Przeczytaj

Już wiesz

Jeśli bok kwadratu ma długość $a$ , to jego pole jest równe $a^{2}$ . Jeśli krawędź sześcianu ma długość $a$ , to jego objętość jest równa $a^{3}$ .

Problem ten można odwrócić.

Przykład 1

Oznaczmy przez $x$ przekątną kwadratu o boku $1$ .

RtFLtugeZs0v9

Ilustracja przedstawia 4 przystające kwadraty o boku jeden. Zaznaczono ich przekątne tworząc kwadrat o boku x.

Kwadrat o boku $x$ składa się z czterech trójkątów o polu $\frac{1}{2}$ każdy, więc ma pole równe $2$ . Zatem $x^{2} = 2$ , czyli $x = \sqrt{2}$ .

pierwiastek drugiego stopnia

Definicja: pierwiastek drugiego stopnia

Pierwiastkiem drugiego stopnia (kwadratowym) z liczby rzeczywistej $a\geq 0$ nazywamy taką liczbę $x\geq 0$ , że: $x^{2} = a$

Piszemy wówczas: $x = \sqrt{a}$ .

Uwaga!

Należy zwrócić uwagę, że w definicji pierwiastka drugiego stopnia przyjmujemy $a\geq 0$ , ponieważ nie ma takiej liczby rzeczywistej $x$ , której kwadrat jest ujemny.

Uwaga!

Równanie $x^{2} = a$ , dla $a > 0$ ma dwa rozwiązania. To z nich, które jest dodatnie, nazywamy - zgodnie z powyższą definicją – pierwiastkiem kwadratowym liczbypierwiastek drugiego stopnia z liczbypierwiastkiem kwadratowym liczby $a$ i oznaczamy $\sqrt{a}$ .

Drugim rozwiązaniem jest liczba ujemna $(- \sqrt{a})$ . Przyjęta w definicji umowa, według której pierwiastki kwadratowe są zawsze nieujemne, ma tę zaletę, że mówiąc „pierwiastek z liczby dodatniej $a$ ”, określamy pewną liczbę rzeczywistą w sposób jednoznaczny.

Uwaga!

Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^2\geq 0$ , więc dla każdego $x$ określone jest wyrażenie $\sqrt{x^{2}}$ .

Ponadto dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest równość $x^{2} = {(- x)}^{2}$ .

Z definicji pierwiastka kwadratowego otrzymujemy stąd, że:

dla każdego $x\geq 0$ zachodzi równość $\sqrt{x^{2}} = x$ ,
dla każdego $x < 0$ zachodzi równość $\sqrt{x^{2}} = - x$ .

Powyższe spostrzeżenia można również zapisać używając symbolu wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej:

$\sqrt{x^{2}} = |x|$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

Dla zainteresowanych

Fakt, że liczba $\sqrt{2}$ nie jest liczbą wymierną, można wykazać następująco:

Przypuśćmy, że $\frac{p}{q} = \sqrt{2}$ dla pewnych dodatnich liczb naturalnych $p$ i $q$ . Wtedy zachodzi równość $p^{2} = 2 q^{2}$ , co jednak nie jest możliwe, bo w rozkładzie na czynniki pierwsze lewej strony tej równości liczba $2$ występuje parzystą liczbę razy, a w rozkładzie prawej strony – nieparzystą liczbę razy.

Przykład 2

Liczba $169$ jest kwadratem dwóch liczb rzeczywistych.

Jedną z nich jest $\sqrt{169}$ , czyli $13$ , a drugą jest $- \sqrt{169} = - 13$ , gdyż $13^{2} = {(- 13)}^{2} = 169$ .

Przykład 3

Dwie liczby, których kwadratem jest $7$ , to $\sqrt{7}$ i $- \sqrt{7}$ , gdyż ${\sqrt{7}}^{2} = {(- \sqrt{7})}^{2} = 7$ .

W przeciwieństwie do pierwiastka kwadratowegopierwiastek drugiego stopnia z liczbypierwiastka kwadratowego pierwiastek stopnia trzeciegopierwiastek trzeciego stopnia z liczbypierwiastek stopnia trzeciego można określić już dla dowolnej liczby rzeczywistej.

pierwiastek trzeciego stopnia

Definicja: pierwiastek trzeciego stopnia

Pierwiastkiem trzeciego stopnia (sześciennym) z liczby rzeczywistej $a$ nazywamy taką liczbę $x$ , że: $x^{3} = a$ .

Piszemy wówczas: $x = \sqrt[3]{a}$ .

Uwaga!

Równanie $x^{3} = a$ ma dla dowolnego $a$ tylko jedno rozwiązanie, którym jest liczba $\sqrt[3]{a}$ .

Przykład 4

$\sqrt[3]{64} = 4$ , gdyż $4^{3} = 64$

$\sqrt[3]{- 64} = - 4$ , gdyż ${(- 4)}^{3} = - 64$

Definicje pierwiastka kwadratowego i sześciennegopierwiastek trzeciego stopnia z liczbysześciennego można uogólnić na pierwiastki wyższych stopni. Zaczniemy od definicji takich pierwiastków z liczb nieujemnych.

pierwiastek

n

– tego stopnia

Definicja: pierwiastek

n

– tego stopnia

Niech $n\geq 2$ będzie liczbą naturalną. Pierwiastkiem $n$ – tego stopnia z liczby rzeczywistej $a\geq 0$ , nazywamy taką liczbę $x\geq 0$ , że: $x^{n} = a$ .

Piszemy wówczas: $x = \sqrt[n]{a}$ .

Przykład 5

$\sqrt[4]{81} = 3$ , gdyż $3^{4} = 81$ .

$\sqrt[5]{32} = 2$ , gdyż $2^{5} = 32$ .

Możemy także określić pierwiastki z liczb ujemnych, jeżeli są to pierwiastki stopnia nieparzystego.

pierwiastek stopnia nieparzystego

Definicja: pierwiastek stopnia nieparzystego

Załóżmy, że liczba naturalna $n > 1$ jest nieparzysta. Pierwiastkiem $n$ – tego stopnia z liczby rzeczywistej $a$ , nazywamy taką liczbę $x$ , że: $x^{n} = a$ .

Piszemy wówczas: $x = \sqrt[n]{a}$ .

Dla zainteresowanych

RbSVjUAlg9aeg

Ilustracja przedstawia sześcian o boku jeden. Przekątna sześcianu wynosi 3, a przekątna podstawy wynosi 2.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można skonstruować rozmaite odcinki, których długości są pierwiastkami kwadratowymi z liczb naturalnych. Odcinki takie znajdziemy np. w sześcianie o objętości $1$ (rysunek u góry), ale najefektowniejszą serię takich odcinków uzyskuje się w sposób zilustrowany poniżej.

R1QK2zDJRz7Sf

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych jeden. Do przeciwprostokątnej o mierze 2 dołączono przystający trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 2 i jeden oraz przeciwprostokątnej równej 3. Do przeciwprostokątnej dołączono kolejny przystający trójkąt o przyprostokątnych równych 3 i jeden oraz przeciwprostokątnej równej 4. Do przeciwprostokątnej dołączono ostatni trójkąt o przyprostokątnej równej 1 oraz 4 i przeciwprostokątnej równej 5.

Przykład 6

$\sqrt[5]{- 32} = - 2$ , gdyż ${(- 2)}^{5} = - 32$ .

$\sqrt[11]{- 1} = - 1$ , gdyż ${(- 1)}^{11} = - 1$ .

Uwaga!

Bezpośrednio z definicji pierwiastka wynika, że: ${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a$ , jeśli tylko pierwiastek $n$ – tego stopnia z $a$ jest określony.

Zobaczymy teraz, jak operować liczbami rzeczywistymi w postaci pierwiastków.

o mnożeniu pierwiastków tego samego stopnia

Twierdzenie: o mnożeniu pierwiastków tego samego stopnia

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a\geq 0$ i $b\geq 0$ oraz dowolnej liczby naturalnej $n\geq 2$ zachodzi wzór: $\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ .

Ponadto, jeśli $b \neq 0$ , to: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ .

Dowód

Jeśli $x = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ , to $x^{n} = {(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})}^{n} = {(\sqrt[n]{a})}^{n} \cdot {(\sqrt[n]{b})}^{n} = a b$ .

A zatem $x = \sqrt[n]{a b}$ .

W podobny sposób udowadniamy drugi z powyższych wzorów.

Przykład 7

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{21}$ oraz $\sqrt[11]{8} \cdot \sqrt[11]{3} = \sqrt[11]{24}$

$\sqrt{10} : \sqrt{2} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{5}$ oraz $\sqrt[5]{160} : \sqrt[5]{5} = \sqrt[5]{\frac{160}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2$ .

Powyższe twierdzenie przydaje się często do wyłączania czynnika przed znak pierwiastka, jak pokazują to poniższe przykłady.

Przykład 8

$\sqrt{275} = \sqrt{25 \cdot 11} = \sqrt{5^{2} \cdot 11} = \sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt{11} = 5 \sqrt{11}$

Przykład 9

$\sqrt[4]{405} = \sqrt[4]{81 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^{4} \cdot 5} = \sqrt[4]{3^{4}} \cdot \sqrt[4]{5} = 3 \sqrt[4]{5}$

o pierwiastkowniu pierwiastków

Twierdzenie: o pierwiastkowniu pierwiastków

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a\geq 0$ i dowolnych liczb naturalnych $m > 1$ oraz $n > 1$ zachodzi wzór: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m m]{a}$ .

Dowód

Niech $x = \sqrt[m n]{a}$ . Oznacza to, że $x$ jest jedyną taką liczbą dodatnią, że $x^{m n} = a$ .
Niech teraz $y = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ . Wtedy: $y > 0$ oraz $y^{n m} = {(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}})}^{m n} = {(\sqrt[n]{a})}^{n} = a$ .
Stąd $y$ jest dodatnią liczbą rzeczywistą taką, że $y^{m n} = a$ .

A zatem $x = y$ .

Przykład 10

Zachodzą równości: $\sqrt[3]{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[12]{5}$ oraz $\sqrt[7]{\sqrt[7]{10}} = \sqrt[49]{10}$ .

Słownik

pierwiastek drugiego stopnia z liczby

czyli pierwiastek kwadratowy z liczby rzeczywistej $a\geq 0$ , to taka liczba $x\geq 0$ , która spełnia warunek: $x^{2} = a$ . Piszemy wówczas: $x = \sqrt{a}$

pierwiastek trzeciego stopnia z liczby

czyli pierwiastek sześcienny z liczby rzeczywistej $a$ . to taka liczba $x$ , która spełnia warunek: $x^{3} = a$ . Piszemy wówczas: $x = \sqrt[3]{a}$

wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

wartość bezwzględna $|x|$ liczby rzeczywistej $x$ jest równa:

$x$ , dla $x\geq 0$ ,
$- x$ , dla $x < 0$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik