Czworościan foremny jest bryłą – figurą przestrzenną. Siatka wielościanu, tutaj czworościanu, po rozcięciu jego niektórych krawędzi daje nam spójny obraz tej bryły na płaszczyźnie. I w drugą stronę, możemy z płaskiego materiału stworzyć bryłę sklejając jej odpowiednie brzegi. W komunikacji posługujemy się głównie obrazem, płaskim przedstawieniem obiektów. Dlatego siatkasiatka czworościanusiatka pozwala nam obejrzeć wszystkie ściany bryły „jednym rzutem oka”.

REwg7nXhuMTa6

Rozróżniamy tylko dwa kształty siatek czworościanu foremnego: jedna w postaci trójkąta równobocznego, a druga w postaci równoległoboku.

Pole powierzchni P czworościanu foremnego o krawędzi długości a możemy obliczyć mnożąc pole powierzchni trójkąta równobocznego o boku a przez liczbę ścian czworościanu, czyli 4:

P=4a234=a23.
Przykład 1

Pole siatki czworościanu foremnego wynosi 323 cm2. Znajdź długość krawędzi tego czworościanu.

Rozwiązanie:

Pole siatki czworościanu P=323 cm2.

Na siatkęsiatka czworościanusiatkę składają się 4 trójkąty równoboczne, stąd pole jednej ściany czworościanu foremnego wynosi Pś=83 cm2.

Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego: Pś=a234=83.

Długość krawędzi czworościanu wynosi zatem a=32=42 cm.

Przykład 2

Wysokość trójkąta równobocznego stanowiącego siatkę czworościanu foremnego ma długość 83 cm. Wyznacz pole podstawy czworościanu foremnego.

Rozwiązanie:

Wysokość trójkąta równobocznego stanowiącego siatkę czworościanu foremnego stanowi dwie długości wysokości ściany czworościanu foremnego, trójkąta równobocznego będącego również podstawą czworościanu.

RDiygWeMvQcOv

Zatem wysokość podstawy czworościanu wynosi h=43 cm.

Ponieważ h = a 3 2 = 4 3 , to długość boku trójkąta równobocznego  a = 8   c m .

Zatem pole podstawy czworościanu foremnego P = a 2 3 4 = 8 2 4 3 = 16 3   c m 2 .

Przykład 3

Sebastian wykonał z papieru kartonowego model czworościanu foremnego dla swojej siostry Zuzi. Siostrze bardzo spodobała się bryła i poprosiła brata, aby następnego dnia wykonał większy model. Sebastian postanowił zwiększyć długość krawędzi modelu czworościanu o 60%. Oblicz, o ile procent zwiększy się pole powierzchni siatki czworościanu, który wykona chłopiec.

Rozwiązanie:

Niech a oznacza długość krawędzi czworościanu mniejszego, a Pm pole siatki tego czworościanu.

Po zwiększeniu długości krawędzi o 60% długość krawędzi czworościanu będzie wynosiła 1,6a, a jego pole Pd=1,62Pm=2,56Pm.

Wyznaczmy o ile zwiększy się pole: Pd-Pm=2,56Pm-Pm=1,56Pm, czyli pole siatki czworościanu zwiększy się o 1,56PmPm100%=156%.

Przykład 4

Czworościan foremny wpisano w sześcian o krawędzi długości a tak, że każda krawędź czworościanu jest przekątną ściany tego sześcianu. Wyznacz stosunek pola powierzchni sześcianu do pola powierzchni czworościanu.

Rozwiązanie:

R11rLUZ88AT76

Pole powierzchni sześcianu wynosi Psz=6a2.

Ponieważ krawędź czworościanu jest przekątną ściany sześcianu, to długość krawędzi czworościanu równa jest d=a2.

Pole powierzchni czworościanu foremnego wynosi P c z = 4 d 2 3 4 = ( a 2 ) 2 3 = 2 3 a 2 .

Stąd stosunek pola powierzchni sześcianu do pola powierzchni czworościanu foremnego wynosi P s z P c z = 6 a 2 2 3 a 2 = 3 .

Przykład 5

Z czterech czworościanów foremnych zbudowano większy czworościan foremny w ten sposób, że na trzech małych czworościanach foremnych postawiono czwarty. Wysokość tak otrzymanej bryły wynosi 46. Wewnętrzne strony pomalowano na kolor zielony, zaś zewnętrzne na kolor niebieski. Podstawa została niepomalowana. Oblicz pole powierzchni pomalowanej na kolor zielony i pole powierzchni pomalowanej na kolor niebieski.

Rozwiązanie:

Ros2FOyJcx4cm

Wysokość małego czworościanu stanowi połowę wysokości otrzymanej bryły, czyli H=26.

Korzystając ze wzoru na wysokość czworościanu foremnegowysokość czworościanu foremnegowysokość czworościanu foremnego H=a63=26. Stąd a=6.

Na kolor zielony pomalowano 4 ściany, a na kolor niebieski 9 ścian.

Pole powierzchni jednej ściany wynosi P=a234=6234=3634=93.

Otrzymujemy zatem – pole powierzchni pomalowanej na zielono: 493=363, zaś pole powierzchni pomalowanej na niebiesko: 993=813.

Słownik

siatka czworościanu
siatka czworościanu

figura płaska, powstająca w wyniku rozcięcia wielościanu wzdłuż pewnych krawędzi i rozłożenia ścian na płaszczyźnie

wysokość czworościanu foremnego
wysokość czworościanu foremnego

obliczamy ze wzoru:

H=a63