Warto przeczytać

Ruch to zmiana położenia ciała z upływem czasu, obserwowana względem wybranego ciała, nazywanego układem odniesienia. Dla wygody opisu położenia z układem odniesienia wiąże się układ współrzędnych.

Wielkościami opisującymi ruch są między innymi: tor, droga, przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie.

W tym e‑materiale poznasz wielkości opisujące ruch ciała, którego wymiary nie wpływają na opis ruchu i w opisie ruchu możemy traktować je jako punkt materialnypunkt materialnypunkt materialny.

Punktem materialnym nazywa się ciało, które ma masę, ale nie ma wymiarów.

Torem ruchu nazywa się linię, po której porusza się punkt.

Droga to długość toru lub jego fragmentu. Drogę oznacza się literą s. Gdy mamy dany wykres zależności prędkości od czasu, to przebytą drogę możemy obliczyć jako pole figury ograniczonej tym wykresem i osią czasu (Rys. 1.).

R1XB5XWbdnSvH

Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczny prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest i przedstawia prędkość wielka litera V. Na osi prędkości zaznaczono wartość mała litera v z indeksem dolnym zero większą od zera. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i przedstawia czas mała liter t. W układzie widoczna jest funkcja narysowana ciągłą i czerwoną linią. Początek funkcja znajduje się na osi prędkości od wartości mała litera v z indeksem dolnym zero. Następnie funkcja niejednostajnie rośnie i maleje wraz ze wzrostem wartości czasu. Funkcję zależności prędkości od czasu opisano, jako mała litera v równa mała litera f i w nawiasie mała litera t. Na wykresie zaznaczono pole powierzchni pod wykresem funkcji. Pole powierzchni pod wykresem funkcji przedstawiającej zależność prędkości od czasu jest równe drodze.

Przemieszczenie to wektor łączący wybrane położenia poruszającego się punktu. Oznacza się je symbolem $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$.

Prędkość jest wielkością wektorową opisującą ruch. Prędkość jest oznaczana zazwyczaj symbolem $\vec{v}$. Jeżeli opisujemy wartość prędkości, wówczas stosuje się symbol $v$ – bez strzałki. Wektor prędkości jest styczny do toru ruchu. Wartość prędkości można obliczyć dzieląc wartość przemieszczenia przez czas, w którym nastąpiło. Ponieważ prędkość może ulegać ciągłym zmianom, pomiar przemieszczenia powinien odbywać się w jak najkrótszym czasie. Jeżeli wartość prędkości jest stała, to czas pomiaru nie musi być krótki.

Dokładnie wektor prędkości definiuje równanie: $\vec{v}$=$\frac{\overrightarrow{\mathrm{\text{Δr}}}}{\mathrm{\text{Δt}}}$ , gdzie $\Delta t\rightarrow0$.

R1T1Z4THj6lgb

Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu mała litera y jest skierowana w górę. Oś pozioma układu mała litera x jest skierowana w prawo. Osie układu przedstawiają położenie ciała w dwóch prostopadłych względem siebie kierunkach. W układzie widoczna jest funkcja narysowana ciągłą i niebieską linią. Początek funkcji znajduje się na osi mała litera x dla jej dodatniej wartości. Wraz ze wzrostem wartości współrzędnej mała litera x wartość współrzędnej mała litera y początkowo rośnie niejednostajnie a następnie niejednostajnie maleje. Końcowy fragment funkcji przedstawia zależność gdzie dla malejących wartości współrzędnej mała litera x, wartość współrzędnej mała litera y również maleje. Niebieską funkcję podpisana jako tor ruchu. Na wykresie funkcji zaznaczono dwa niebieskie punkty symbolizujące położenie ciała w dwóch różnych chwilach. Z punktu po lewej stronie dla mniejszej wartości współrzędnej mała litera x poprowadzono czerwoną strzałkę skierowaną w prawo i w górę, która jest styczna do toru ruchu. Strzałka ta symbolizuje wektor prędkości liniowej ciała mała litera v z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor w chwili, gdy ciało znajduje się w tym położeniu. Z niebieskiego punktu po prawej stronie również poprowadzono czerwoną strzałkę symbolizującą wektor chwilowej prędkości liniowej ciała w tym położeniu mała litera v z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Strzałka ta skierowana jest w prawo i w dół. Od niebieskiego punktu po lewej stronie poprowadzono zieloną strzałkę do niebieskiego punktu po prawej stronie. Strzałka ta symbolizuje wektor przemieszczenia ciała pomiędzy tymi punktami wielka grecka litera delta i mała litera t ze strzałką oznaczającą wektor.

Przyspieszenie jest wektorem opisującym zmianę prędkości, oznacza się je symbolem $\vec{a}$ i definiuje wzorem $\vec{a}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$, przy czym $\Delta t\rightarrow0$. Jeżeli przyspieszenie jest stałe, jego wartość możemy obliczyć ze wzoru $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}.$

Ze względu na kształt toru ruchu, ruchy można podzielić na prostoliniowe i krzywoliniowe. Szczególnym przykładem ruchu krzywoliniowego jest ruch po okręgu.

O przebiegu ruchu decyduje prędkość początkowa oraz siła wypadkowa działająca na ciało, której skutkiem, zgodnie z II zasadą dynamiki, jest przyspieszenie ciała.

Jeżeli siła wypadkowa, a zatem i przyspieszenie, jest równoległa do prędkości początkowej, to także wektor zmiany prędkości, opisany wzorem $\Delta\vec{v}=\vec{a}\Delta t$, jest równoległy do wektora prędkości początkowej (Rys. 3.) i torem ciała jest linia prosta.

R1XR1nwDByP6M

Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono zmianę prędkości ciał w ruchu prostoliniowym. Tor po którym porusza się ciało narysowano w postaci niebieskiej, poziomej i ciągłej linii. Po prawej stronie zaznaczono położenie początkowe ciała oraz jego prędkość początkową mała litera v z indeksem dolnym zero i strzałką oznaczającą wektor. Wektor prędkości narysowano w postaci czarnej i poziomej strzałki skierowanej prawo pokrywającej się z torem ruchu ciała. Z końca wektora prędkości początkowej poprowadzono kolejną poziomą strzałkę koloru pomarańczowego skierowaną w prawo i również pokrywającą się z torem ruchu ciała. Pomarańczowa strzałka stanowi przedłużenie strzałki czarnej. Pomarańczowa strzałka symbolizuje zmianę prędkości z jaką porusza się ciało wielka grecka litera delta i mała litera v ze strzałką oznaczającą wektor, która jest równa iloczynowi przyspieszenia ciała mała litera a ze strzałką oznaczającą wektor i czasu w którym nastąpiła zmiana prędkości wielka grecka litera delta i mała litera t.

W szczególności, gdy siła wypadkowa jest równa zero, to ciało będzie poruszać się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostawać w spoczynku. Jeżeli przyspieszenie ma stałą wartość i zwrot zgodny z prędkością, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym. Jeżeli zwrot przyspieszenia jest przeciwny do prędkości, to wartość prędkości maleje a ruch ciała jest jednostajnie opóźniony.

Zupełnie odmienny skutek wywołuje siła o stałej wartości, która jest stale prostopadła do wektora prędkości. Siła taka powoduje przyspieszenie, a zatem i wektor zmiany prędkości $\Delta\vec{v}$ prostopadły do wektora prędkości $\vec{v}$ (Rys. 4.).

R1YRC2vqKmuBd

Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczne jest ciało w postaci niebieskiego punktu, do którego przyłożono dwa prostopadłe względem siebie wektory prędkości początkowej i przyspieszenia. Wektor prędkości początkowej mała litera v z indeksem dolnym zero i strzałką oznaczającą wektor skierowany jest w prawo i narysowano go w postaci czarnej i poziomej strzałki z grotem zwróconym w prawą stronę. Wektor przyspieszenia mała litera a ze strzałką oznaczająca wektor widoczny jest w postaci pionowej i czerwonej strzałki przyłożonej do ciała zwróconej w dół.

Przykładem siły w przybliżeniu spełniającej te warunki jest siła grawitacyjna Słońca działająca na planety lub siła napięcia sznurka działająca na ciężarek, który zaczepiony na sznurku wiruje po okręgu.

Zatem, jeżeli przyspieszenie ma stałą wartość i jest stale prostopadłe do wektora prędkości, to ciało porusza się ruchem jednostajnym po okręgu (Rys. 4.). Przyspieszenie występujące w ruchu jednostajnym po okręgu nazywa się dośrodkowym. Ma ono wartość:

gdzie $v$ to wartość prędkości poruszającego się punku, a $R$ to promień okręgu, po którym porusza się punkt.

R1MUKm8NIQb30

Rys. 5. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczne jest ciało poruszające się ruchem niejednostajnym po okręgu. Tor ruchu ciała widoczny jest w postaci okręgu narysowanego czarną i ciągłą linią. Ze środka okręgu poprowadzono trzy promienie w postaci niebieskich odcinków łączących środek okręgu z trzema punktami na obwodzie okręgu. Promień okręgu opisano wielką literą R. Jeden z promieni biegnie poziomo w lewo, drugi biegnie w prawo i w górę a trzeci w prawo i w dół. Na końcu promienia biegnącego w lewo narysowano ciało w postaci niebieskiego punktu. Do środka tego ciała przyłożono dwa wektory. Jeden z wektorów pokrywający się z promieniem i skierowany do środka okręgu narysowano w postaci czerwonej strzałki i opisano, jako przyspieszenie mała litera a z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Jest to wektor przyspieszenia dośrodkowego ciała w tym punkcie toru. Drugi wektor narysowana w postaci niebieskiej strzałki skierowanej w górę i stycznej do toru ruchu ciała. Symbolizuje on wektor prędkości liniowej ciała w danym punkcie mała litera v z indeksem dolnym jeden i strzałka oznaczającą wektor. Wektory prędkości i przyspieszenia są wzajemnie prostopadłe. Na końcu promienia biegnącego w prawo i w górę narysowano ciało w postaci niebieskiego punktu. Do środka tego ciała przyłożono dwa wektory. Jeden z wektorów pokrywający się z promieniem i skierowany do środka okręgu narysowano w postaci czerwonej strzałki i opisano, jako przyspieszenie mała litera a z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Jest to wektor przyspieszenia dośrodkowego ciała w tym punkcie toru. Drugi wektor narysowana w postaci niebieskiej strzałki skierowanej w dół i w prawo, stycznej do toru ruchu ciała. Symbolizuje on wektor prędkości liniowej ciała w danym punkcie mała litera v z indeksem dolnym dwa i strzałka oznaczającą wektor. Wektory prędkości i przyspieszenia są wzajemnie prostopadłe. Strzałki symbolizujące wektory przyspieszeń mała litera a z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor oraz mała litera a z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor mają równe długości. Oznacza to, że wartości przyspieszeń ciała w obu punktach toru są równe ale różnią się kierunkami i zwrotami.

Ruch jednostajny po okręgu może być scharakteryzowany okresem $T$ i częstotliwością $f$. Okresem nazywa się czas jednego obiegu okręgu, a częstotliwość jest liczbą obiegów w jednostce czasu.

Częstotliwość obliczymy zatem dzieląc liczbę obiegów okręgu przez czas, w którym te obiegi nastąpiły. Stąd między okresem i częstotliwością mamy związek:

Jednostka częstotliwości to $[f] = \frac{1}{\text{s}} = 1\ \text{Hz}$, czyli herc.

Ponieważ w ciągu jednego okresu ciało poruszające się po okręgu przebywa drogę równą obwodowi koła, to wartość prędkości można opisać wzorami:

lub

Z przedstawionych informacji wynika, że kierunek wektora przyspieszenia wpływa istotne na rodzaj ruchu. Porównanie ruchu, w którym przyspieszenie jest równoległe do wektora prędkości i ruchu, w którym przyspieszenie jest prostopadłe do wektora prędkości, zestawiono w Tabeli 1.

Tabela 1. Porównanie ruchów prostoliniowych i ruchu jednostajnego po okręgu.

Jeżeli wektor przyspieszenia tworzy z wektorem prędkości kąt inny niż 0° lub 90°, to ciało zmienia zarówno wartość jak i kierunek wektora prędkości i porusza się po torze krzywoliniowym ze zmienną co do wartości prędkością (Rys. 6.).

RLrXX9Hw9EfPO

Rys. 6. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczny jest zakrzywiony tor ruchu ciała widoczne w postaci krzywej narysowanej zieloną i ciągłą linią. Tor, po który porusza się ciało przedstawiony jest w postaci łuku początkowo biegnącego w górę i w prawo, następnie łuku biegnącego w prawo i w dół a w końcowej fazie łuku biegnącego w lewo i w dół. W części gdzie tor ciała przedstawiony jest w postaci łuku biegnącego w prawo i w dół narysowana ciało w postaci niebieskiego punktu na torze. Do ciała przyłożona dwa wektory. Jedne z wektorów widoczny jest w postaci niebieskiej strzałki skierowanej w pionowo w dół. Przedstawia ona przyspieszenie ciała mała litera a ze strzałką oznaczającą wektor. Drugi wektor narysowano w postaci czerwonej strzałki skierowanej w prawo i w dół i stycznej do toru ruchu ciała. Opisuje on prędkości liniową ciała mała litera v ze strzałką oznaczającą wektor. Wektory prędkości i przyspieszenie nie są ani równoległe ani prostopadłe względem siebie.

Słowniczek