Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Pamiętasz?

Nierównością kwadratową z niewiadomą x nazywamy każdą nierówność postaci:

ax2+bx+c>0 lub ax2+bx+c0 lub ax2+bx+c<0 lub ax2+bx+c0

gdzie:
a, b, c – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i a0.

Nierówności, w których wszystkie współczynniki są różne od 0, nazywamy nierównościami kwadratowymi zupełnymi.

Nierówności, w których współczynniki b lub c są równe 0, nazywamy nierównościami kwadratowymi niezupełnymi.

Jeżeli b=0c=0 to nierówność kwadratowa jest postaci ax2>0 lub ax2<0 lub ax20 lub ax20.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność kwadratową niezupełną x2>9.

Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej.

x-3x+3>0

Skorzystamy z własności odpowiedniej funkcji kwadrtowej. Obliczamy miejsca zerowe funkcji fx=x-3x+3.

x-3=0 lub x+3=0

x=3 lub x=-3

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji f. Parabola ma ramiona skierowane „do góry” (bo współczynnik przy x2 jest dodatni) oraz przechodzi przez wyznaczone punkty.

RHMHFH80fy00p

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności.

x-, -33, 
Przykład 2

Rozwiążemy nierówność kwadratowa niezupełnąnierówność kwadratowa niezupełnanierówność kwadratowa niezupełną 4x2-30.

Skorzystamy najpierw ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

2x-32x+30

Obliczamy miejsca zerowe funkcji fx=2x-32x+3.

Skorzystamy z twierdzenia, że iloczyn dowolnych liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z tych liczb jest równa zero.

2x-3=0 lub 2x+3=0

2x=3 lub 2x=-3

x=32 lub x=-32

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji f.

R1FJmrucuNxvI
x-32, 32

Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby x-32, 32.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność -2x2+1<0.

1-2x2<0

Obliczamy miejsca zerowe funkcji fx=1-2x2.

1-2x1+2x=0

2x=1 lub 2x=-1

x=12 lub x=-12

x=22 lub x=-22

Szkicujemy wykres funkcji f.

R1FboSrNxCs9H

Ramiona paraboli skierowane są „do dołu”, ponieważ współczynnik przy x2 jest liczbą ujemną.

x-, -2222, 

Zbiorem rozwiązań nierówności jest x-, -2222, .

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność kwadratową x2+9>0.

x2>-9

Jest to nierówność tożsamościowa. Zbiorem rozwiązań nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste, ponieważ każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną.

Przykład 5

Rozwiążemy nierówność kwadratową -3x2-10.

Mnożymy obie strony nierówności przez -1.

3x2+10

Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną.

Nierówność nie posiada rozwiązań.

Przykład 6

Określimy liczbę rozwiązań nierówności ax2+c>0, jeżeli wiadomo, że a>0c>0.

Współczynniki ac są liczbami dodatnimi, zatem po przeniesieniu liczby c na drugą stronę nierówności otrzymamy po prawej stronie liczbę ujemną.

ax2>-c

Lewa strona nierówności jest liczbą nieujemną. Otrzymaliśmy zatem nierówność tożsamościową.

Przykład 7

Obliczymy,  dla jakiej dodatniej  wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności -3x2+m>0 jest zbiór -233, 233.

m-3x2>0

m-3xm+3x>0

3x=m  3x=-m

x=m3  x=-m3

x=m·33  x=-m·33

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych „do dołu”.

Rzs7K8woAT7uJ
x-m·33, m·33

Czyli m=2

m=4

Dla m=4 zbiorem rozwiązań  nierówności jest zbiór -233, 233.

Przykład 8

Rozwiążemy nierówność 4x-12>16.

4x-12>16 |

4x-12>4

4x-1>4

Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:

4x-1>4 lub 4x-1<-4

4x>5 lub 4x<-3

x>54 lub x<-34

czyli x-, -3454, .

Słownik

nierówność kwadratowa niezupełna
nierówność kwadratowa niezupełna

nierówność, w której współczynniki odpowiedniego  trójmianu kwadratowego b lub c są równe 0