Przeczytaj

Mając dany wektor $\vec{u}$ , możemy narysować wektory:

$\vec{u} + \vec{u}, \vec{u} + \vec{u} + \vec{u}, \vec{u} + \vec{u} + \vec{u} + \vec{u}$

RL5NSUxr6xmvj

Na ilustracji znajdują się wektory oznaczone jako U ułożone w różnej długości sekwencje. Wszystkie wektory wskazują prawą stronę. Na samej górze widnieje pojedynczy wektor. Pod nim są trzy sekwencje o różnej długości. Od lewej strony: sekwencja składająca się z dwóch wektorów U, sekwencja składająca się z trzech wektorów U oraz sekwencja składająca się z czterech wektorów U. Nad pierwszą sekwencją widnieje równanie wektor U plus wektor U, nad drugą wektor U plus wektor U plus wektor U oraz nad ostatnią wektor U plus wektor U plus wektor U plus wektor U.

Możemy zauważyć, że każdy z wykreślonych wektorów jest równoległy do $\vec{u}$ i ma zwrot z nim zgodny, a długości tych wektorów są równe odpowiednio: $2 |\vec{u}|, 3 |\vec{u}|, 4 |\vec{u}|$ .

Narysujmy teraz wektory:

$- \vec{u} - \vec{u}, - \vec{u} - \vec{u} - \vec{u}, - \vec{u} - \vec{u} - \vec{u} - \vec{u}$

RP1B61bJwc4hr

Na ilustracji znajdują się wektory oznaczone jako U ułożone w różnej długości sekwencje. Na samej górze widnieje pojedynczy wektor wskazujący w prawą stronę. Pod nim są trzy sekwencje o różnej długości. Wszystkie wektory w sekwencjach wskazują w lewą stronę. Od lewej strony: sekwencja składająca się z dwóch wektorów minus U, sekwencja składająca się z trzech wektorów minus U oraz sekwencja składająca się z czterech wektorów minus U. Nad pierwszą sekwencją widnieje równanie minus wektor U minus wektor U, nad drugą minus wektor U minus wektor U minus wektor U oraz nad ostatnią minus wektor U minus wektor U minus wektor U minus wektor U.

Zauważmy, że każdy z nich jest równoległy do $\vec{u}$ , ale ma do niego przeciwny zwrot. Długości tych wektorów są równe odpowiednio: $2 |\vec{u}|, 3 |\vec{u}|, 4 |\vec{u}|$ .

Przede wszystkim zauważmy, że po pomnożeniu niezerowego wektora $\vec{u}$ przez niezerową liczbę rzeczywistą $k$ otrzymujemy wektor. Będziemy ten iloczyn zapisywać jako $k \cdot \vec{u}$ lub po prostu $k \vec{u}$ .

Aby szczegółowo omówić zagadnienie mnożenia wektora przez liczbę rozważymy kilka przykładów. Zanim to jednak zrobimy, zwróćmy uwagę, że kierunek danego wektora i wektora otrzymanego przez pomnożenie go przez różną od zera liczbę $k$ jest taki sam. Zatem możemy zapisać, że $\vec{u} ∥ k \vec{u}$ , dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej $k$ i niezerowego wektora $\vec{u}$ .

Przykład 1

Jeśli pomnożymy wektor $\vec{u}$ przez $1$ , otrzymamy ten sam wektor $\vec{u}$ .

RbW8WQfaPzKDI

Na ilustracji znajduje się wektor pokazujący na górę w skos. Po prawej stronie wektora znajduje się następujące równanie: jeden razy wektor U równa się wektor U.

Przykład 2

Jeśli pomnożymy wektor $\vec{u}$ przez $(- 1)$ , otrzymamy wektor $- \vec{u}$ przeciwny do danego. Możemy zauważyć, że $- 1 \cdot (- \vec{u}) = \vec{u}$ .

R1BF80uZbH4l4

Na ilustracji znajdują się dwa wektory. Jeden wektor pokazuje na skos na górę oznaczony jest on jako wektor U. Drugi wektor styka się swoim końcem z końcem wektora U. Oznaczony jest on jako wektor minus U i pokazuje on w dół na skos. W miejscu styku wektorów umieszone jest zapełnione pole. Po lewej stronie wektorów znajduje się równanie minus jeden razy wektor U równa się minus wektor U.

Przykład 3

Jeśli pomnożymy wektor $\vec{u}$ przez $2$ , otrzymamy wektor $2 \vec{u}$ dwa razy dłuższy o tym samym kierunku i zwrocie. Możemy zauważyć, że $2 \cdot \vec{u} = \vec{u} + \vec{u}$ .

R1ZmcOs4Iaxro

Na ilustracji znajdują się trzy wektory. Dwa krótsze wektory wskazują w górę na skos, oznaczone są jako wektory U. Koniec jednego wektora styka się z początkiem drugiego. Po prawej stronie znajduje się trzeci wektor pokazujący w górę na skos. Jego długość jest równa długości dwóch mniejszych wektorów. Po prawej stronie długiego wektora znajduje się równanie dwa wektory U równa się wektor U plus wektor U.

Przykład 4

Jeśli pomnożymy wektor $\vec{u}$ przez $(- 2)$ , otrzymamy wektor $- 2 \vec{u}$ dwa razy dłuższy o tym samym kierunku i przeciwnym zwrocie. Możemy zauważyć, że $- 2 \cdot \vec{u} = - \vec{u} - \vec{u}$ .

R1VBNOiWrFqZs

Na ilustracji znajdują się dwa wektory. Jeden krótszy wektor pokazuje w górę na skos, oznaczony jest on jako wektor U. Drugi dłuższy wektor pokazuje na skos w dół. Po jego prawej stronie widnieje równanie minus dwa wektory U równa się minus wektor U minus wektor U.

Przykład 5

Jeśli pomnożymy wektor $\vec{u}$ przez $\frac{1}{2}$ , otrzymamy wektor $\frac{1}{2} \vec{u}$ dwa razy krótszy o tym samym kierunku i zwrocie.

RMo6CL8ienrPB

Na ilustracji znajdują się dwa wektory. Jeden długi wektor oznaczony jako U pokazuje na skos w górę. Po jego prawej stronie znajduje się mniejszy wektor, również pokazujący na skos w górę, oznaczony jako jeden dzielone na dwa wektor U.

Przykład 6

Jeśli pomnożymy wektor $\vec{u}$ przez $(- \frac{1}{2})$ , otrzymamy wektor $- \frac{1}{2} \vec{u}$ dwa razy krótszy o tym samym kierunku i przeciwnym zwrocie.

R4wqAst2jHkgo

Na ilustracji znajdują się dwa wektory. Pierwszy długi wektor pokazuje w górę na skos, oznaczony jest on jako wektor U. Po jego prawej stronie znajduje się mniejszy wektor pokazujący na skos w dół, oznaczony jest on jako minus jeden dzielone na dwa wektor U.

Podsumujmy powyższe rozważania.

iloczyn wektora

Definicja: iloczyn wektora

Iloczynem $k \vec{u}$ wektora niezerowego $\vec{u}$ i liczby rzeczywistej $k \neq 0$ nazywamy wektor, który:

jest równoległywektory równoległerównoległy do wektora $\vec{u}$ (ma kierunek wektorakierunek wektorakierunek wektora $\vec{u}$ );
ma długość równą $|k| \cdot |\vec{u}|$ ;
ma zwrot zgodny ze zwrotem wektora $\vec{u}$ , gdy $k > 0$ , zaś przeciwny, gdy $k < 0$ .

Jeśli $\vec{u}$ jest wektorem zerowym lub $k = 0$ , to przyjmujemy, że iloczyn wektorailoczyn wektorailoczyn wektora $\vec{u}$ i liczby $k$ jest wektorem zerowym.

Słownik

iloczyn wektora

dla niezerowego wektora $\vec{u}$ i liczby $k \neq 0$ wektor $k \vec{u}$ jest wektorem równoległym do $\vec{u}$ o długości równej $|k| \cdot |\vec{u}|$ oraz zwrocie zgodnym ze zwrotem $\vec{u}$ , gdy $k > 0$ , przeciwnym do zwrotu $\vec{u}$ , gdy $k < 0$ ; jeśli $\vec{u}$ jest wektorem zerowym lub $k = 0$ , to iloczyn $\vec{u}$ przez $k$ jest wektorem zerowym

kierunek wektora

prosta, na której leży wektor

wektory równoległe

wektory, które zawarte są w prostych równoległych; nie definiujemy równoległości do wektora zerowego

Wprowadzenie

Aplet

Słownik