Warto przeczytać

Jak obliczyć energię potencjalną sprężystościEnergia potencjalna sprężystościenergię potencjalną sprężystości, zgromadzoną w rozciągniętej (Rys. 1.) lub ściśniętej sprężynie?

R1tqBvWLajJSU

Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczny jest ciężarek, zamocowany na sprężynie rozciągniętej w kierunku poziomym. Na ilustracji widoczny jest ciężarek w postaci czarnego prostokąta. Z lewej strony, ciężarek przymocowany jest do sprężyny, narysowanej w postaci poziomej krzywej łamanej, przypominającej poziomą harmonijkę. Lewy koniec sprężyny przymocowany jest do nieruchomego elementu, widocznego w postaci pionowego, czarnego odcinka z ukośnymi kreskami po lewej stronie. Pod sprężyną i ciężarkiem widoczna jest pozioma, czarna i gruba linia, która symbolizuje poziomą i płaską powierzchnię, po której porusza się ciężarek. Pod rysunkiem widoczna jest oś opisana małą literą x i w nawiasie kwadratowym mała litera m. Jest to oś położenia ciężarka w kierunku poziomym, wyrażona w metrach. Na osi położenia zaznaczono wartość zero oraz wartość mała litera x po prawej stronie położenia zero. Od położenia zero poprowadzono w górę, niebieską i przerywaną, pionową linię. Położenie zero symbolizuje położenie równowagi ciężarka. Ciężarek znajduje się w położeniu mała litera x, gdy sprężyna jest rozciągnięta.

Energia potencjalna sprężystościenergia potencjalna sprężystościEnergia potencjalna sprężystości jest równa pracy wykonanej przez siłę zewnętrzną, która równoważy siłę sprężystości podczas rozciągania sprężyny. Wartość tej pracy, a więc i energii potencjalnej sprężystościenergia potencjalna sprężystościenergii potencjalnej sprężystości, co do wartości, jest równa polu pod wykresem zależności siły od wydłużenia. Zagadnienie to jest szczegółowo wyjaśnione w e‑materiale pt. Energia potencjalna sprężystości.

Siła sprężystości i równoważąca ją siła zewnętrzna zależą liniowo od wydłużenia. Praca wykonana przez siłę zewnętrzną przy rozciągnięciu sprężyny o $x$ jest, co do wartości, równa polu trójkąta prostokątnego o wysokości $F=k\cdot x$ i podstawie $x$ (zob. Rys. 2.).

RoCcKqrVa2RrP

Rys. 2. Ilustracja przedstawia wykres, na którym przedstawiono pracę, wykonaną przez rozciągniętą sprężynę. Na rysunku widoczny jest prostokątny układ współrzędnych, narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa, skierowana jest w górę i przedstawia siłę wyrażoną w niutonach, wielka litera F i w nawiasie kwadratowym wielka litera N. Na osi siły zaznaczono wartość wielka litera F, od której poprowadzono w prawo, poziomy, czarny odcinek. Oś pozioma układu, skierowana jest w prawo i przedstawia położenie wyrażone w metrach, mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m. Na osi położenia zaznaczono wartość mała litera x. Początek układu opisano cyfrą zero. W układzie widoczna jest liniowo rosnąca funkcja, narysowana zieloną i ciągłą linią. Funkcja zaczyna się w początku układu współrzędnych i rośnie liniowo wraz ze wzrostem wartości położenia. Do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych mała litera x i wielka litera F. Pole pod funkcja od wartości na osi położenia równej zero do wartości mała litera x, które ma kształt trójkąta prostokątnego, zamalowano kolorem pomarańczowym i podpisano jako praca, wielka litera W.

Pracę obliczamy korzystając ze wzoru na pole trójkątaPole trójkątapole trójkąta

Wzór na energię potencjalną sprężystości można zatem zapisać w postaci:

gdzie $k$ to współczynnik (stała) sprężystości sprężynyStała sprężystości sprężynywspółczynnik (stała) sprężystości sprężyny, a $x$ to jej wydłużenie.

Jednostką energii w układzie SI jest dżul (J).

Współczynnik sprężystości sprężynyStała sprężystości sprężynyWspółczynnik sprężystości sprężyny zależy od jej długości, pola przekroju poprzecznego oraz materiału, z którego została wykonana. Można go wyznaczyć doświadczalnie (zob. Przykład 1. umieszczony poniżej).

Energia potencjalna zmagazynowana w rozciągniętej lub ściśniętej sprężynie jest proporcjonalna do kwadratu wielkości odkształcenia, czyli kwadratu wydłużenia lub skrócenia sprężyny. Wykres $E_p(x)$ jest zatem parabolą (Rys. 3). Wydłużenie $x$ może również przyjmować wartości ujemne, więc wykres energii potencjalnej sprężystościenergia potencjalna sprężystościenergii potencjalnej sprężystości $E_p(x)$ jest symetryczny względem osi rzędnych i przechodzi przez początek układu współrzędnych.

R8GO4Au1hHszY

Rys. 3. Ilustracja przedstawia wykres, na którym zaprezentowano zależność energii potencjalnej sprężyny w funkcji jej odkształcenia. Na ilustracji widoczny jest prostokątny układ współrzędnych, narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu, skierowana jest w górę i przedstawia energię potencjalną wyrażoną w dżulach, wielka litera E z indeksem dolnym mała litera p i w nawiasie kwadratowym wielka litera J. Na osi energii zaznaczono wartość maksymalnej energii potencjalnej, wielka litera E z indeksem dolnym mała litera p i indeksem górnym małymi literami max. Oś pozioma układu, skierowana jest w prawo i podpisano, jako odkształcenie sprężyny wyrażone w metrach, mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m. Na osi odkształcenia zaznaczono wartości, minus wielka litera A i plus wielka litera A. Wielka litera A oznacza amplitudę drgań. Początek układu współrzędnych oznaczono cyfrą zero. W układzie widoczna jest funkcja narysowano ciągłą i czarną linią. Wartość funkcji jest proporcjonalna do odkształcenia do potęgi drugiej. Minimalna wartość funkcji jest równa zero dla odkształcenia równego zero metrów. Wartość maksymalna energii potencjalnej przypada dla odkształcenia równego zarówno minus, jak i plus wielka litera A. Wartości ujemne odkształcenia symbolizują ściskanie sprężyny a dodatnie odpowiadają jej rozciąganiu.

Gdy ciężarek na sprężynie (Rys. 1.) wykonuje drgania harmoniczne, to każdemu jego położeniu $x\ne0$ odpowiada pewna, różna od zera, dodatnia wartość energii potencjalnej sprężystości. Energia potencjalna sprężystości jest równa zeru w położeniu równowagi ($x=0$) i jest największa przy maksymalnym wydłużeniu, czy skróceniu sprężyny ($x=\pm A$, gdzie $A$ to amplituda drgań). Maksymalna wartość energii potencjalnej sprężystości wynosi:

Uwzględniając, że w ruchu harmonicznym $k=m\cdot {\omega }^2=4{\pi }^2\cdot f^2\cdot m$ (gdzie $m$ to masa ciężarka, $\omega$ jego częstość kołowa, a $f$ częstotliwość drgań) otrzymujemy:

Maksymalna wartość energii potencjalnej sprężystościenergia potencjalna sprężystościenergii potencjalnej sprężystości jest proporcjonalna do kwadratu częstotliwości, kwadratu amplitudy drgań oraz masy ciężarka.

Przykład 1.

Zawieśmy ciężarek o znanej masie $m$ na sprężynie (Rys. 4.) i zmierzmy jej wydłużenie $\Delta l$. Gdy ciężarek jest nieruchomy, to siła ciężkości $\vec{F_g}$ równoważy siłę sprężystości $\vec{F_s}$:

skąd, w zapisie skalarnym, dostajemy:

gdzie $g$ to wartość przyspieszenia ziemskiego, a $k$ to stała sprężystości sprężyny.

RIxBv3G7NXhMV

Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym zaprezentowano rozciągnięcie pionowa zawieszonej sprężyny, poprzez zawieszenie na niej ciężarka. Na ilustracji widoczne są dwie pionowo zawieszone sprężyny, narysowane w postaci łamanych, pionowych linii przypominających harmonijki. Sprężyny widoczne są jedna obok drugiej. Na końcu lewej sprężyny nie ma zawieszonego ciężarka, a zatem sprężyna nie jest ani ściśnięta ani rozciągnięta. Po prawej stronie widoczna jest sprężyna, na której zawieszono ciężarek. Ciężarek znajduje się poniżej dolnego końca lewej sprężyny i rozciąga sprężynę, na której jest zawieszony. Ciężarek narysowano w postaci czarnej kulki, którem masę opisano małą literą m. Do środka ciężarka przyłożono dwa wektory sił, narysowane w postaci pionowych strzałek. Jedna ze strzałek jest niebieska i skierowana w dół. Opisana jest jako wektor sił grawitacji, wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g i strzałką oznaczającą wektor. Druga strzałka jest czerwona i skierowana w górę. Symbolizuje ona wektor siły sprężystości wielka litera F z indeksem dolnym mała litera s i strzałką oznaczającą wektor. Wektory siły grawitacji i siły sprężystości są tej samej długości, a zatem siły te równoważą się. Różnica długości sprężyny po lewej stronie, bez ciężarka i po prawej stronie, z ciężarkiem, opisano wielką grecką literą delta i małą literą l.

Ostatnie wyrażenie, będące porównaniem wartości sił działających na ciężarek, można wykorzystać w doświadczeniu mającym na celu zmierzenie stałej sprężystości sprężyny.

Zawieszając na sprężynie ciężarki o różnych masach i odnotowując wydłużenie sprężyny dla kolejnych mas, można wykonać wykres taki, jak ten, który pokazano na Rys. 5. Na tym wykresie, współczynnik kierunkowy $a$ prostej $\Delta l=a\cdot m$, dopasowanej do punktów pomiarowych i przechodzącej przez początek układu współrzędnych, jest równy $a=\frac{g}{k}$. Wyznaczenie stałej sprężystości $k$ sprowadza się zatem do odczytania z wykresu współczynnika $a$ i podstawienia jego wartości do wzoru: $k=\frac{g}{a}.$

R6R9xQbZi3fpe

Rys. 5. Ilustracja przedstawia wykres, na którym zaprezentowano wykres przykładowego wydłużenia sprężyny pod wpływem obciążenia jej ciężarkami o różnej masie. Na rysunku widoczny jest prostokątny układ współrzędnych, narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa wykresu, skierowana jest w górę i przedstawia wydłużenie sprężyny wyrażone w centymetrach, wielka grecka litera delta i mała litera l i w nawiasie kwadratowym małe litery cm. Na osi wydłużenia zaznaczono wartości od zera do piętnastu centymetrów, co dwa i pięć dziesiątych centymetra. Oś pozioma układu, skierowana jest w prawo i przedstawia masę ciężarków wyrażoną w gramach, mała litera m i w nawiasie kwadratowym mała litera g. Na osi masy zaznaczono wartości od zera do sześćdziesięciu gramów, co dziesięć gramów. W układzie widoczne są czarne punkty pomiarowe i dopasowana do nich funkcja liniowa, narysowana czerwoną i ciągłą linią. Funkcja zaczyna się w początku układu współrzędnych i rośnie liniowo ze współczynnikiem kierunkowym, równym dwudziestu pięciu setnym.

Doświadczenie to można wykonać w klasie, ale możesz je również wykonać samodzielnie, w domu.

Przykład 2.

Dane:

• $A=0,2\text{ m}$,

• $m=0,6\text{ kg}$,

• $\omega =$$2\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}$.

W ruchu harmonicznym wychylenie zmienia się w czasie według zależności:

skąd widać, że w chwili początkowej, dla $t=0\text{ s}$, mamy $x(0)=0\text{ m}$.  Okres dgrań badanego oscylatoraOscylator harmonicznyoscylatora wynosi:

Energia potencjalna sprężystości wynosi:

Uwzględniając, że w ruchu harmonicznym $k=m{\omega }^2$, otrzymujemy zależność energii potencjalnej sprężystości od czasu (zob. Rys. 6.):

Maksymalna wartość powyższego wyrażenia, dla $\sin(\omega t)=1$, jest dana wzorem:

skąd, po podstawieniu wartości podanych w treści przykładu, dostajemy:

R12K4ZQxyPNad

Rys. 6. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym zaprezentowano wykres zależności energii potencjalnej oscylatora harmonicznego, w funkcji czasu. Na rysunku widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu, skierowana jest w górę i przedstawia energię potencjalną wyrażoną w dżulach. wielka litera E z indeksem dolnym mała litera p i w nawiasie kwadratowym wielka litera J. Na osi energii zaznaczono wartości od zera do pięciu dziesiątych dżula, co jedną dziesiątą dżula. Oś pozioma układu, skierowana jest w prawo i przedstawia czas wyrażony w sekundach, mała litera t i w nawiasie kwadratowym mała litera s. Na osi czasu zaznaczono wartości od zera do jednej sekundy, co jedną dziesiątą sekundy. W układzie widoczna jest funkcja, narysowana czerwoną i ciągłą linią, która zaczyna się w początku układu współrzędnych. Czerwona funkcja przypomina funkcję minus kosinus, przesuniętą ku wartościom dodatnim, w taki sposób, że jej minimalna wartość to zero dżuli a wartość maksymalna to około czterystu siedemdziesięciu pięciu tysięcznych dżula. Okres funkcji wynosi pięć dziesiątych sekundy.

Wykres zależności energii potencjalnej sprężystości od czasu (Rys. 6.), sporządzony dla jednego okresu drgań oscylatora harmonicznego analizowanego w Przykładzie 2., pokazuje, że w ciągu okresu energia potencjalna sprężystości dwukrotnie osiąga wartość maksymalną: dla $t=\frac{1}{4}T=0,25\text{ s}$ i dla $t=\frac{3}{4}T=0,75\text{ s}$, gdy wychylenie $|x|=A=0,2\text{ m}$.

Słowniczek