Warto przeczytać

Pomiary za pomocą czujników cyfrowych pozwalają na rejestrację różnych wielkości fizycznych, na przykład położenia, przyspieszenia poruszającego się ciała, czy działającej na nie siły. Odpowiednio dobrana częstotliwość pobierania danych umożliwia śledzenie przebiegu wykresów równocześnie z obserwacją ruchu.

Wykresy zależności położenia od czasu w ruchu jednostajnym (linia prosta) i jednostajnie zmiennym (parabola) pozwalają na rozpoznawanie tych ruchów. A jak rozpoznać ruch drgającyruch drgający (ang. oscillation)ruch drgający harmoniczny?

Przykład 1. Drgania ciężarka zawieszonego na sprężynie.

Wykres drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie możesz zarejestrować za pomocą ultradźwiękowego czujnika odległości (Rys. 1.), połączonego z komputerem. Sygnał ultradźwiękowy, wytworzony i wysyłany przez czujnik, odbija się od drgającego ciężarka. Pomiar czasu, jaki upłynie od wysłania do powrotu sygnału, pozwala określić odległość obiektu od czujnika.

Wykres zmian położenia drgającego ciężarka ma charakterystyczny kształt (Rys. 2.). Krzywa taka zwana jest sinusoidą. Ruch drgający, w którym wykres zależności wychylenia od czasu ma kształt sinusoidalny jest nazywany ruchem harmonicznymruch harmoniczny (ang. simple harmonic motion)ruchem harmonicznym.

RIVLrszEq8tRP

Rys. 1. Rysunek przedstawia schemat układu pomiarowego do badania zmian położenia ciężarka drgającego na sprężynie. Ciężarek widoczny w postaci czarnego walca zawieszony jest na sprężynie narysowanej czarną łamaną linią. Sprężyna przymocowana jest górnym końcem do płaskiej powierzchni sufitu widocznej w postaci poziomego czarnego prostokąta. Pod ciężarkiem znajduje się miernik odległości widoczny w postaci poziomego, eliptycznego czarnego kształtu umieszczonego na górnej krawędzi prostokąta o czarnych krawędziach. Miernik odległości znajduje się na poziomym i płaskim podłożu narysowanym jako czarny poziomy prostokąt. Obok po prawej stornie widoczna jest oś narysowana jako pionowa czarna strzałka skierowana w górę. Oś tę opisano małą literą x i w nawiasie mała litera m, a zatem wyraża ona odległość liczoną w metrach. Wysokość, na której znajduje się miernik odległości oznaczono jako zero na osi mała litera x.

R14PTncOhfMFC

Rys. 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych narysowany czarnymi liniami, w którym oś pionowa skierowana w górę opisuje położenie wyrażone w metrach mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m, o oś pozioma skierowana w prawo opisuje czas wyrażony w sekundach mała litera t i w nawiasie kwadratowym mała litera s. Na osi położenia zaznaczono wartości od zera do jednego metra, co dwie dziesiąte metra. Na osi czasu zaznaczono wartości od zera do dziesięciu sekund, co jedną sekundę. W układzie współrzędnych widoczna jest funkcja narysowana niebieską linią ciągłą, która przedstawia zmiany położenia ciężarka drgającego na sprężynie. Funkcja jest sinusoidą o minimalnej wartości pięć dziesiątych metra i maksymalnej wartości siedem dziesiątych metra. Okres drgań wahadła wynosi około jednej sekundy.

Amplitudaamplituda drgań (ang. amplitude)Amplituda to maksymalne wychylenie z położenia równowagi, a okresokres drgań (ang. oscillation period)okres to czas jednego pełnego drgania. Częstotliwość $f$ określa liczbę drgań w jednostce czasu, zatem obliczamy ją jako odwrotność okresu drgań $T$, czyli $f=1/T$.

Analizując wykres na Rys. 2., możesz zauważyć, że położenie równowagi ciężarka znajdowało się w odległości ok. 0,6 m od czujnika, okres drgań był równy nieco ponad 1 s, a amplituda drgań około 0,1 m.

Podobne wykresy możesz otrzymać mierząc przyspieszenie lub prędkość kątową za pomocą aplikacji zainstalowanej na smartfonie. Ta aplikacja to phyphox lub Physics Toolbox Suite.

Zawieś smartfon na sprężynie i obserwuj wykres zmian wybranej wielkości podczas drgań smartfona. Czy udało Ci się uzyskać podobny wykres jak na rysunku 5.?

RrAA6W2LlWFEn

Rys. 3. Ilustracja podzielona jest na dwie części, górną i dolną. Część górna przedstawia wykres zmian przyspieszenia, jakiego doznaje smartfon zawieszony na sprężynce zarejestrowany przez jedną z dostępnych aplikacji. Na czarnym tle widoczny jest układ współrzędnych w postaci białych linii, w którym oś pionowa skierowana jest w górę i opisuje wartość przyspieszenia jakiego doznaje smartfon zawieszony na sprężynie wyrażoną w metrach na sekundę kwadrat mała litera a i w nawiasie mała litera m dzielona na małą literę s do kwadratu, a oś pozioma skierowana w prawo opisuje czas wyrażony w sekundach. Na osi przyspieszenia zaznaczono wartości od minus czterech do sześciu metrów na kwadrat, co dwa metry na sekundę kwadrat. Na osi czasu zaznaczono wartości od zera do dwudziestu sekund, co dziesięć sekund. W układzie współrzędnych widoczna jest funkcja narysowana żółtą linią ciągłą. W przedziale czasowym od zera do około piętnastu sekund funkcja przypomina funkcję sinus o wartościach od około minus cztery do cztery metry na sekundę kwadrat i okresie nieco powyżej jednej sekundy. Dla przedziału czasowego od około piętnastu do dwudziestu sekund drgania funkcja sinus przekształca się w szum o bardzo małym okresie i nieregularnej amplitudzie.

RhhfmwsJ4rD8N

Rys. 3. W dolnej części widoczny jest również układ współrzędnych narysowany czarnymi liniami, w którym oś pionowa skierowana jest w górę i opisuje wartość przyspieszenia jakiego doznaje smartfon zawieszony na sprężynie wyrażoną w metrach na sekundę kwadrat mała litera a i w nawiasie mała litera m dzielona na małą literę s do kwadratu, a oś pozioma skierowana w prawo opisuje czas wyrażony w sekundach. Na osi przyspieszenia zaznaczono wartości od minus pięciu do pięciu metrów na kwadrat, co jeden metr na sekundę kwadrat. Na osi czasu zaznaczono wartości od zera do dziesięciu sekund, co dwie sekundy. W układzie współrzędnych widoczna jest funkcja narysowana niebieska linią ciągłą. Funkcja na dolnym wykresie jest powiększeniem fragmentu z wykresu górnego. Niebieska funkcja przypomina funkcję sinus o wartościach od około minus trzech do około plus trzech i okresie około jednej i jednej trzeciej sekundy. Funkcja nie jest idealnie gładka, tak jak punkcja sinus. W obszarach gdzie osiąga maksimum i minimum wartości widoczne są niewielkie fluktuacje. Fluktuacje wynikają z faktu, że zaprezentowane dane uzyskane zostały w rzeczywistym układzie, który zawsze wykazuje mniejsze lub większe odstępstwa od idealnej teorii. Pomimo tego ruch smartfona na sprężynce można opisać jako przykład ruchu harmonicznego lub inaczej jako drgania harmoniczne.

Przykład 2. Wahadło matematyczne

W podobny sposób można przeanalizować ruch wahadła matematycznegowahadło matematyczne (ang. simple gravity pendulum)wahadła matematycznego, którego przykładem jest kulka zawieszona na nici. Ustaw czujnik naprzeciw wprawionego w ruch wahadła. Czujnik jest połączony z komputerem. Po odchyleniu wahadła od pionu i puszczeniu obserwuj drgania wokół położenia równowagi. Rejestracja zmian położenia poruszającej się kulki wahadła za pomocą czujnika ruchu połączonego z komputerem pozwala na bieżąco obserwować powstający wykres. Przyznaj, że to niesamowite, że wykres zmian położenia ma też kształt sinusoidalny!

R1dqkB0WrHcIR

Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek schematu układu pomiarowego do badania ruchu wahadła matematycznego. Z prawej strony ilustracji widoczne jest wahadło matematyczne w postaci ciała widocznego w postaci czarnej kulki zawieszonego na nitce narysowanej czerwoną linią. Górny koniec nitki przymocowany jest do poziomej powierzchni narysowanej w postaci poziomego trapezu prostokątnego o kącie ostrym w lewej i dolnej części. Czarna kulka na nitce widoczna jest w pozycji, w której zwisa swobodnie. Kulka może poruszać się po łuku narysowanym czarną przerywaną linią Wahadło widoczne jest również w drugiej pozycji wychylonej w lewo gdzie nitka oraz ciała narysowane są przerywanymi, czarnymi liniami. Po lewej stronie widoczny jest pionowy prostokąt narysowany czarnymi liniami, symbolizujący miernik odległości ciała w trakcie ruchu wielka litera M. Odległość pomiędzy ciałem a miernikiem oznaczono poziomą linią zakończoną grotami strzałek na obu końcach i opisano ją, jako mała litera d. nad miernikiem widoczny jest prostokątny kształt narysowany czarnymi liniami symbolizujący monitor. Na ekranie monitora widoczna jest funkcja sinusoidalna.

Wykres zmian położenia poruszającej się kulki wahadła pokazuje, że ruch wahadła matematycznego jest w dobrym przybliżeniu ruchem harmonicznymruch harmoniczny (ang. simple harmonic motion)ruchem harmonicznym. To wszystko możesz wykonać samodzielnie lub obejrzeć na załączonym filmie.

W e‑materiałach

Jak definiujemy wychylenie, amplitudę, częstość kołową i przesunięcie fazowe?
Wykres zależności położenia od czasu w ruchu drgającym i jego interpretacja
Wykres zależności prędkości od czasu w ruchu drgającym i jego interpretacja
Wykres zależności przyspieszenia od czasu w ruchu drgającym i jego interpretacja

dowiesz się, jak wygląda zapis matematyczny i wykresy różnych wielkości opisujących ruch harmoniczny. Poznasz też inny sposób definiowania i rozpoznawania ruchu harmonicznego na podstawie analizy siły powodującej ruch drgający.

Słowniczek