Przeczytaj

Rozważmy wektor o współrzędnych $[a; b]$ i zaczepmy go w początku prostokątnego układu współrzędnych.

RdWhszYYGFn4b

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez liczb na podziałce. Oś pozioma została oznaczona jako X, pionowa jako Y. W pierwszej ćwiartce narysowano wektor o współrzędnych a;b. Punkt zaczepienia wektora to początek układu współrzędnych.

Zrzutujemy teraz wektor na osie układu współrzędnych: jego rzut na oś $x$ ma współrzędne $[a; 0]$ , zaś jego rzut na oś $y$ ma współrzędne $[0; b]$ .

Oczywiście $[a; 0] + [0; b] = [a; b]$ .

R13P1o8Xa2Mse

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki. Oś pozioma została oznaczona jako X, pionowa jako Y. W pierwszej ćwiartce narysowano wektor o punkcie zaczepienia w początku układu współrzędnych. Wektor ma współrzędne a;b. Wektor ten rozłożono na składowe: wektor a;0 oznaczony na osi poziomej X, wektor 0;b oznaczony na osi pionowej Y.

Wektor będący iloczynem wektora na osi o współrzędnych $[a; 0]$ przez liczbę $k$ ma współrzędne $[k a; 0]$ (zgodnie z definicją), zaś wektor będący iloczynem wektora na osi o współrzędnych $[0; b]$ przez liczbę $k$ ma współrzędne $[0; k b]$ .

R1AcyTrBbk0OI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki. Oś pionową oznaczono jako Y, poziomą jako X. W pierwszej ćwiartce, wzdłuż osi X narysowano wektor a;0 oraz wzdłuż osi Y wektor 0;b. Narysowano sumę tych dwóch wektorów, powstał wektor o współrzędnych a;b. Na osiach zaznaczono również wektory powstałe po przemnożeniu wektorów a;0 i 0;b przez pewne dodatnie k. Tak powstały wektory ka;0 oraz 0;kb.

Zauważmy teraz, że $[k a; 0] + [0; k b] = [k a; k b]$

RMEin7uJ0sUkw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki. Układ posiada oś pionową Y oraz oś poziomą X. W pierwszej ćwiartce narysowano wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych o współrzędnych a;b. Wektor ten rozłożono na składowe: wektor a;0 oznaczony na osi X, wektor 0;b oznaczony na osi Y. Wektor a;b przemnożono przez dodatni współczynnik k, tworząc wektor ka;kb. Wektor ten rozłożono na składowe: wektor ka;0 oznaczony na osi X, wektor 0;kb oznaczony na osi Y.

Powyższe rozumowanie stanowi argument za następującym faktem:

Współrzędne iloczynu wektoraWspółrzędne iloczynu wektora $\vec{u} = [a; b]$ przez liczbę rzeczywistą $k$ są równe $k \vec{u} = k [a; b] = [k a; k b]$ .

Przykład 1

Iloczyn wektora $\vec{u} = [2; - 3]$ przez liczbę $k = 2$ jest wektorem o współrzędnych $2 \vec{u} = 2 \cdot [2; - 3] = [2 \cdot 2; 2 \cdot (- 3)] = [4; - 6]$ .

Przypomnijmy przy tej okazji zależność między długością wektora $k \vec{u}$ a długością wektora $\vec{u}$ . Zgodnie ze wzorem na długość wektora w układzie współrzędnych mamy $|k \vec{u}| = |[k a; k b]| = \sqrt{{(k \cdot g a)}^{2} + {(k \cdot b)}^{2}} = \sqrt{k^{2} a^{2} + k^{2} b^{2}} =$
$= \sqrt{k^{2} (a^{2} + b^{2})} = |k| \sqrt{a^{2} + b^{2}} = |k| \cdot |[a; b]| = |k| \cdot |\vec{u}|$

co jest algebraicznym potwierdzeniem definicji przyjętej w lekcji o temacie “Iloczyn wektora przez liczbę”.

Przykład 2

Wyznaczymy punkty, które dzielą odcinek o końcach $A = (1; 2)$ i $B = (5; 4)$ na trzy odcinki o równych długościach.

Szukane punkty nazwijmy $X$ i $Y$ . Wektor $\vec{A B}$

ma współrzędne $\vec{A B} = [5 - 1; 4 - 2] = [4; 2]$ .

Zauważmy, że wektor

$\vec{A X} = \frac{1}{3} \vec{A B} = \frac{1}{3} [4; 2] = [\frac{4}{3}; \frac{2}{3}]$

ma długość równą $\frac{2}{3}$ długości wektora $A B$ , zaś wektor

$\vec{A Y} = \frac{2}{3} \vec{A B} = \frac{2}{3} [4; 2] = [\frac{8}{3}; \frac{4}{3}]$

ma długość równą $\frac{2}{3}$ długości wektora $A B$ .

Aby otrzymać współrzędne punktu $X$ , wystarczy do współrzędnych punktu $A = (1; 2)$ dodać współrzędne wektora

$\vec{A X} = [\frac{4}{3}; \frac{2}{3}]$ ,

zatem $X = (\frac{7}{3}; \frac{8}{3})$ .

Aby otrzymać współrzędne punktu $Y$ , wystarczy do współrzędnych punktu $A = (1; 2)$ dodać współrzędne wektora

$\vec{A Y} = [\frac{8}{3}; \frac{4}{3}]$ ,

zatem $Y = (\frac{11}{3}; \frac{10}{3})$ .

Słownik

współrzędne iloczynu wektora przez liczbę

współrzędne iloczynu wektora o współrzędnych $[a; b]$ przez liczbę $k$ są równe $[k a; k b]$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik