Przeczytaj
Pamiętasz?
Nierównością kwadratową z niewiadomą nazywamy każdą nierówność postaci:
lub lub lub
gdzie:
, , – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i .
Nierówności, w których wszystkie współczynniki są różne od , nazywamy nierównościami kwadratowymi zupełnymi.
Nierówności, w których współczynniki lub są równe , nazywamy nierównościami kwadratowymi niezupełnymi.
Jeżeli i to nierówność kwadratowa jest postaci lub lub lub .
Rozwiążemy nierówność kwadratową niezupełną .
Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej.
Skorzystamy z własności odpowiedniej funkcji kwadrtowej. Obliczamy miejsca zerowe funkcji .
lub
lub
Szkicujemy przybliżony wykres funkcji . Parabola ma ramiona skierowane „do góry” (bo współczynnik przy jest dodatni) oraz przechodzi przez wyznaczone punkty.
Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności.
Rozwiążemy nierówność kwadratowa niezupełnąnierówność kwadratowa niezupełną .
Skorzystamy najpierw ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.
Obliczamy miejsca zerowe funkcji .
Skorzystamy z twierdzenia, że iloczyn dowolnych liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z tych liczb jest równa zero.
lub
lub
lub
Szkicujemy przybliżony wykres funkcji .
Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby .
Rozwiążemy nierówność .
Obliczamy miejsca zerowe funkcji .
lub
lub
lub
Szkicujemy wykres funkcji .
Ramiona paraboli skierowane są „do dołu”, ponieważ współczynnik przy jest liczbą ujemną.
Zbiorem rozwiązań nierówności jest .
Rozwiążemy nierówność kwadratową .
Jest to nierówność tożsamościowa. Zbiorem rozwiązań nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste, ponieważ każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną.
Rozwiążemy nierówność kwadratową .
Mnożymy obie strony nierówności przez .
Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną.
Nierówność nie posiada rozwiązań.
Określimy liczbę rozwiązań nierówności , jeżeli wiadomo, że i .
Współczynniki i są liczbami dodatnimi, zatem po przeniesieniu liczby na drugą stronę nierówności otrzymamy po prawej stronie liczbę ujemną.
Lewa strona nierówności jest liczbą nieujemną. Otrzymaliśmy zatem nierówność tożsamościową.
Obliczymy, dla jakiej dodatniej wartości parametru zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór .
Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych „do dołu”.
Czyli
Dla zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór .
Rozwiążemy nierówność .
Korzystając z własności wartości bezwzględnej, otrzymujemy:
lub
lub
lub
czyli .
Słownik
nierówność, w której współczynniki odpowiedniego trójmianu kwadratowego lub są równe