie litery oznaczone primem, czyli kolejno: A prim, X prim, Y prim, Z prim i B prim, oznaczono na kolor zielony i również połączono ze sobą linią prostą. Odcinek zielony jest obrazem symetrii odcinka niebieskiego względem osi x.

Ponieważ symetria względem osi $X$ jest izometriąizometria płaszczyznyizometrią, można udowodnić, że obrazem odcinka/koła/wielokąta (dowolnej figury) jest odcinek/koło/wielokąt, przy czym obraz figury $F$ jest figurą przystającą do $F$ .
Zatem aby wyznaczyć obraz wielokąta $W$ w symetrii względem osi $X$ , wystarczy wyznaczyć obrazy wierzchołków danego wielokąta, a następnie połączyć je w odpowiedniej kolejności odcinkami. Otrzymana łamana ogranicza obraz wielokąta $W$ w symetrii względem osi $X$ .

R1RP7XlP4grDx

Ilustracja pierwsza przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowany został trójkąt o wierzchołkach A, B i C. Przy czym bok AB jest równoległy do osi x. Trójkąt jest zamalowany na kolor niebieski.

R1TLoAEvHm5DC

Ilustracja druga przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowany został trójkąt o wierzchołkach A, B i C. Przy czym bok AB jest równoległy do osi x. Przez każdy z punktów kolejno: A, C i B poprowadzona została przerywaną linią pionowa prosta równoległa do osi y. W odpowiednich odległościach od osi x w czwartej ćwiartce, na prostych pojawiły się punkty, kolejno: A prim, C prim i B prim.

R13DKnlmSlbN9

Ilustracja trzecia przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowany został trójkąt o wierzchołkach A, B i C. Przy czym bok AB jest równoległy do osi x. Przez każdy z punktów kolejno: A, C i B poprowadzona została przerywaną linią pionowa prosta równoległa do osi y. W odpowiednich odległościach od osi x w czwartej ćwiartce, na prostych pojawiły się punkty, kolejno: A prim, C prim i B prim. Punkty oznaczone primem zostały ze sobą połączone, tak że powstał z nich trójkąt.

R1Fov3S7S8l9W

Ilustracja czwarta przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowany został trójkąt o wierzchołkach A, B i C. Przy czym bok AB jest równoległy do osi x. Przez każdy z punktów kolejno: A, C i B poprowadzona została przerywaną linią pionowa prosta równoległa do osi y. W odpowiednich odległościach od osi x w czwartej ćwiartce, na prostych pojawiły się punkty, kolejno: A prim, C prim i B prim. Punkty oznaczone primem zostały ze sobą połączone, tak że powstał z nich trójkąt. Ostatnim krokiem jest wypełnienie powierzchni trójkąta znajdującego się w czwartej ćwiartce tak aby był pełnym obrazem symetrii trójkąta A, B, C względem osi x.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie obrazu prostej $y = \frac{3}{5} x + 3$ w symetrii względem osi $X$

Rozwiązanie

Obrazem prostej o równaniu $y = \frac{3}{5} x + 3$ w symetrii względem osi $X$ jest prosta o równaniu: $- y = \frac{3}{5} x + 3$ , zatem: $y = - \frac{3}{5} x - 3$ .

Zilustrujemy tę symetrię w układzie współrzędnych:

R62EXbOXBPdT3

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus siedmiu do trzech i pionową osią y od minus czterech do czterech Na płaszczyźnie zaznaczone zostały dwie proste. Pierwsza z nich przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus pięć średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przecina oś y w punkcie początek nawiasu zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Prosta ta jest podpisana równaniem: y=−35x−3 Druga prosta przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus pięć średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przecina oś y w punkcie początek nawiasu zero średnik trzy zamknięcie nawiasu. Prosta ta jest podpisana równaniem: y=35x+3.

Przykład 2

Wyznaczymy równanie obrazu figury o równaniu ${(2 x + 1)}^{2} + {(3 y - 2)}^{2} = 5$ w symetrii względem osi $X$

Rozwiązanie

Obrazem figury o równaniu ${(2 x + 1)}^{2} + {(3 y - 2)}^{2} = 5$ jest figura o równaniu ${(2 x + 1)}^{2} + {(- 3 y - 2)}^{2} = 5$ , czyli, po skorzystaniu z własności potęgi o wykładniku parzystym,

${(2 x + 1)}^{2} + {(3 y + 2)}^{2} = 5$ .

Dla pełni przekazu zobaczmy jeszcze, jak wyglądają wykresywykres równaniawykresy tych równań, które można otrzymać przy użyciu programu komputerowego:

RpgHT4HRGtHl7

Ilustracja pierwsza przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus jeden do dwa. Na płaszczyźnie narysowana została elipsa, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przechodzi przez środek współrzędnych. Dodatkowo elipsa przecina oś y blisko punktu początek nawiasu zero średnik jeden i pół zamknięcie nawiasu. Elipsa jest opisana wzorem 2x+12+3y−22=5.

Rex9O9XD9SgoL

Ilustracja druga przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus jeden do dwa. Na płaszczyźnie narysowana została elipsa, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przechodzi przez środek współrzędnych. Dodatkowo elipsa przecina oś y blisko punktu początek nawiasu zero średnik minus jeden i pół zamknięcie nawiasu. Elipsa jest opisana wzorem 2x+12+3y+22=5.

Przykład 3

Wyznaczymy obraz figury $F$ opisanej układem nierówności:

$\{\begin{cases} y \geq \frac{1}{2} x + 2 \\ y \leq - \frac{1}{4} x + \frac{7}{2} \\ y \leq \frac{1}{3} x + \frac{14}{3} \\ y \geq 4 x + 23 \end{cases}$

w symetrii względem osi $X$

Rozwiązanie

Figura $F$ opisana układem nierówności jest czworokątem. Jej obrazem w symetrii względem osi $X$ jest czworokąt $F'$ opisany układem nierówności:

$\{\begin{cases} y \leq - \frac{1}{2} x - 2 \\ y \geq \frac{1}{4} x - \frac{7}{2} \\ y \geq - \frac{1}{3} x - \frac{14}{3} \\ y \leq - 4 x - 23 \end{cases}$

Zilustrujemy tę symetrię w układzie współrzędnych:

R1QYfbg27jO2r

Przykład 4

Znajdziemy równanie obrazu figury $F$ o równaniu $|x + 2| + |y - 2| = 1$ w symetrii względem osi $X$ .

Niech punkt $A$ o współrzędnych $(x, y)$ należy do figury $F$ . Wówczas jego obraz $A' = (x', y')$ należy do obrazu $F'$ figury $F$ i zachodzi zależność:

$x' = x$ oraz $y' = - y$ .

Stąd $x = x'$ i $y = - y'$ .

Po podstawieniu wyznaczonych $x$ i $y$ do równania $|x + 2| + |y - 2| = 1$ , otrzymujemy równanie $|x' + 2| + |- y' - 2| = 1$ . Z własności wartości bezwzględnej wynika, że otrzymane równanie jest równoważne równaniu $|x' + 2| + |y' + 2| = 1$ .

Zatem otrzymaliśmy związek między współrzędnymi $(x', y')$ wszystkich punktów należących do figury $F'$ . Tę samą figurę tworzą punktu o współrzędnych $(x, y)$ spełniających równanie $|x + 2| + |y + 2| = 1$ .

Zinterpretujmy jeszcze rozważane zadanie graficznie.

Aby naszkicować figurę o równaniu $|x + 2| + |y - 2| = 1$ , możemy opuścić wartości bezwzględne rozważając cztery przypadki, które pojawiają się ze względu na znaki wyrażeń znajdujących się wewnątrz modułów:

$\{\begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ y - 2 \geq 0 \\ x + 2 + y - 2 = 1 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ y - 2 < 0 \\ x + 2 - (y - 2) = 1 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x + 2 < 0 \\ y - 2 \geq 0 \\ - (x + 2) + y - 2 = 1 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x + 2 < 0 \\ y - 2 < 0 \\ - (x + 2) - (y - 2) = 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x \geq - 2 \\ y \geq 2 \\ y = - x + 1 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x \geq - 2 \\ y < 2 \\ y = x + 3 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x < - 2 \\ y \geq 2 \\ y = x + 5 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x < - 2 \\ y < 2 \\ y = - x - 1 \end{cases}$
R4DF7F2df9C31 Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza o równaniu pozioma prosta $x = 2$ , druga pionowa prosta o równaniu $y = - 2$ i trzecia ukośna prosta która przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 1, zamknięcie nawiasu i oś x w punkcie początek 1, 0, zamknięcie nawiasu. Obszar znajdujący się powyżej pierwszej prostej jest zamalowany na kolor żółty. Obszar znajdujący się po prawej stronie drugiej prostej jest zaznaczony na kolor niebieski.	RRgKbeUe0m4L7 Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza pozioma prosta namalowana przerywaną linią o równaniu $x = 2$ , druga pionowa prosta o równaniu $y = - 2$ i trzecia ukośna prosta która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 3, 0, zamknięcie nawiasu i oś y w punkcie początek 0, 3, zamknięcie nawiasu. Obszar znajdujący się poniżej pierwszej prostej jest zamalowany na kolor żółty. Obszar znajdujący się po prawej stronie drugiej prostej jest zaznaczony na kolor niebieski.	RDYy6ZP6TjCkY Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza pozioma prosta o równaniu $x = 2$ , druga pionowa prosta namalowana linią przerywaną o równaniu $y = - 2$ i trzecia ukośna prosta która w całości znajduje się w drugiej ćwiartce i ma tendencję rosnącą. Obszar znajdujący się powyżej pierwszej prostej jest zamalowany na kolor żółty. Obszar znajdujący się po lewej stronie drugiej prostej jest zaznaczony na kolor niebieski.	R18bj2CqPW7DZ Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza pozioma prosta namalowana przerywaną linią o równaniu $x = 2$ , druga pionowa prosta również namalowana przerywaną lnią o równaniu $y = - 2$ i trzecia ukośna prosta która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 1, 0, zamknięcie nawiasu i oś y w punkcie początek nawiasu 0, minus 1, zamknięcie nawiasu. Obszar znajdujący się poniżej pierwszej prostej jest zamalowany na kolor żółty. Obszar znajdujący się po lewej stronie drugiej prostej jest zaznaczony na kolor niebieski.
R5GehhRS8ZbJt Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczony został odcinek zaczynający się punkcie zaznaczonym zamalowaną kropką o współrzędnych początek nawiasu, minus 2,3, zamknięcie nawiasu, a kończący się w punkcie początek nawiasu, minus 1,2, zamknięcie nawiasu, który również został zaznaczony zamalowaną kropką.	R1QP9WBnt1ISp Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczony został odcinek zaczynający się punkcie zaznaczonym zamalowaną kropką o współrzędnych początek nawiasu, minus 2,1, zamknięcie nawiasu, a kończący się w punkcie początek nawiasu, minus 1,2, zamknięcie nawiasu, który został zaznaczony niezamalowaną kropką.	R1bpdRXtUSzl4 Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczony został odcinek zaczynający się punkcie zaznaczonym zamalowaną kropką o współrzędnych początek nawiasu, minus 3,2, zamknięcie nawiasu, a kończący się w punkcie początek nawiasu, minus 2,3, zamknięcie nawiasu, który został zaznaczony niezamalowaną kropką.	R97rbRqfGa1CG Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczony został odcinek zaczynający się punkcie zaznaczonym niezamalowaną kropką o współrzędnych początek nawiasu, minus 3,2, zamknięcie nawiasu, a kończący się w punkcie początek nawiasu, minus 2,1, zamknięcie nawiasu, który również został zaznaczony niezamalowaną kropką.

Zatem ilustracja graficzna równania $|x + 2| + |y - 2| = 1$ to:

R18uPe4jxYCAE

Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie narysowany został romb, którego wierzchołki mają następujące współrzędne: początek nawiasu, minus 3,2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2,3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2,1, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 1,2, zamknięcie nawiasu.

Analogicznie można narysować zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają równanie $|x + 2| + |y + 2| = 1$ :

RkhUBBOR1mQk9

Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany został romb, którego wierzchołki mają następujące współrzędne: początek nawiasu, minus 3,minus 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2,minus1, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 1, minus 2, zamknięcie nawiasu.

Narysujmy jeszcze obie figury w tym samym układzie współrzędnych:

R1NhJLz0armj9

Powyższy przykład możemy podsumować w następujący sposób:

Jeśli figura $F$ opisana jest równaniem $f (x, y) = 0$ , to obraz $F'$ figury $F$ przez symetrię względem osi $X$ opisuje się równaniem $f (x, - y) = 0$ . Zatem aby otrzymać równanie obrazu figury o danym wzorze, wystarczy w tym wzorze w miejsce zmiennej $y$ podstawić $(- y)$ .

Niech $P$ będzie przekształceniem płaszczyzny $π$ . Wówczas przez $P (X)$ będziemy oznaczać obraz punktu $X$ przez przekształcenie $P$ .

Ciekawostka

Mówimy, że przekształcenie $P$ płaszczyzny jest inwolucją, jeśli dla każdego punktu $X$ płaszczyzny zachodzi równość $P (P (X)) = X$ .

Mówimy, że $R$ jest przekształceniem odwrotnym do przekształcenia $P$ , jeśli dla dowolnego punktu $X$ płaszczyzny zachodzi równość

$P (R (X)) = R (P (X)) = X$ .

Piszemy wówczas $R = P^{- 1}$ .

Zatem $P^{- 1} (P (x)) = P (P^{- 1} (X)) = X$ dla dowolnego punktu $X$ rozważanej płaszczyzny.

Można zauważyć, że przekształcenie $P$ jest inwolucjąinwolucjainwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy jest równe swojemu przekształceniu odwrotnemu.

Niech $S_{X}$ oznacza symetrię względem osi $X$ . Możemy zapisać $S_{X} ((a, b)) = (a, - b)$ . Wówczas $S_{X} (S_{X} ((a, b))) = S_{X} ((a, - b)) = (a, - (- b)) = (a, b)$ , czyli symetria względem osi $X$ jest inwolucją.

Słownik

wykres równania

zbiór wszystkich punktów o współrzędnych $(x, y)$ , które spełniają dane równanie

izometria płaszczyzny

przekształcenie płaszczyzny, które dowolnym punktom $X$ i $Y$ przyporządkowują takie punkty $X'$ i $Y'$ , dla których odległość $X'$ od $Y'$ jest równa odległości $X$ od $Y$

inwolucja

takie przekształcenie płaszczyzny, które jest odwrotne samo do siebie

Wprowadzenie

Aplet

Słownik