Warto przeczytać

Istnieje pewna szczególna grupa wielkości fizycznych – wielkości wektorowe. Do opisu takiej wielkości nie wystarczy podać jej wartości; należy jeszcze uwzględnić jej kierunek i zwrot. Powstaje pytanie: jakie działania możemy wykonywać z udziałem wielkości wektorowych?

Możemy wykonywać działania mnożenia na wektorach, jednak jest to bardziej skomplikowane niż na skalarach. Mamy trzy możliwości mnożenia z udziałem wektorów:

• iloczyn wektorowy wektorów – jego wynikiem jest zawsze wektor,

• iloczyn skalarny wektorów – jego wynikiem jest zawsze skalar,

• mnożenie wektora przez skalar – jego wynikiem jest zawsze wektor.

W tym e‑materiale omówimy iloczyn wektorowy wektorów.

Wynikiem iloczynu wektorowego dwóch wektorów $\overrightarrow{x}$ i $\overrightarrow{y}$ jest zawsze wektor, nazwijmy go $\overrightarrow{z}$ i zapiszmy tę operację następująco:

Znak $\times$ jest symbolem iloczynu wektorowego.

Wektor$\overrightarrow{z}$ jest skierowany pod kątem 90 stopni do płaszczyzny utworzonej przez wektory $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$. Zwrot wektora $\overrightarrow{z}$ ustalamy w oparciu o regułę śruby prawoskrętnej.

Czym jest reguła śruby prawoskrętnej? Jak łatwo zauważyć, jeśli wektor $\overrightarrow{z}$ ma być ustawiony pod kątem prostym do płaszczyzny wektorów $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ to mamy dwie możliwości takiego ustawienia (Rys. 1.):

RcAQaOeUpS5ww

Rys. 1a. Rysunek przedstawia dwa możliwe ustawienia wektora prostopadłego do płaszczyzny. W górnej części rysunku narysowano dwa prostopadłe czarne wektory jeden oznaczony małą czarną literą x ze znaczkiem wektora ponad nią a drygi małą czarną literą y ze znaczkiem wektora ponad nią. Wektor x na rysunku skierowany jest w prawo a wektor y w głąb rysunku. Płaszczyznę, w której znajdują się wektory x i y pomalowano na niebiesko. Prostopadle do tej płaszczyzny, pionowo do góry, wyprowadzono czerwony wektor oznaczony małą czarną literą z  ze znaczkiem wektora ponad nią. Wszystkie trzy wektory mają wspólny punkt przyłożenia oznaczony czarną cyfrą zero.

Raiscolis3Wl0

Rys. 1b. W dolnej części rysunku narysowano dwa prostopadłe czarne wektory jeden oznaczony małą czarną literą x ze znaczkiem wektora ponad nią a drygi małą czarną literą y ze znaczkiem wektora ponad nią. Wektor x na rysunku skierowany jest w prawo a wektor y w głąb rysunku. Płaszczyznę, w której znajdują się wektory x i y pomalowano na niebiesko. Prostopadle do tej płaszczyzny, pionowo do dołu, wyprowadzono czerwony wektor oznaczony małą czarną literą z  ze znaczkiem wektora ponad nią. Wszystkie trzy wektory mają wspólny punkt przyłożenia oznaczony czarną cyfrą zero.

Metodą na wybranie właściwego zwrotu jest właśnie reguła śruby prawoskrętnej. Polega ona na tym, że gdy mnożymy wektor $\vec{x}$ przez wektor $\vec{y}$, to najpierw przesuwamy jeden z nich równolegle tak, by ich początki były w jednym punkcie. Następnie (w wyobraźni) obracamy pierwszym czynnikiem iloczynu (tutaj: wektorem $\vec{x}$ ) ku drugiemu czynnikowi (tutaj: ku wektorowi $\vec{y}$ ). Wybieramy kierunek obrotu wyznaczony przez mniejszy z dwóch kątów, jakie tworzą te wektory. Na koniec określamy zwrot przemieszczenia prawoskrętnej śruby, która obracałaby się tak samo, jak wektor $\vec{x}$ (Rys. 2.). Ten właśnie zwrot przypisujemy wektorowi $\vec{z}$ .

RWCOGtIEJCnFI

Rys. 2a. Rysunek przedstawia dwa możliwe ustawienia wektora prostopadłego do płaszczyzny wynikające z reguły śruby prawoskrętnej. W górnej części rysunku narysowano dwa prostopadłe czarne wektory jeden oznaczony małą czarną literą x ze znaczkiem wektora ponad nią a drygi małą czarną literą y ze znaczkiem wektora ponad nią. Wektor x na rysunku skierowany jest w prawo a wektor y w głąb rysunku. Płaszczyznę, w której znajdują się wektory x i y pomalowano na niebiesko. Prostopadle do tej płaszczyzny, pionowo do góry, wyprowadzono czerwony wektor oznaczony małą czarną literą z  ze znaczkiem wektora ponad nią. Wszystkie trzy wektory mają wspólny punkt przyłożenia oznaczony czarną cyfrą zero. Pomiędzy wektorami x i y widzianymi od góry narysowano czarny łuk kąta skierowanego odwrotnie do kierunku ruchu wskazówek zegara. Na rysunku umieszczono też śrubę prawoskrętną skierowaną główką w dół a gwintem do góry. Jeśli obrócimy tę śrubę zgodnie z kontem skierowanym to będzie się ona wkręcać w górę co pokazano na rysunku za pomocą zielonej strzałki skierowanej w górę umieszczonej obok śruby. Stąd otrzymujemy kierunek i zwrot wektora z.

RnOegCEwYFGjU

Rys. 2b. W dolnej części rysunku narysowano dwa prostopadłe czarne wektory jeden oznaczony małą czarną literą x ze znaczkiem wektora ponad nią a drygi małą czarną literą y ze znaczkiem wektora ponad nią. Wektor x na rysunku skierowany jest w prawo a wektor y w głąb rysunku. Płaszczyznę, w której znajdują się wektory x i y pomalowano na niebiesko. Prostopadle do tej płaszczyzny, pionowo do dołu, wyprowadzono czerwony wektor oznaczony małą czarną literą z  ze znaczkiem wektora ponad nią. Wszystkie trzy wektory mają wspólny punkt przyłożenia oznaczony czarną cyfrą zero. Pomiędzy wektorami x i y widzianymi od góry narysowano czarny łuk kąta skierowanego zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Na rysunku umieszczono też śrubę prawoskrętną skierowaną główką w górę a gwintem do dołu. Jeśli obrócimy tę śrubę zgodnie z kontem skierowanym to będzie się ona wkręcać w dół co pokazano na rysunku za pomocą zielonej strzałki skierowanej w dół umieszczonej obok śruby. Stąd otrzymujemy kierunek i zwrot wektora z.

Zwróć uwagę na to, że iloczyn wektorowy nie jest przemienny, $\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}\ne \overrightarrow{y}\times \overrightarrow{x}$. Kierunek i wartość są takie same, ale zwroty są przeciwne. Zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej

Kolejnym krokiem, po ustaleniu kierunku i zwrotu iloczynu wektorowego, będzie wyliczenie jego wartości.

Wartość wektora będącego wynikiem iloczynu wektorowego wektora $\overrightarrow{x}$ przez wektor $\overrightarrow{y}$ jest równa iloczynowi wartości wektorów $\overrightarrow{x}$ i $\overrightarrow{y}$ oraz sinusa kąta między nimi.

Dla iloczynu wektorowego:

gdzie $\alpha$ jest kątem między wektorem $\overrightarrow{x}$ a wektorem $\overrightarrow{y}$. Jeśli kąt $\alpha$ jest rozwarty, to stosujemy tożsamość:

Ale po co nam właściwie iloczyn wektorowy?

Wielkości fizyczne są potrzebne do opisu zjawisk fizycznych. Możemy wyróżnić wielkości wektorowe i wielkości skalarne. Okazuje się, że do zdefiniowania niektórych wielkości wektorowych musimy posłuży się iloczynem wektorowym. Tak jest w przypadku między innymi: momentu siłymoment siłymomentu siły, siły elektrodynamicznejsiła elektrodynamicznasiły elektrodynamicznej i siły Lorentzasiła Lorentzasiły Lorentza. Każda z tych wielkości jest dokładnie opisana w e‑materiałach. Tu poznasz je jako przykłady zastosowania iloczynu wektorowego.

Moment siły to iloczyn wektorowy promienia wodzącego $\overrightarrow{r}$ o początku w punkcie podparcia i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz siły $\overrightarrow{F}$:

(Więcej szczegółów o momencie siły znajdziesz w e‑materialach „Jak definiuje się moment siły?” i „Jak wyznaczyć moment siły”.)

Drugim takim przykładem jest siła działająca na ładunek w polu magnetycznym.

Na ładunek dodatni $q$ poruszający się z prędkością $v$ w polu magnetycznym o indukcji $B$ działa siła zwana siłą Lorentza:

Siła ta jest definiowana jako iloczyn ładunku i iloczynu wektorowego wektora prędkości przez wektor indukcji pola magnetycznego.

(Więcej szczegółów o sile Lorentza znajdziesz w e‑materialach „Czym jest siła Lorentza?” i „Jakie siły działają na pętlę z przewodnika z prądem w jednorodnym polu magnetycznym?”.)

Kolejnym przykładem wielkości fizycznej definiowanej jako iloczyn wektorowy innych wielkości wektorowych jest siła działająca na przewodnik, przez który płynie prąd, umieszczony w polu magnetycznym. Przepływ prądu to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych, a na ładunek poruszający się w polu magnetycznym działa siła Lorentza. Z tego wniosek, że na płynący prąd powinna działać jakaś siła ze strony pola magnetycznego. Jeśli rozpatrzymy prostoliniowy przewodnik o długości $l$ umieszczony w polu magnetycznym o indukcji $B$, przez który płynie prąd elektryczny natężeniu $I$, to siła działająca na ten przewodnik wynosi

Siłę tę nazywamy siłą elektrodynamiczną.

(Więcej szczegółów o sile elektrodynamicznej znajdziesz w e‑materialach „Co to jest siła elektrodynamicznasiła elektrodynamicznasiła elektrodynamiczna?” i „Od jakich parametrów zależy wartość siły elektrodynamicznej – na podstawie doświadczeń”.)

Słowniczek