Przeczytaj

Wykres funkcji wykładniczej określonej wzorem $f (x) = a^{x}$ , gdzie $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ oraz $x \in ℝ$ możemy przesuwać w górę lub w dół wzdłuż osi $Y$ układu współrzędnych. Omówimy także przesunięcie tego wykresu w prawo lub w lewo wzdłuż osi $X$ układu współrzędnych.

przekształcenie wykresu funkcji

f (x - p)

Definicja: przekształcenie wykresu funkcji

f (x - p)

Przekształcenie wykresu funkcji $f (x - p)$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $f (x)$ o $p$ jednostek w prawo dla $p > 0$ lub $p$ jednostek w lewo dla $p < 0$ .

Rozpatrzmy funkcje określone wzorami $f (x) = 3^{x}$ oraz $g (x) = 3^{x - 2}$ .

Tabele wartości tych funkcji dla niektórych argumentów przedstawiają się następująco:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$g (x)$	$\frac{1}{81}$	$\frac{1}{27}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$

Wykresy tych funkcji naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych:

Re5xXvwzcqEa1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Wykresy obu funkcji, czyli f oraz g leżą w pierwszej i drugiej ćwiartce. Obie funkcje są funkcjami potęgowymi. Funkcja f przecina oś Y standardowo, czyli w punkcie 1, natomiast funkcja g ma podobny kształt, przy czym jest przesunięta w prawo o dwie jednostki. Oś pozioma X jest asymptotą dla obu wykresów.

Zauważmy, że wykres funkcji $g$ możemy otrzymać poprzez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $2$ jednostki w prawo.

Porównajmy niektóre własności funkcji $f$ i $g$ :

funkcje $f$ oraz $g$ mają tę samą dziedzinę i te same zbiory wartości,
wykres funkcji $f$ przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0, 1)$ , zaś wykres funkcji $g$ przez punkt o współrzędnych $(2, 1)$ ,
funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od $1$ dla argumentów większych od $0$ , zaś funkcja $g$ przyjmuje wartości większe od $1$ dla argumentów większych od $2$ ,
funkcje $f$ oraz $g$ nie mają miejsc zerowych.

Dla wykresów funkcji określonych wzorami $f (x) = a^{x}$ oraz $g (x) = a^{x - p}$ zachodzą następujące własności:

funkcje mają te same dziedziny oraz zbiory wartości,
asymptotą ich wykresów jest ta sama prosta $y = 0$ ,
dla $a \in (1, \infty)$ funkcje $f$ i $g$ są rosnące,
dla $a \in (0, 1)$ funkcje $f$ i $g$ są malejące.

Przesunięcie wykresu funkcji wykładniczejfunkcja wykładniczafunkcji wykładniczej wzdłuż osi odciętych układu współrzędnych powoduje zmianę wzoru tej funkcji.

Przykład 1

W tabeli przedstawiono przesunięcia oraz odpowiadające im wzory funkcji, które otrzymujemy przez przekształcenie wykresu funkcjiprzekształcenie wykresu funkcji $f (x) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{x}$ .

przesunięcie o $2$ jednostki w prawo	przesunięcie o $3$ jednostki w lewo	przesunięcie o $3$ jednostki w prawo	przesunięcie o $2$ jednostki w lewo
$g (x) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{x - 2}$	$g (x) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{x + 3}$	$g (x) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{x - 3}$	$g (x) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{x + 2}$

Przykład 2

Do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = a^{x + 3}$ należy punkt o współrzędnych $(1, 9)$ .

a) wyznaczymy wartość współczynnika $a$ ,

b) naszkicujemy wykres funkcji $f$ ,

c) podamy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe od $1$ .

Rozwiązania:

a) Chcąc obliczyć wartość współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie

$a^{4} = 9$ .

Rozwiązaniami równania są liczby $a = \sqrt{3}$ lub $a = - \sqrt{3}$ .

Zatem $f (x) = {(\sqrt{3})}^{x + 3}$ .

b) wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = {(\sqrt{3})}^{x + 3}$ przedstawia się następująco:

RpzErBmSgJs6h

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziewięciu do dwóch oraz z pionową osią Y od minus jeden do siedmiu. Wykres funkcji potęgowej f leży w pierwszej i drugiej ćwiartce. Wykres funkcja f przecina oś Y w punkcie 5. Oś pozioma X jest asymptotą dla wykresu.

c) $f (x) > 1$ dla $x > - 3$ .

Przykład 3

O ile jednostek należy przesunąć wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x + 2}$ , aby otrzymać wykres funkcji określonej wzorem $g (x) = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{2} x - 4}$ ?

Zauważmy, że wzór funkcji $g$ możemy zapisać w postaci:

$g (x) = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{2} x - 4} = {(\frac{1}{2})}^{x - 8}$ .

Zatem, żeby otrzymać wykres funkcji $g$ , wykres funkcji $f$ należy przesunąć o $10$ jednostek w prawo.

Przykład 4

O ile jednostek należy przesunąć wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \sqrt{3} \cdot 3^{x}$ , aby otrzymać wykres funkcji określonej wzorem $g (x) = \frac{1}{9} \cdot 3^{x}$ ?

Zauważmy, że wzory funkcji $f$ i $g$ możemy zapisać w postaciach:

$f (x) = \sqrt{3} \cdot 3^{x} = 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{x} = 3^{x + \frac{1}{2}}$

$g (x) = \frac{1}{9} \cdot 3^{x} = 3^{- 2} \cdot 3^{x} = 3^{x - 2}$

Zatem, żeby otrzymać wykres funkcji $g$ , wykres funkcji $f$ należy przesunąć o $2 \frac{1}{2}$ jednostki w prawo.

Słownik

funkcja wykładnicza

funkcja określona wzorem $f (x) = a^{x}$ , $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ , oraz $x \in ℝ$

przekształcenie wykresu funkcji f(x - p)

przesunięcie wykresu funkcji $f (x)$ o $p$ jednostek w prawo, gdy $p > 0$ lub $p$ jednostek w lewo, gdy $p < 0$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik