Nierówność kwadratowaDefinicja: Nierówność kwadratowa
Nierównością kwadratową z niewiadomą nazywamy każdą nierówność postaci
lub lub lub
gdzie:
, , – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i .
Nierówności, w których wszystkie współczynniki są różne od , nazywamy nierównościami kwadratowymi zupełnymi.
Nierówności, w których współczynniki lub są równe , nazywamy nierównościami kwadratowymi niezupełnymi.
Jeżeli i to nierówność kwadratowa jest postaci lub lub lub .
Przykład 1
Rozwiążemy nierówność kwadratową niezupełnąnierówność kwadratowa niezupełnanierówność kwadratową niezupełną .
Wyłączymy jednomian przed nawias.
Obliczamy miejsca zerowe funkcji .
lub
lub
Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry (bo współczynnik przy jest dodatni).
RZrdpyxnPCAto
Zbiorem rozwiązań nierówności jest .
Przykład 2
Rozwiążemy nierówność kwadratową .
Przenosimy niewiadome na lewą stronę nierówności.
Wyłączymy przed nawias.
Aby wyznaczyć miejsca zerowe funkcji rozwiązujemy równanie .
lub
lub
Szkicujemy przybliżony wykres funkcji.
Ramiona paraboli są skierowane do dołu, bo współczynnik przy jest ujemny.
R1TyMsLWwqPKM
Zbiorem rozwiązań nierówności jest .
Przykład 3
Rozwiążemy nierówność kwadratową .
Nierówność doprowadzimy do postaci , .
Pomnożymy obie strony nierówności przez .
Wyłączymy przed nawias i obliczymy miejsca zerowe funkcji .
lub
Szkicujemy przybliżony wykres funkcji . Ramiona paraboli są skierowane do dołu, bo współczynnik przy jest ujemny.
R14FeC35g1Y0vOdczytujemy z wykresu argumenty, dla których wartości funkcji są nieujemne.
Zbiorem rozwiązań nierówności jest .
Przykład 4
Obliczymy, dla jakiej wartości parametru m rozwiązaniem nierówności jest zbiór .
Obliczymy teraz miejsca zerowe funkcji .
lub
Czyli .
Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry.
R90AUpLFpUYQcCzyli .
Zatem dla rozwiązaniem nierówności jest zbiór .
Przykład 5
Wyznaczymy takie liczby całkowite dodatnie, dla których kwadrat danej liczby jest nie większy od trzykrotności tej liczby.
Zapiszemy nierówność opisującą sytuację podaną w zadaniu.
– liczba całkowita dodatnia
lub
RPRFVUPhC5cdn
Ponieważ liczby są całkowite dodatnie, zatem .
Słownik
nierówność kwadratowa niezupełnanierówność kwadratowa niezupełna
nierówność, w której współczynniki we wzorze ogólnym nierówności kwadratowej lub są równe