Przeczytaj
Jeśli bok kwadratu ma długość , to jego pole jest równe . Jeśli krawędź sześcianu ma długość , to jego objętość jest równa .
Problem ten można odwrócić.
Oznaczmy przez przekątną kwadratu o boku .
Kwadrat o boku składa się z czterech trójkątów o polu każdy, więc ma pole równe . Zatem , czyli .
Pierwiastkiem drugiego stopnia (kwadratowym) z liczby rzeczywistej nazywamy taką liczbę , że:
Piszemy wówczas: .
Należy zwrócić uwagę, że w definicji pierwiastka drugiego stopnia przyjmujemy , ponieważ nie ma takiej liczby rzeczywistej , której kwadrat jest ujemny.
Równanie , dla ma dwa rozwiązania. To z nich, które jest dodatnie, nazywamy - zgodnie z powyższą definicją – pierwiastkiem kwadratowym liczbypierwiastkiem kwadratowym liczby i oznaczamy .
Drugim rozwiązaniem jest liczba ujemna . Przyjęta w definicji umowa, według której pierwiastki kwadratowe są zawsze nieujemne, ma tę zaletę, że mówiąc „pierwiastek z liczby dodatniej ”, określamy pewną liczbę rzeczywistą w sposób jednoznaczny.
Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność , więc dla każdego określone jest wyrażenie .
Ponadto dla dowolnej liczby rzeczywistej prawdziwa jest równość .
Z definicji pierwiastka kwadratowego otrzymujemy stąd, że:
dla każdego zachodzi równość ,
dla każdego zachodzi równość .
Powyższe spostrzeżenia można również zapisać używając symbolu wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej:
dla dowolnej liczby rzeczywistej .
Fakt, że liczba nie jest liczbą wymierną, można wykazać następująco:
Przypuśćmy, że dla pewnych dodatnich liczb naturalnych i . Wtedy zachodzi równość , co jednak nie jest możliwe, bo w rozkładzie na czynniki pierwsze lewej strony tej równości liczba występuje parzystą liczbę razy, a w rozkładzie prawej strony – nieparzystą liczbę razy.
Liczba jest kwadratem dwóch liczb rzeczywistych.
Jedną z nich jest , czyli , a drugą jest , gdyż .
Dwie liczby, których kwadratem jest , to i , gdyż .
W przeciwieństwie do pierwiastka kwadratowegopierwiastka kwadratowego pierwiastek stopnia trzeciegopierwiastek stopnia trzeciego można określić już dla dowolnej liczby rzeczywistej.
Pierwiastkiem trzeciego stopnia (sześciennym) z liczby rzeczywistej nazywamy taką liczbę , że: .
Piszemy wówczas: .
Równanie ma dla dowolnego tylko jedno rozwiązanie, którym jest liczba .
, gdyż
, gdyż
Definicje pierwiastka kwadratowego i sześciennegosześciennego można uogólnić na pierwiastki wyższych stopni. Zaczniemy od definicji takich pierwiastków z liczb nieujemnych.
Niech będzie liczbą naturalną. Pierwiastkiem – tego stopnia z liczby rzeczywistej , nazywamy taką liczbę , że: .
Piszemy wówczas: .
, gdyż .
, gdyż .
Możemy także określić pierwiastki z liczb ujemnych, jeżeli są to pierwiastki stopnia nieparzystego.
Załóżmy, że liczba naturalna jest nieparzysta. Pierwiastkiem – tego stopnia z liczby rzeczywistej , nazywamy taką liczbę , że: .
Piszemy wówczas: .
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można skonstruować rozmaite odcinki, których długości są pierwiastkami kwadratowymi z liczb naturalnych. Odcinki takie znajdziemy np. w sześcianie o objętości (rysunek u góry), ale najefektowniejszą serię takich odcinków uzyskuje się w sposób zilustrowany poniżej.
, gdyż .
, gdyż .
Bezpośrednio z definicji pierwiastka wynika, że: , jeśli tylko pierwiastek – tego stopnia z jest określony.
Zobaczymy teraz, jak operować liczbami rzeczywistymi w postaci pierwiastków.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych i oraz dowolnej liczby naturalnej zachodzi wzór: .
Ponadto, jeśli , to: .
Jeśli , to .
A zatem .
W podobny sposób udowadniamy drugi z powyższych wzorów.
oraz
oraz .
Powyższe twierdzenie przydaje się często do wyłączania czynnika przed znak pierwiastka, jak pokazują to poniższe przykłady.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej i dowolnych liczb naturalnych oraz zachodzi wzór: .
Niech . Oznacza to, że jest jedyną taką liczbą dodatnią, że .
Niech teraz . Wtedy: oraz .
Stąd jest dodatnią liczbą rzeczywistą taką, że .
A zatem .
Zachodzą równości: oraz .
Słownik
czyli pierwiastek kwadratowy z liczby rzeczywistej , to taka liczba , która spełnia warunek: . Piszemy wówczas:
czyli pierwiastek sześcienny z liczby rzeczywistej . to taka liczba , która spełnia warunek: . Piszemy wówczas:
wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest równa:
, dla ,
, dla