Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Mając dany wektor u możemy narysować wektory

u+u, u+u+u, u+u+u+u

RL5NSUxr6xmvj

Możemy zauważyć, że każdy z wykreślonych wektorów jest równoległy do u i ma zwrot z nim zgodny, a długości tych wektorów są równe odpowiednio: 2u,3u,4u.

Narysujmy teraz wektory:

-u-u, -u-u-u,-u-u-u-u

RP1B61bJwc4hr

Zauważmy, że każdy z nich jest równoległy do u, ale ma do niego przeciwny zwrot. Długości tych wektorów są równe odpowiednio: 2u,3u,4u.

Przede wszystkim zauważmy, że po pomnożeniu niezerowego wektora u przez niezerową liczbę rzeczywistą k otrzymujemy wektor. Będziemy ten iloczyn zapisywać jako k·u lub po prostu ku.

Aby szczegółowo omówić zagadnienie mnożenia wektora przez liczbę rozważymy kilka przykładów. Zanim to jednak zrobimy, zwróćmy uwagę, że kierunek danego wektora i wektora otrzymanego przez pomnożenie go przez różną od zera liczbę k jest taki sam. Zatem możemy zapisać, że uku, dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej k i niezerowego wektora u.

Przykład 1

Jeśli pomnożymy wektor u przez 1, otrzymamy ten sam wektor u.

RbW8WQfaPzKDI
Przykład 2

Jeśli pomnożymy wektor u przez -1, otrzymamy wektor -u przeciwny do danego. Możemy zauważyć, że -1·(-u)=u.

R1BF80uZbH4l4
Przykład 3

Jeśli pomnożymy wektor u przez 2, otrzymamy wektor 2u dwa razy dłuższy o tym samym kierunku i zwrocie. Możemy zauważyć, że 2·u=u+u.

R1ZmcOs4Iaxro
Przykład 4

Jeśli pomnożymy wektor u przez -2, otrzymamy wektor -2u dwa razy dłuższy o tym samym kierunku i przeciwnym zwrocie. Możemy zauważyć, że -2·u=-u-u.

R1VBNOiWrFqZs
Przykład 5

Jeśli pomnożymy wektor u przez 12, otrzymamy wektor 12u dwa razy krótszy o tym samym kierunku i zwrocie.

RMo6CL8ienrPB
Przykład 6

Jeśli pomnożymy wektor u przez -12, otrzymamy wektor -12u dwa razy krótszy o tym samym kierunku i przeciwnym zwrocie.

R4wqAst2jHkgo

Podsumujmy powyższe rozważania.

iloczyn wektora
Definicja: iloczyn wektora

Iloczynem ku wektora niezerowego u i liczby rzeczywistej k0 nazywamy wektor, który:

  • jest to wektor równoległywektory równoległewektor równoległy do wektora u (ma kierunek wektorakierunek wektorakierunek wektora u);

  • ma długość równą k·u;

  • ma zwrot zgodny ze zwrotem wektora u, gdy k>0, zaś przeciwny, gdy k<0.

Jeśli u jest wektorem zerowym lub k=0, to przyjmujemy, że iloczyn wektorailoczyn wektorailoczyn wektora u i liczby k jest wektorem zerowym.

Słownik

iloczyn wektora
iloczyn wektora

dla niezerowego wektora u i liczby k0 wektor ku jest wektorem równoległym do u o długości równej k·u oraz zwrocie zgodnym ze zwrotem u, gdy k>0, przeciwnym do zwrotu u, gdy k<0; jeśli u jest wektorem zerowym lub k=0, to iloczyn u przez k jest wektorem zerowym

kierunek wektora
kierunek wektora

prosta, na której leży wektor

wektory równoległe
wektory równoległe

wektory, które zawarte są w prostych równoległych; nie definiujemy równoległości do wektora zerowego