Warto przeczytać

Zanim odpowiemy precyzyjnie na pytanie „Jakie warunki muszą być spełnione, aby bryła sztywna była w równowadze?”, zastanówmy się, co właściwie rozumiemy pod pojęciem „równowagi”. Stojące dookoła nas budynki i spoczywające przedmioty są w równowadze, a przewracająca się wieża z klocków, albo człowiek, który się poślizgnął i upada, ewidentnie w równowadze nie są. Intuicyjnie czujemy zatem, że równowaga związana jest ze spoczynkiem, czyli brakiem zmian w położeniu ciała lub układu ciał względem siebie. Ale również, gdy ciało będzie się poruszało ruchem jednostajnym prostoliniowym, w niezakłócony sposób, powiemy, że jest w równowadze – satelita lecący przez przestrzeń kosmiczną, czy samochód toczący się monotonnie w korku również będą w równowadze. Te intuicyjne rozważania można zapisać matematycznie – zrobił to Newton w XVII wieku. Sformułował on pierwszą zasadę dynamiki w następujący sposób:

„Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym”.

Będziemy zatem przyglądać się siłom, które przyłożone są do ciała – jeśli siły te się równoważą, ciało nie będzie miało przyspieszenia względem przyjętego układu odniesienia: będzie albo spoczywać, albo poruszać się jednostajnie po prostej. Zasada ta obowiązuje zarówno dla punktu materialnego, jak i zbioru punktów, czyli ciała lub bryły sztywnej. Zwróćmy uwagę, że pierwsza zasada dynamiki sformułowana przez Newtona mówi o ruchu postępowym, ale bryła sztywna może zarówno poruszać się ruchem postępowym, jak i ruchem obrotowym. O ile do zbadania ruchu postępowego ciała musieliśmy przyjrzeć się przyłożonym do niego siłom, to przy ruchu obrotowym będziemy przyglądać się momentom siłmoment siłymomentom sił. Możemy sformułować analogiczne prawo, które pozwoli nam zrozumieć, dlaczego niektóre obiekty się obracają, a inne nie:

„Jeśli na ciało nie działają żadne momenty siłmoment siłymomenty sił, lub działające momenty sił się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub obraca się ruchem jednostajnym”.

Czyli mówiąc o równowadze bryły sztywnej, będziemy analizować zarówno równowagę sił, jak i momentów sił. Bryła sztywna będzie w równowadze, jeśli suma wszystkich działających na nią sił i suma wszystkich momentów sił wyniosą zero:

Mając to na uwadze przyjrzymy się Rys. 1. W każdym momencie na przedstawioną bryłę sztywną działa skierowana pionowo w dół siła grawitacji $\overrightarrow{F_g}$ oraz skierowana pionowo do góry siła reakcji podłoża $\overrightarrow{F_r}$. W położeniach B i C ewidentnie ciało to nie jest w równowadze, pojawia się niezrównoważony moment siłymoment siłymoment siły, który sprawia, że bryła wraca do pionu lub się przewraca. W położeniach A i D widać, że bryła pozostaje w równowadze, ponieważ nie występują żadne momenty sił (więc ich suma wynosi 0), a działające siły mają tę samą wartość, ale przeciwny zwrot, czyli się równoważą. Ale czy ta równowaga jest… tego samego rodzaju? Przecież łatwiej przewrócić taki prostopadłościan na dłuższy bok, gdy stoi na krótszym. Czym więc różni się równowaga w położeniu A i D?

RDhsXV4hjcInV

Rys. 1. Ilustracja przedstawia prostokątny, niebieski klocek umieszczony w czterech pozycjach na płaskiej powierzchni w postaci poziomej czarnej linii. Z lewej strony widoczna jest część opisana wielką literą A, na której klocek ustawiony jest na powierzchni płaskiej w pozycji pionowej. Do środka klocka oznaczonego czarnym punktem przyłożone są dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czarną strzałką skierowaną pionowo w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Czerwoną strzałką skierowaną pionowo w górę narysowano wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji. Obok, po prawej stronie opisanej wielką literą B widoczny jest ten sam niebieski klocek pochylony lekko w prawo i stojący na prawym dolnym rogu. Do środka klocka przyłożono pionowo skierowany wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g narysowany w postaci pionowej, czarnej strzałki skierowanej w dół. Z prawego dolnego rogu klocka do jego środka poprowadzono czerwoną strzałkę opisaną jako ramię siły reakcji mała litera r. Z prawego dolnego rogu klocka wychodzi wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym małą litera r. Narysowano go w postaci czerwonej strzałki skierowanej pionowo w górę. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji. Obok, po prawej stronie opisanej wielką literą C, pokazano ponownie ten sam niebieski klocek, ale pochylony jeszcze bardziej w prawo. Do środka klocka przyłożono pionowo skierowany wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g narysowany w postaci pionowej, czarnej strzałki skierowanej w dół. Z prawego dolnego rogu klocka do jego środka widoczna jest czerwona strzałka opisana jako ramię siły reakcji mała litera r. Z prawego dolnego rogu klocka wychodzi wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym małą litera r. Narysowano go w postaci czerwonej strzałki skierowanej pionowo w górę. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji. Najbardziej po prawej stronie widoczna jest część opisana wielką literą D, na której klocek leży na płaskiej powierzchni na swoim dłuższym boku. Do środka klocka oznaczonego czarnym punktem przyłożone są dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czarną strzałką skierowaną pionowo w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Czerwoną strzałką skierowaną pionowo w górę narysowano wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji.

Faktycznie wyróżniamy różne rodzaje równowagi. Aby to lepiej zrozumieć przyjrzyjmy się jeszcze jednej orientacji bryły, jak na Rys. 2.:

R1S9I7zFlgjlk

Rys. 2. Ilustracja przedstawia prostokątny, niebieski klocek umieszczony w trzech pozycjach na płaskiej powierzchni w postaci poziomej czarnej linii. Z lewej strony widoczna jest część opisana wielką literą A, na której klocek ustawiony jest na powierzchni płaskiej w pozycji pionowej. Do środka klocka oznaczonego czarnym punktem przyłożone są dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czarną strzałką skierowaną pionowo w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Czerwoną strzałką skierowaną pionowo w górę narysowano wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji. Obok, po prawej stronie, w części opisanej wielką literą B pokazano ten sam klocek pochylony lekko w prawo i stojący na swoim prawym dolnym rogu na powierzchni płaskiej. Do środka klocka oznaczonego czarnym punktem przyłożone są dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czarną strzałką skierowaną pionowo w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Czerwoną strzałką skierowaną pionowo w górę narysowano wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji. Najbardziej po prawej stronie, w części opisanej wielką literą C pokazano ten sam klocek leżący na swoim dłuższym boku. Do środka klocka oznaczonego czarnym punktem przyłożone są dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czarną strzałką skierowaną pionowo w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Czerwoną strzałką skierowaną pionowo w górę narysowano wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji.

We wszystkich trzech przypadkach bryła jest w równowadze, zgodnie z tym co napisaliśmy o równowadze sił i momentów sił. Wiemy jednak z codziennego doświadczenia, że ciało C pozostanie w tym położeniu, ciało B za chwilę runie w lewo lub w prawo, a ciało A również pozostanie w tym położeniu, ale łatwiej będzie zmienić jego orientację niż orientację ciała leżącego. Dlaczego? Rozważmy to z punktu widzenia momentów sił oraz z punktu widzenia energii potencjalnej.

Jakie będą wartości, kierunki i zwroty momentów siły, gdy każde z tych ciał odrobinę wytrącimy z obecnego położenia równowagi?

W bryle postawionej na krawędzi pojawi się niezrównoważony moment siłymoment siłymoment siły, który będzie powodował ruch obrotowy oddalający bryłę od pierwotnego położenia równowagi – taki stan nazywamy stanem równowagi chwiejnej (Rys. 3a., Rys. 3b.).

R12Tadcf6Z5ZN

Rys. 3a. Ilustracja przedstawia prostokątny, niebieski klocek umieszczony w trzech pozycjach na płaskiej powierzchni w postaci poziomej czarnej linii. Z lewej klocek ustawiony jest na powierzchni płaskiej w pozycji w pozycji lekko pochylonej w prawą stronę i stoi on na swoim prawym dolnym rogu. Do środka klocka oznaczonego czarnym punktem przyłożone są dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czarną strzałką skierowaną pionowo w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Czerwoną strzałką skierowaną pionowo w górę narysowano wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji. Na klocek działa zewnętrzna siła wielka litera F z indeksem dolnym mała litera z, którą narysowano w postaci zielonej, poziomej strzałki skierowanej w prawo. Siła ta powoduje dalsze przechylanie klocka. Obok po prawej stronie pokazano ponownie ten sam niebieski klocek, ale pochylony jeszcze bardziej w prawo. Do środka klocka przyłożono pionowo skierowany wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g narysowany w postaci pionowej, czarnej strzałki skierowanej w dół. Z prawego dolnego rogu klocka do jego środka widoczna jest czerwona strzałka opisana jako ramię siły reakcji mała litera r. Z prawego dolnego rogu klocka wychodzi wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym małą litera r. Narysowano go w postaci czerwonej strzałki skierowanej pionowo w górę. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji. Najbardziej po prawej pokazano ten sam klocek leżący na płaskiej powierzchni na swoim dłuższym boku. Do środka klocka oznaczonego czarnym punktem przyłożone są dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czarną strzałką skierowaną pionowo w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Czerwoną strzałką skierowaną pionowo w górę narysowano wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji.

RJoadM6cinugx

Rys. 3b. Ilustracja przedstawia prostokątny, niebieski klocek umieszczony w trzech pozycjach na płaskiej powierzchni w postaci poziomej czarnej linii. Z lewej strony klocek ustawiony jest na powierzchni płaskiej w pozycji lekko pochylonej w prawą stronę i stoi na swoim prawym dolnym rogu. Do środka klocka oznaczonego czarnym punktem przyłożone są dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czarną strzałką skierowaną pionowo w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Czerwoną strzałką skierowaną pionowo w górę narysowano wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji. Na klocek działa zewnętrzna siła wielka litera F z indeksem dolnym mała litera z, narysowana w postaci zielonej, poziomej strzałki skierowanej w lewo. Siła to powoduje dalsze przechylanie klocka do pozycji, w której stać będzie pionowo na swoim krótszym boku. Obok po prawej stronie pokazano ponownie ten sam niebieski klocek, ale pochylony jeszcze bardziej w prawo. Do środka klocka przyłożono pionowo skierowany wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g narysowany w postaci pionowej, czarnej strzałki skierowanej w dół. Z prawego dolnego rogu klocka do jego środka widoczna jest czerwona strzałka opisana jako ramię siły reakcji mała litera r. Z prawego dolnego rogu klocka wychodzi wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Narysowano go w postaci czerwonej strzałki skierowanej pionowo w górę. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji. Najbardziej po prawej pokazano ten sam niebieski klocek ustawiony na powierzchni płaskiej w pozycji pionowej. Do środka klocka oznaczonego czarnym punktem przyłożone są dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czarną strzałką skierowaną pionowo w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Czerwoną strzałką skierowaną pionowo w górę narysowano wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji.

W przypadku bryły na Rys. 3c. – próba obrócenia jej, aby postawić ją do pionu, spowoduje powstanie momentu siły skierowanego tak, aby powrócić ją do pozycji poziomej. Taki stan nazywamy stanem równowagi trwałej.

Rd0PrKySEvEWF

Rys. 3c. Ilustracja przedstawia prostokątny, niebieski klocek umieszczony w trzech pozycjach na płaskiej powierzchni w postaci poziomej czarnej linii. Z lewej strony pokazano klocek leżący na płaskiej powierzchni na swoim dłuższym boku. Do środka klocka oznaczonego czarnym punktem przyłożone są dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czarną strzałką skierowaną pionowo w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Czerwoną strzałką skierowaną pionowo w górę narysowano wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji. Na klocek działa siła zewnętrzna wielka litera F z indeksem dolnym mała litera z, narysowana w postaci zielonej, pionowej strzałki skierowanej w górę. Obok po prawej stronie pokazano ponownie ten sam niebieski klocek, ale pochylony jeszcze bardziej w prawo. Do środka klocka przyłożono pionowo skierowany wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g narysowany w postaci pionowej, czarnej strzałki skierowanej w dół. Z prawego dolnego rogu klocka do jego środka poprowadzono czerwoną strzałkę opisaną jako ramię siły reakcji mała litera r. Z prawego dolnego rogu klocka wychodzi wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym małą litera r. Narysowano go w postaci czerwonej strzałki skierowanej pionowo w górę. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji. Najbardziej po prawej pokazano klocek w pozycji początkowej, który leży na płaskiej powierzchni na swoim dłuższym boku. Do środka klocka oznaczonego czarnym punktem przyłożone są dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czarną strzałką skierowaną pionowo w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Czerwoną strzałką skierowaną pionowo w górę narysowano wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji.

A co z bryłą na Rys. 3d.? Też delikatne wytrącenie jej z położenia równowagi sprawi, że powstanie moment siły, który będzie skierowany w kierunku przywracającym położeniem pionowe. Czy jest to zatem również równowaga trwała? Nie do końca – ponieważ wytrącenie tego ciała odrobinę bardziej z położenia równowagi sprawi, że moment siły zmieni swój kierunek, a ciało się przewróci. Taki stan nazywamy stanem metastabilnym.

RS5dhXwQPojqx

Rys. 3d. Ilustracja przedstawia prostokątny, niebieski klocek umieszczony w trzech pozycjach na płaskiej powierzchni w postaci poziomej czarnej linii. Z lewej klocek ustawiony jest na powierzchni płaskiej w pozycji pionowej. Do środka klocka oznaczonego czarnym punktem przyłożono dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czarną strzałką skierowaną pionowo w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Czerwoną strzałką skierowaną pionowo w górę narysowano wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji. Na klocek działa zewnętrzna siła wielka litera F z indeksem dolnym mała litera z narysowana w postaci zielonej, poziomej strzałki skierowanej w prawo. Siła ta powoduje przechylanie klocka w prawo. Obok po prawej stronie pokazano ponownie ten sam niebieski klocek, ale pochylony jeszcze bardziej w prawo. Do środka klocka przyłożono pionowo skierowany wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g narysowany w postaci pionowej, czarnej strzałki skierowanej w dół. Z prawego dolnego rogu klocka do jego środka widoczna jest czerwona strzałka opisana jako ramię siły reakcji mała litera r. Z prawego dolnego rogu klocka wychodzi wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym małą litera r. Narysowano go w postaci czerwonej strzałki skierowanej pionowo w górę. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji. Najbardziej z prawej stronie klocek ustawiono ponownie na powierzchni płaskiej w pozycji w pozycji pionowej. Do środka klocka oznaczonego czarnym punktem przyłożone są dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czarną strzałką skierowaną pionowo w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Czerwoną strzałką skierowaną pionowo w górę narysowano wektor siły reakcji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r. Wektor siły grawitacji jest tej samej długości co wektor siły reakcji.

Przyjrzyjmy się jeszcze raz Rys. 2. Przeanalizujmy teraz nie zmiany wartości sił i momentów sił, ale zmiany położenia środka masy. Środek masy zaznaczony jest na rysunku czarną kropką. Zwróćmy uwagę, że postawienie tej bryły na krawędzi sprawia, że środek masy znajduje się wyżej – znaczy to, że zwiększyła się energia potencjalna tej bryły. Natomiast po przewróceniu się na dłuższy bok środek masy jest zdecydowanie niżej – zatem energia potencjalna się zmniejszyła. Ustaliliśmy wcześniej, że stan, gdy ciało postawione jest na krawędzi to stan równowagi chwiejnej, a gdy leży na dłuższym boku, to stan równowagi trwałej. Teraz możemy to samo zdanie sformułować z punktu widzenia energii potencjalnej. Każde ciało dąży do stanu o najniższej energii potencjalnej. Zatem stan, w którym położenie środka masy jest najniżej, jest stanem równowagi trwałej. Aby ustalić, w jakim stanie jest ciało, należy zadać pytanie: czy na skutek przyłożenia do ciała siły, która wytrąci je z położenia równowagi, energia ciała wzrośnie, zmaleje czy pozostanie bez zmian? Omawiane sytuacje porównajmy z Rys. 4.:

R1LOvVJtyJ7tX

Rys. 4. Rysunek przedstawia schematycznie stany równowagi zielonej kulki na powierzchniach o różnej geometrii. Najbardziej po lewej pokazano zieloną kulkę w półokrągłym, wklęsłym naczyniu. Położenie równowagi trwałej osiągane jest przez kulkę znajdującą się w najniższym punkcie naczynia. W każdej innej pozycji kulka dąży do położenia najniższego wykorzystując siłę grawitacji. Pokazano to w postaci jaśniejszej, zielonej kulki na lewym zboczu wklęsłego naczynia. Do kulki przytwierdzono czarną strzałkę skierowaną ku dnu naczynia, co symbolizuje tendencję do obniżenia wysokości. Po prawej pokazano stan równowagi chwiejnej. Zielona kulka znajduje się na szczycie wypukłego półokrągłego naczynia. Wytrącenie kulki z tego położenia spowoduje jej stoczenie się, co pokazano w postaci jaśniejszej, zielonej kulki staczającej się po lewym zboczu naczynia. Obok, po prawej pokazano stan obojętny. Zielona kulka znajduje się na powierzchni płaskiej. Wytrącenie jej z tego położenia spowoduje jedynie zmianę położenia w poziomie, a nie w pionie. Pokazano to w postaci jaśniejszej, zielonej kulki po prawej stronie od kulki ciemnozielonej. Na kulkę jaśniejszą nie działa żadna siła. Najbardziej po prawej pokazano stan metastabilny. Zielona kulka znajduje się na szczycie wypukłego półokrągłego naczynia, które na szczycie ma niewielkie zagłębienie. Wytrącenie kulki z tego położenia wymaga większej siły niż w stanie równowagi chwiejnej, ale i tak spowoduje jej stoczenie się, co pokazano w postaci jaśniejszej, zielonej kulki staczającej się po lewym zboczu naczynia.

Jeśli energia potencjalna ciała się zmniejsza wskutek wytrącenia go z położenia równowagi, to mówimy o równowadze chwiejnej, jak w przykładzie B na Rys. 2.

Jeśli energia potencjalna ciała się zwiększa wskutek wytrącenia go z położenia równowagi, to ciało to było w równowadze trwałej i będzie do niego wracać, jak w położeniu C na Rys. 2.

Sytuacja przedstawiona w części A Rys. 2. odpowiada sytuacji „metastabilnej”, jak w prawej części Rys. 4. W tym wypadku ciało jest w lokalnym minimum energii potencjalnej. Oznacza to, że po przyłożeniu siły o niewielkiej wartości ciało wróci do wyjściowej pozycji, ale przyłożenie nieco większej siły wytrącającej go z położenia równowagi może sprawić, że zajmie nową pozycję – przewróci się. Po przewróceniu ciało to znajdzie się w globalnym minimum energii potencjalnym, a nie lokalnym. Innymi słowy: położenie środka masy będzie najniższe z możliwych w tym układzie.

Czyli nasz pionowo postawiony prostopadłościan przy lekkim dotknięciu się zakołysze, ale wróci do pionu, do lokalnego położenia równowagi, a przy mocniejszym pchnięciu przewróci się, zajmując globalne położenie równowagi.

Słowniczek