Wykresem funkcji kwadratowej fx=ax2+bx+c, dla a0 jest parabola. Wykres funkcji kwadratowej może przecinać oś X w dwóch różnych punktach, „dotykać” osi X oraz być położony nad osią X lub pod osią X. Położenie paraboli w układzie współrzędnych jest uzależnione od współczynnika a oraz liczby miejsc zerowych danej funkcji kwadratowej.

Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego
Twierdzenie: Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Rozważmy trójmian kwadratowe y=ax2+bx+c, a0.

  1. Jeżeli >0, to trójmian można przedstawić w postaci iloczynowej y=ax-x1x-x2, gdzie x1x2 są pierwiastkami tego trójmianu.

  2. Jeżeli =0, to trójmian można przedstawić w postaci iloczynowej y=ax-x02, gdzie x0 jest podwójnym pierwiastkiem tego trójmianu.

  3. Jeżeli <0, to trójmianu nie można zapisać w postaci iloczynowej.

Gdy wyznaczymy miejsca zerowe funkcji kwadratowej, wyznaczymy również rozwiązania równania kwadratowego ax2+bx+c+0, dla a0

Interpretacja graficzna równania kwadratowego zupełnego

RlEGqCTWOH8OR
Przykład 1

Korzystając z interpretacji graficznej równania kwadratowego zupełnego, określimy znak współczynnika a dla funkcji fx=ax-x1x-x2 i znak wyróżnika trójmianu kwadratowego.

R1TmT3cvBe7T6

Ramiona paraboli są skierowane do dołu, zatem a<0.

Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, zatem >0.

Przykład 2

Przedstawimy interpretację graficzną równania 2x2+x+3=0.

Współczynniki równania kwadratowego to a=2, b=1, c=3.

Obliczymy .

=b2-4ac

=12-4·2·3=1-24=-23

Ponieważ <0 zatem funkcja kwadratowa fx=2x2+x+3 nie ma miejsc zerowych.

Ponieważ a>2 zatem ramiona paraboliparabolaparaboli skierowane są do góry.

Zatem:

R1Idm6QpSaBVA
Przykład 3

Obliczymy taką wartość parametru m, dla której poniższy rysunek przedstawia interpretację graficzną równania -x2+mx-9=0.

RBkP19epEz7db

Miejscem zerowym funkcji kwadratowej fx=-x2+mx-9 jest liczba 3, natomiast współczynnik a=-1.

Zatem funkcja kwadratowa określona jest wzorem fx=-x-32.

Czyli równanie kwadratowe ma postać -x-32=0.

Przekształcając równoważnie równanie otrzymujemy

-x2-6x+9=0

-x2+6x-9=0

Z treści zadania wiemy, że równanie ma postać

-x2+mx-9=0

Czyli m=6.

Przykład 4

Obliczymy taką wartość parametru b, dla której poniższy rysunek przedstawia interpretację graficzną równania x2-bx-2=0.

R1L5GGQNwA0fJ

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej fx=x2-bx-2 są liczby -12.

Współczynnik a=1, zatem funkcja kwadratowa określona jest wzorem fx=x-2x+1.

Czyli równanie kwadratowe ma postać x-2x+1=0.

Przekształcając równoważnie równanie otrzymujemy:

x2+x-2x-2=0

x2-x-2=0

Z treści zadania wiemy, że

x2-bx-2=0

Czyli

-b=-1.

b=1.

Przykład 5

Korzystając z interpretacji graficznej równania ax2+bx+c=0, dla a0 ustalimy znaki współczynników a, b, i c.

R1NNduwomSqxn

Ponieważ ramiona paraboliparabolaparaboli są skierowane do góry, zatem a>0.

Na podstawie wykresu możemy powiedzieć, że funkcja ma jedno miejsce zerowe, które jest liczbą ujemną.

x0=-b2a

-b2a<0

b2a>0

Ponieważ a>0 zatem współczynnik b również musi być liczbą dodatnią.

Zatem b>0.

Współczynnik c jest drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji z osią Y.

f0=a·0+b·0+c

f0=c

Zatem na podstawie wykresu widzimy, że c>0.

Słownik

parabola
parabola

wykres funkcji kwadratowej fx=ax2+bx+c, dla a0