Przeczytaj
Wykres funkcji wykładniczej określonej wzorem , gdzie oraz możemy przesuwać w górę lub w dół wzdłuż osi układu współrzędnych. Omówimy także przesunięcie tego wykresu w prawo lub w lewo wzdłuż osi układu współrzędnych.
Przekształcenie wykresu funkcji oznacza przesunięcie wykresu funkcji o jednostek w prawo dla lub jednostek w lewo dla .
Rozpatrzmy funkcje określone wzorami oraz .
Tabele wartości tych funkcji dla niektórych argumentów przedstawiają się następująco:
Wykresy tych funkcji naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych:
Zauważmy, że wykres funkcji możemy otrzymać poprzez przesunięcie wykresu funkcji o jednostki w prawo.
Porównajmy niektóre własności funkcji i :
funkcje oraz mają tę samą dziedzinę i te same zbiory wartości,
wykres funkcji przechodzi przez punkt o współrzędnych , zaś wykres funkcji przez punkt o współrzędnych ,
funkcja przyjmuje wartości większe od dla argumentów większych od , zaś funkcja przyjmuje wartości większe od dla argumentów większych od ,
funkcje oraz nie mają miejsc zerowych.
Dla wykresów funkcji określonych wzorami oraz zachodzą następujące własności:
funkcje mają te same dziedziny oraz zbiory wartości,
asymptotą ich wykresów jest ta sama prosta ,
dla funkcje i są rosnące,
dla funkcje i są malejące.
Przesunięcie wykresu funkcji wykładniczejfunkcji wykładniczej wzdłuż osi odciętych układu współrzędnych powoduje zmianę wzoru tej funkcji.
W tabeli przedstawiono przesunięcia oraz odpowiadające im wzory funkcji, które otrzymujemy przez przekształcenie wykresu funkcjiprzekształcenie wykresu funkcji .
przesunięcie o jednostki w prawo | przesunięcie o jednostki w lewo | przesunięcie o jednostki w prawo | przesunięcie o jednostki w lewo |
---|---|---|---|
Do wykresu funkcji określonej wzorem należy punkt o współrzędnych .
a) wyznaczymy wartość współczynnika ,
b) naszkicujemy wykres funkcji ,
c) podamy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe od .
Rozwiązania:
a) Chcąc obliczyć wartość współczynnika rozwiązujemy równanie
.
Rozwiązaniami równania są liczby lub .
Zatem .
b) wykres funkcji określonej wzorem przedstawia się następująco:
c) dla .
O ile jednostek należy przesunąć wykres funkcji określonej wzorem , aby otrzymać wykres funkcji określonej wzorem ?
Zauważmy, że wzór funkcji możemy zapisać w postaci:
.
Zatem, żeby otrzymać wykres funkcji , wykres funkcji należy przesunąć o jednostek w prawo.
O ile jednostek należy przesunąć wykres funkcji określonej wzorem , aby otrzymać wykres funkcji określonej wzorem ?
Zauważmy, że wzory funkcji i możemy zapisać w postaciach:
Zatem, żeby otrzymać wykres funkcji , wykres funkcji należy przesunąć o jednostki w prawo.
Słownik
funkcja określona wzorem , , oraz
przesunięcie wykresu funkcji o jednostek w prawo, gdy lub jednostek w lewo, gdy