Rozważmy wektor o współrzędnych i zaczepmy go w początku prostokątnego układu współrzędnych.
RdWhszYYGFn4b
Zrzutujemy teraz wektor na osie układu współrzędnych: jego rzut na oś ma współrzędne , zaś jego rzut na oś ma współrzędne .
Oczywiście .
R13P1o8Xa2Mse
Wektor będący iloczynem wektora na osi o współrzędnych przez liczbę ma współrzędne (zgodnie z definicją), zaś wektor będący iloczynem wektora na osi o współrzędnych przez liczbę ma współrzędne .
R1AcyTrBbk0OI
Zauważmy teraz, że
RMEin7uJ0sUkw
Powyższe rozumowanie stanowi argument za następującym faktem:
Współrzędne iloczynu wektorawspółrzędne iloczynu wektora przez liczbęWspółrzędne iloczynu wektora przez liczbę rzeczywistą są równe .
Przykład 1
Iloczyn wektora przez liczbę jest wektorem o współrzędnych .
Przypomnijmy przy tej okazji zależność między długością wektora a długością wektora . Zgodnie ze wzorem na długość wektora w układzie współrzędnych mamy
co jest algebraicznym potwierdzeniem definicji przyjętej w lekcji o temacie “Iloczyn wektora przez liczbę”.
Przykład 2
Wyznaczymy punkty, które dzielą odcinek o końcach i na trzy odcinki o równych długościach.
Szukane punkty nazwijmy i . Wektor
ma współrzędne .
Zauważmy, że wektor
ma długość równą długości wektora , zaś wektor
ma długość równą długości wektora .
Aby otrzymać współrzędne punktu , wystarczy do współrzędnych punktu dodać współrzędne wektora
,
zatem .
Aby otrzymać współrzędne punktu , wystarczy do współrzędnych punktu dodać współrzędne wektora
,
zatem .
Słownik
współrzędne iloczynu wektora przez liczbę
współrzędne iloczynu wektora przez liczbę
współrzędne iloczynu wektora o współrzędnych przez liczbę są równe