Przeczytaj

Nierówność kwadratowa

Definicja: Nierówność kwadratowa

Nierównością kwadratową z niewiadomą $x$ nazywamy każdą nierówność postaci

$a x^{2} + b x + c > 0$ lub $a x^{2} + b x + c \geq 0$ lub $a x^{2} + b x + c < 0$ lub $a x^{2} + b x + c \leq 0,$

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$ .

Nierówności, w których wszystkie współczynniki są różne od $0$ , nazywamy nierównościami kwadratowymi zupełnymi.

Nierówności, w których współczynniki $b$ lub $c$ są równe $0$ , nazywamy nierównościami kwadratowymi niezupełnymi.

Jeżeli $b = 0$ i $c = 0$ to nierówność kwadratowa jest postaci $a x^{2} > 0$ lub $a x^{2} < 0$ lub $a x^{2} \geq 0$ lub $a x^{2} \leq 0$ .

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność kwadratową niezupełnąnierówność kwadratowa niezupełnanierówność kwadratową niezupełną $2 x^{2} - 4 x > 0$ .

Wyłączymy jednomian $2 x$ przed nawias.

$2 x (x - 2) > 0$

Obliczamy miejsca zerowe funkcji $f (x) = 2 x (x - 2)$ .

$2 x = 0$ lub $x - 2 = 0$

$x = 0$ lub $x = 2$

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry (bo współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni).

RZrdpyxnPCAto

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: 0 i 2. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się nad osią, w zerze przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie dwa. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem.

x \in (- \infty, 0) \cup (2, \infty)

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$ .

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność kwadratową $- x^{2} \leq - \sqrt{3} x$ .

Przenosimy niewiadome na lewą stronę nierówności.

$- x^{2} + \sqrt{3} x \leq 0$

Wyłączymy $x$ przed nawias.

$x (- x + \sqrt{3}) \leq 0$

Aby wyznaczyć miejsca zerowe funkcji $f (x) = x (- x + \sqrt{3})$ rozwiązujemy równanie $x (- x + \sqrt{3}) = 0$ .

$x = 0$ lub $- x + \sqrt{3} = 0$

$x = 0$ lub $x = \sqrt{3}$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji.

Ramiona paraboli są skierowane do dołu, bo współczynnik przy $x^{2}$ jest ujemny.

R1TyMsLWwqPKM

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: 0 i 3. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do dołu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią, w zerze przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie 3. Fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

x \in (- \infty, 0 > \cup < \sqrt{3}, \infty)

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $(- \infty, 0 > \cup < \sqrt{3}, \infty)$ .

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność kwadratową $2 x^{2} \geq \frac{x^{2}}{2}$ .

Nierówność doprowadzimy do postaci $a x^{2} + b x \geq 0$ , $a \neq 0$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 2 x \geq 0$

Pomnożymy obie strony nierówności przez $2$ .

$- x^{2} + 4 x \geq 0$

Wyłączymy $x$ przed nawias i obliczymy miejsca zerowe funkcji $f (x) = - x^{2} + 4 x$ .

$x (- x + 4) = 0$

$x = 0$ lub $x = 4$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji $f$ . Ramiona paraboli są skierowane do dołu, bo współczynnik przy $x^{2}$ jest ujemny.

R14FeC35g1Y0v

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: 0 i 4. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do dołu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią, w zerze przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie 4. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Odczytujemy z wykresu argumenty, dla których wartości funkcji są nieujemne.

x \in ⟨0, 4⟩

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $⟨0, 4⟩$ .

Przykład 4

Obliczymy, dla jakiej wartości parametru m rozwiązaniem nierówności $2 x^{2} - m x > 0$ jest zbiór $(- \infty, 0) \cup (6, \infty)$ .

$2 x^{2} - m x > 0$

$x (2 x - m) > 0$

Obliczymy teraz miejsca zerowe funkcji $f (x) = x (2 x - m)$ .

$x (2 x - m) = 0$

$x = 0$ lub $x = \frac{m}{2}$

Czyli $\frac{m}{2} = 6 \Rightarrow m = 12$ .

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry.

R90AUpLFpUYQc

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: 0 i 6. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się nad osią, w zerze przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 6. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Czyli $x \in (- \infty, 0) \cup (6, \infty)$ .

Zatem dla $m = 12$ rozwiązaniem nierówności jest zbiór $(- \infty, 0) \cup (6, \infty)$ .

Przykład 5

Wyznaczymy takie liczby całkowite dodatnie, dla których kwadrat danej liczby jest nie większy od trzykrotności tej liczby.

Zapiszemy nierówność opisującą sytuację podaną w zadaniu.

$x$ – liczba całkowita dodatnia

$x^{2} \leq 3 x$

$x^{2} - 3 x \leq 0$

$x (x - 3) \leq 0$

$x = 0$ lub $x =3$

RPRFVUPhC5cdn

x \in ⟨0, 3⟩

Ponieważ liczby są całkowite dodatnie, zatem $x \in \{1, 2, 3\}$ .

Słownik

nierówność kwadratowa niezupełna

nierówność, w której współczynniki we wzorze ogólnym nierówności kwadratowej $b$ lub $c$ są równe $0$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik