Przeczytaj
Czworościan foremny jest bryłą – figurą przestrzenną. Siatka wielościanu, tutaj czworościanu, po rozcięciu jego niektórych krawędzi daje nam spójny obraz tej bryły na płaszczyźnie. I w drugą stronę, możemy z płaskiego materiału stworzyć bryłę sklejając jej odpowiednie brzegi. W komunikacji posługujemy się głównie obrazem, płaskim przedstawieniem obiektów. Dlatego siatkasiatka pozwala nam obejrzeć wszystkie ściany bryły „jednym rzutem oka”.
![Na ilustracji przedstawiono dwie siatki czworościanu. Trójkąty, z których zbudowano siatki są trójkątami przystającymi. Siatka pierwsza stanowi trójkąt, na którego każdym boku zbudowano kolejny trójkąt. Siatka druga wygląda następująco. Na lewym ramieniu trójkąta zbudowano drugi trójkąt. Na podstawie drugiego trójkąta zbudowano trzeci trójkąt. Na lewym ramieniu trzeciego trójkąta zbudowano trójkąt czwarty.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/REwg7nXhuMTa6/1634340616/bfvu1hdyITowqwv3KSkmmLNAxkHUEqfJ.png)
Rozróżniamy tylko dwa kształty siatek czworościanu foremnego: jedna w postaci trójkąta równobocznego, a druga w postaci równoległoboku.
Pole powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości możemy obliczyć mnożąc pole powierzchni trójkąta równobocznego o boku przez liczbę ścian czworościanu, czyli :
Pole siatki czworościanu foremnego wynosi . Znajdź długość krawędzi tego czworościanu.
Rozwiązanie:
Pole siatki czworościanu .
Na siatkęsiatkę składają się trójkąty równoboczne, stąd pole jednej ściany czworościanu foremnego wynosi .
Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego: .
Długość krawędzi czworościanu wynosi zatem .
Wysokość trójkąta równobocznego stanowiącego siatkę czworościanu foremnego ma długość . Wyznacz pole podstawy czworościanu foremnego.
Rozwiązanie:
Wysokość trójkąta równobocznego stanowiącego siatkę czworościanu foremnego stanowi dwie długości wysokości ściany czworościanu foremnego, trójkąta równobocznego będącego również podstawą czworościanu.
![Na ilustracji przedstawiono siatkę czworościanu, która wygląda następująco. Na każdym boku czerwonego trójkąta równobocznego zbudowano kolejny, niebieski trójkąt równoboczny. Zaznaczono wysokość trójkąta niebieskiego oraz czerwonego, długości obu wysokości oznaczono literą h.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RDiygWeMvQcOv/1634340616/YyX551RHv9o6WWtXHxPiT5CZcL6jiYn9.png)
Zatem wysokość podstawy czworościanu wynosi .
Ponieważ , to długość boku trójkąta równobocznego .
Zatem pole podstawy czworościanu foremnego .
Sebastian wykonał z papieru kartonowego model czworościanu foremnego dla swojej siostry Zuzi. Siostrze bardzo spodobała się bryła i poprosiła brata, aby następnego dnia wykonał większy model. Sebastian postanowił zwiększyć długość krawędzi modelu czworościanu o . Oblicz, o ile procent zwiększy się pole powierzchni siatki czworościanu, który wykona chłopiec.
Rozwiązanie:
Niech oznacza długość krawędzi czworościanu mniejszego, a pole siatki tego czworościanu.
Po zwiększeniu długości krawędzi o długość krawędzi czworościanu będzie wynosiła , a jego pole .
Wyznaczmy o ile zwiększy się pole: , czyli pole siatki czworościanu zwiększy się o .
Czworościan foremny wpisano w sześcian o krawędzi długości tak, że każda krawędź czworościanu jest przekątną ściany tego sześcianu. Wyznacz stosunek pola powierzchni sześcianu do pola powierzchni czworościanu.
Rozwiązanie:
![Na ilustracji przedstawiono sześcian o długości krawędzi oznaczonej literą a oraz podstawie dolnej A B C D i górnej E F G H. W sześcian wpisano czworościan foremny, w taki sposób, że wierzchołki A, C, F są wspólne dla obu brył. Przekątne H F, A H, C H, A F, A C, F C stanowią krawędzie czworościanu.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R11rLUZ88AT76/1634340617/qlFqGMtlr8qp7kgEOnnVVM52v3IQlBZj.png)
Pole powierzchni sześcianu wynosi .
Ponieważ krawędź czworościanu jest przekątną ściany sześcianu, to długość krawędzi czworościanu równa jest .
Pole powierzchni czworościanu foremnego wynosi .
Stąd stosunek pola powierzchni sześcianu do pola powierzchni czworościanu foremnego wynosi .
Z czterech czworościanów foremnych zbudowano większy czworościan foremny w ten sposób, że na trzech małych czworościanach foremnych postawiono czwarty. Wysokość tak otrzymanej bryły wynosi . Wewnętrzne strony pomalowano na kolor zielony, zaś zewnętrzne na kolor niebieski. Podstawa została niepomalowana. Oblicz pole powierzchni pomalowanej na kolor zielony i pole powierzchni pomalowanej na kolor niebieski.
Rozwiązanie:
![Ilustracja przedstawia czworościan foremny zbudowany z czterech czworościanów foremnych o tych samych, ale mniejszych wymiarach. Na trzech czworościanach postawiono czwarty z nich, tworząc na każdej ścianie czworościanu lukę w kształcie trójkąta równobocznego. Oznacza to, że wnętrze powstałego czworościanu foremnego jest puste. Każdy z mniejszych czworościanów ma wierzchołki znajdujące się po środku krawędzi większego czworościanu lub w wierzchołku jego dolnej podstawy.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Ros2FOyJcx4cm/1634340617/FdTLZe9NA09go0NV22rHQpAHOhphxqRM.png)
Wysokość małego czworościanu stanowi połowę wysokości otrzymanej bryły, czyli .
Korzystając ze wzoru na wysokość czworościanu foremnegowysokość czworościanu foremnego . Stąd .
Na kolor zielony pomalowano ściany, a na kolor niebieski ścian.
Pole powierzchni jednej ściany wynosi .
Otrzymujemy zatem – pole powierzchni pomalowanej na zielono: , zaś pole powierzchni pomalowanej na niebiesko: .
Słownik
figura płaska, powstająca w wyniku rozcięcia wielościanu wzdłuż pewnych krawędzi i rozłożenia ścian na płaszczyźnie
obliczamy ze wzoru: