Rozwiążemy równanie $x^3+6x=7$.

Rozwiązanie:

Krok 1

Stosujemy podstawienie $x=u-v$.

Stąd:

Krok 2

Ustalamy $u$ i $v$ tak, aby $-uv+2=0$

stąd:

$v=\frac{2}{u}$ i $u^3-v^3=7$

Podstawiamy wyznaczone $v$ do równania.

Krok 3

Stosujemy kolejne podstawienie: $u^3=t$.

Otrzymujemy znane nam już równanie stopnia $2$. Obliczamy wyróżnik równania i pierwiastki.

$t_1=\frac{7-9}{2}=-1$, stąd $u_1=\sqrt[3]{-1}=-1$ i $v_1=\frac{2}{-1}=-2$

$t_2=\frac{7+9}{2}=8$, stąd $u_2=\sqrt[3]{8}=2$ i $v_2=\frac{2}{2}=1$

Krok 4

Wyznaczamy pierwiastki równania.

Odpowiedź:

Jedynym pierwiastkiem rzeczywistym równania jest liczba $1$.

Równanie postaci $x^3+px+q=0$, gdzie $p\in \mathrm{ℝ}$, $q\in \mathrm{ℝ}$ ma dokładnie jeden pierwiastek

gdzie:

$\Delta ={\left(\frac{p}{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2$ i $\Delta >0$.

Wykażemy, że liczba $M=\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}$ jest równa $2$.

Rozwiązanie:

Skorzystamy z podanego wyżej twierdzenia.

Zauważmy, że:

Załóżmy, że $M$ jest rozwiązaniem pewnego równania sześciennego typu $x^3+px+q=0$.

Wtedy:

$-\frac{q}{2}=7$ i $\Delta ={\left(\frac{p}{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2=50$

Stąd:

$q=-14$ i $\frac{p^3}{27}+{\left(-\frac{14}{2}\right)}^2=50$

Wyznaczamy $p$:

$p^3=\left(50-49\right)·27$, $p=3$.

Poszukiwane równanie to $x^3+3x-14=0$.

Łatwo sprawdzimy, że pierwiastkiem tego równania jest liczba $2$.

Ponieważ liczba $2$ jest jedynym pierwiastkiem równania $x^3+3x-14=0$, zatem $M=2$, co należało wykazać.

Wyprowadzimy wzór ${\left(a+b+c\right)}^3$.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

Zapisujemy sześcian w postaci iloczynu.

Skorzystamy ze wzoru na kwadrat sumy $3$ wyrażeń.

Zapisujemy wzór na sześcian sumy $3$ wyrażeń w prostszej postaci.

jest równy iloczynowi kwadratu sumy tych wyrażeń przez sumę tych wyrażeń