Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą galerią zdjęć interaktywnych i przeanalizuj raz jeszcze sposób wyznaczania stycznej do wykresu wielomianu i funkcji wymiernej.

R1D7mBvy4JOFq

R1PfvlugpEnwl

R1dMkniSqqfHe

R1AGA3PDK0FfI

R1ABF2bY4WrRu

Polecenie 2

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f (x) = - 2 x^{6} + 4 x^{3} - x - 1$ w punkcie o odciętej $x_{0} = - 1$ .

Obliczamy $f (x_{0})$ :

$f (- 1) = - 2 \cdot {(- 1)}^{6} + 4 \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1) - 1 = - 2 - 4 + 1 - 1 = - 6$

Wyznaczamy pochodną funkcji $f$ i jej wartość dla $x_{0} = - 1$ :

$f^{'} (x) = - 12 x^{5} + 12 x^{2} - 1$ i $f^{'} (- 1) = - 12 \cdot {(- 1)}^{5} + 12 \cdot {(- 1)}^{2} - 1 = 12 + 12 - 1 = 23$

Zatem styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie o odciętej $x_{0} = - 1$ ma równanie:

$y = 23 (x - (- 1)) - 6$

stąd:

$y = 23 x + 17$ .

Polecenie 3

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ; $x \in ℝ$ w punkcie $(- 3; - 0, 3)$ .

Równanie stycznej ma postać: $y = f' (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$

Oczywiście: $x_{0} = - 3$ ; $f (x_{0}) = - 0, 3$

Wyznaczamy pochodną funkcji $f$ :

$f' (x) = \frac{1 (x^{2} + 1) - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

a następnie:

$f' (x_{0}) = f' (- 3) = \frac{1 - {(- 3)}^{2}}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{2}} = - 0, 08$

Zatem równanie stycznej ma postać:

$y = - 0, 08 (x + 3) - 0, 3$

$y = - 0, 08 x - 0, 54$ .

Przeczytaj

Sprawdź się