Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^3-x^2-x$ w punkcie $\left(0,0\right)$.

Rozwiązanie

Pochodna funkcji $f$ jest równa: $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-2x-1$, więc $f\text{'}\left(0\right)=-1$, zatem równanie stycznej ma postać:

$y=-1·\left(x-0\right)+0$,

czyli

$y=-x$.

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji $f\left(x\right)=1-x^3$ w punkcie $\left(0,1\right)$.

Rozwiązanie

Mamy $f\text{'}\left(x\right)=-3x^2$, więc współczynnik kierunkowy stycznej będzie równy $a=f\text{'}\left(0\right)=0$, zatem styczna w tym punkcie będzie równoległa do osi $X$ i jej równanie będzie postaci:

$y=1$.

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^2$ tak, by jej współczynnik kierunkowy był równy $6$.

Rozwiązanie

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie $\left(x_0,y_0\right)$ jest równy $a=f\text{'}\left(x_0\right)$, musimy zatem znaleźć taką wartość $x_0$, żeby $a=6$.

Pochodna funkcji $f$ jest postaci $f\text{'}\left(x\right)=2x$, czyli otrzymujemy równanie $2x_0=6$, którego rozwiązaniem jest $x_0=3$.

Styczna w punkcie$\left(x_0,y_0\right)=\left(3,9\right)$ jest postaci $y=6\left(x-3\right)+9$, czyli: $y=6x-9$.

Wyznaczymy równania takich stycznych do wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^3-2x$, których współczynnik kierunkowy jest równy $10$. Sprawdzimy również, czy istnieją styczne, których współczynnik kierunkowy jest równy $\left(-10\right)$.

Rozwiązanie

Podobnie, jak poprzednio, musimy znaleźć takie argumenty, dla których pochodna jest równa $10$.

Pochodna funkcji $f$ jest postaci $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-2$, zatem musimy rozwiązać równanie:

$3x^2-2=10$,

co daje:

$x^2=4$.

Rozwiązaniami równania są liczby $\left(-2\right)$ i $2$, istnieją więc dwie takie styczne, które spełniają założenia zadania.

Będą to:

$y=10\left(x+2\right)-4$, czyli $y=10x+16$,

i

$y=10\left(x-2\right)+4$, czyli $y=10x-16$.

Spróbujmy teraz wyznaczyć równania stycznych, których współczynnik kierunkowy jest równy $\left(-10\right)$.

Musimy w tym celu rozwiązać równanie $3x^2-2=-10$, czyli $x^2=-\frac{8}{3}$. Równanie to nie ma rozwiązania rzeczywistego, zatem nie istnieją takie styczne.

Jeżeli przeanalizujemy wykres funkcji $f$, to zauważymy, że najmniejszą wartość ma współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $\left(0,0\right)$ i wynosi on $f\text{'}\left(0\right)=-2$.

R1YCXexwTztRS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 2 do dwóch oraz osią poziomą od minus 3 do trzech. Przez drugą oraz trzecią ćwiartkę przechodzi prosta o równaniu $y=10x+16$ mająca miejsce zerowe w punkcie pomiędzy minus 2 oraz minus jeden. Przez pierwszą oraz czwartą ćwiartkę przebiega prosta o równaniu $y=10x-16$ mająca miejsce zerowe w punkcie pomiędzy 2 oraz jeden. Pomiędzy prostymi przechodzi wykres funkcji o wzorze $y=x^3-2x$. Funkcja rośnie do punktu niedaleko punktu $\left(-1;1\right)$, następnie maleje do punktu niedaleko $\left(1;-1\right)$, następnie rośnie tak, że graniczy z prostą w pierwszej ćwiartce.

Wyznaczymy równania takich stycznych do wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^2-3$, które przechodzą przez punkt $\left(0,-4\right)$.

Rozwiązanie

Założenie zadania oznacza, że współczynnik $b$ wynosi $\left(-4\right)$, czyli równanie stycznej będzie postaci $y=ax-4$.

Prosta ta musi przechodzić nie tylko przez zadany punkt $\left(0,-4\right)$, ale również przez punkt styczności $\left(x_0,y_0\right)$, czyli musi być spełniony warunek $y_0=a{x}_0-4$.

Przez punkt styczności musi również przechodzić wykres funkcji $f$, czyli $y_0=f\left(x_0\right)=x_0^2-3$.

Współczynnik kierunkowy $a$ wyznaczamy ze wzoru na pochodną $f\text{'}\left(x\right)=2x$, czyli $a=2x_0$.

Ostatecznie, łącząc powyższe informacje, otrzymujemy równanie, zawierające tylko jedną niewiadomą, postaci:

$x_0^2-3=2x_0·x_0-4$,

po redukcji wyrazów podobnych:

$x_0^2=1$.

Otrzymujemy dwa rozwiązania: $x_0=1$ lub $x_0=-1$.

Wyznaczamy równania stycznych przechodzących przez punkt $\left(0,-4\right)$:

$y=-2x-4$ i  $y=2x-4$.

Rp6ygNgxGrvzU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 4 do dwóch oraz z osią poziomą od minus 3 do trzech. Zaznaczono na nim dwie proste przecinające się w punkcie $\left(0;-1\right)$. Proste są styczne do paraboli o wzorze $y=x^2-3$. Parabola ma ramiona skierowane w górę oraz wierzchołek w punkcie $\left(0;-3\right)$. Punkty styczności to $\left(-1;-2\right)$ oraz $\left(1;-2\right)$.

Rozpatrzmy funkcję $f\left(x\right)=x^3$, jej pochodna jest równa $f\text{'}\left(x\right)=3x^2$, zatem współczynnik kierunkowy prostej stycznej w punkcie $\left(x_0,y_0\right)$ będzie równy $a=3x_0^2$, i wzór prostej stycznej będzie miał postać:

$y=3x_0^2·\left(x-x_0\right)+x_0^3$

Zastanówmy się, czy istnieje inny punkt $\left(x_1,y_1\right)$, należący do wykresu funkcji $f$, przez który przechodzi ta styczna.

Rozwiązanie

Punkt $\left(x_1,y_1\right)$ musi należeć do wykresu funkcji $f$, zatem wiemy, że $y_1=x_1^3$.

Ponadto punkt ten musi należeć do wyznaczonej stycznej, zatem wiemy, że:

$y_1=3x_0^2·\left(x_1-x_0\right)+x_0^3$.

Łącząc te dwa fakty otrzymujemy równanie:

$3x_0^2·\left(x_1-x_0\right)+x_0^3=x_1^3$.

Po uporządkowaniu wyrazów i wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias równanie to przyjmuje postać:

${\left(x_1-x_0\right)}^2\left(x_1+2x_0\right)=0$,

czyli albo $x_1=x_0$, co jest oczywistym rozwiązaniem tego równania, albo $x_1=-2x_0$.

Otrzymaliśmy zatem drugi punkt przecięcia stycznej z wykresem funkcji: $\left(x_1,y_1\right)=\left(-2x_0,-8x_0^3\right)$, przy czym punkt ten ponownie pokrywa się z punktem $\left(x_0,y_0\right)$, gdy $x_0=0$.

Wykażemy, że nie istnieje styczna do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\left|2x-1\right|$ w punkcie $\left(\frac{1}{2},0\right)$.

Rozwiązanie

oczywiście nie istnieje pochodna funkcji $f\left(x\right)=\left|2x-1\right|$ w punkcie $\left(\frac{1}{2},0\right)$, zatem nie możemy wykorzystać równania stycznej.

Wyznaczamy zatem sieczne do wykresu tej funkcji w pobliżu punktu $\left(\frac{1}{2},0\right)$:

• jeżeli będziemy się do niego zbliżać z lewej strony, sieczne zawsze będą tej samej postaci: $y=$ -2x+1$$,

• gdy będziemy się zbliżać z prawej strony, to przyjmą inną, ale również cały czas tę samą postać: $y=$ 2x-1$$.

Tym samym nie istnieje możliwość ustalenia jednej stycznej, czyli takiej, która będzie miała w okolicy wyznaczonego punktu jeden punkt wspólny z wykresem oraz której wykres będzie przebiegał podobnie do wykresu funkcji.

Zatem, styczna do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\left|2x-1\right|$ w punkcie $\left(\frac{1}{2},0\right)$ nie istnieje.

prosta, która w małym otoczeniu tego punktu ma przebieg zbliżony do przebiegu krzywej oraz ma w tym otoczeniu dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą