Przeczytaj

Wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , dla $a \neq 0$ jest parabola. Wykres funkcji kwadratowej może przecinać oś $X$ w dwóch różnych punktach, „dotykać” osi $X$ oraz być położony nad osią $X$ lub pod osią $X$ . Położenie paraboli w układzie współrzędnych jest uzależnione od współczynnika $a$ oraz liczby miejsc zerowych danej funkcji kwadratowej.

Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Twierdzenie: Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Rozważmy trójmian kwadratowe $y = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq 0$ .

Jeżeli $∆ > 0$ , to trójmian można przedstawić w postaci iloczynowej $y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , gdzie $x_{1}$ i $x_{2}$ są pierwiastkami tego trójmianu.
Jeżeli $∆ = 0$ , to trójmian można przedstawić w postaci iloczynowej $y = a {(x - x_{0})}^{2}$ , gdzie $x_{0}$ jest podwójnym pierwiastkiem tego trójmianu.
Jeżeli $∆ < 0$ , to trójmianu nie można zapisać w postaci iloczynowej.

Gdy wyznaczymy miejsca zerowe funkcji kwadratowej, wyznaczymy również rozwiązania równania kwadratowego $a x^{2} + b x + c + 0$ , dla $a \neq 0$

Interpretacja graficzna równania kwadratowego zupełnego

RlEGqCTWOH8OR

Interpretacja równania kwadratowego zupełnego przedstawiona jest w formie podobnej do tabeli trzy na trzy. Rozpatrzone są tu kolejne przypadki dla różnych wartości A oraz delty. Do każdego wariantu zamieszczony jest schematyczny rysunek wykresu funkcji kwadratowej na płaszczyźnie iks igrek z zaznaczonymi miejscami zerowymi. Dla A i delty dodatnich, funkcja przyjmie dwa miejsca zerowe: X jeden i X dwa, a wykresem funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry, przecinających oś X. Miejsca zerowe opisane są wzorami: x1=-b-Δ2a oraz x2=-b+Δ2a, przy czym Δ=b2-4ac. Takie same wzory na miejsca zerowe i deltę opisują sytuację, w której mamy ujemne A i dodatnią deltę, z tą różnicą, że wykresem funkcji jest tu parabola z ramionami skierowanymi do dołu, przecinającymi oś X w dwóch miejscach zerowych. Dla A dodatniego i delty równej zero funkcja przyjmuje jedno miejsce zerowe X zero będące wierzchołkiem paraboli o ramionach zwróconych do góry. Miejsce zerowe opisane jest wzorem: x0=-b2a. Analogicznie jest w przypadku, gdy A jest ujemne, a delta równa zero. Miejsce zerowe opisane jest takim samym wzorem, a wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku położonym na osi X, jednak w tym przypadku jej ramiona skierowane są w dół. Dla A dodatniego oraz ujemnej delty funkcja nie przyjmuje miejsc zerowych, a jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych do góry, leżąca nad osią X. Dla ujemnych A oraz delty funkcja również nie przyjmuje miejsc zerowych, a jej wykresem jest parabola leżąca pod osią X z ramionami skierowanym w dół.

Przykład 1

Korzystając z interpretacji graficznej równania kwadratowego zupełnego, określimy znak współczynnika $a$ dla funkcji $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ i znak wyróżnika trójmianu kwadratowego.

R1TmT3cvBe7T6

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji kwadratowej, czyli parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku nad osią X oraz dwóch zaznaczonych miejscach zerowych: X jeden w punkcie minus trzy zero oraz X dwa w punkcie dwa zero.

Ramiona paraboli są skierowane do dołu, zatem $a < 0$ .

Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, zatem $∆ > 0$ .

Przykład 2

Przedstawimy interpretację graficzną równania $2 x^{2} + x + 3 = 0$ .

Współczynniki równania kwadratowego to $a = 2$ , $b = 1$ , $c = 3$ .

Obliczymy $∆$ .

$∆ = b^{2} - 4 a c$

$∆ = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = - 23$

Ponieważ $∆ < 0$ zatem funkcja kwadratowa $f (x) = 2 x^{2} + x + 3$ nie ma miejsc zerowych.

Ponieważ $a > 2$ zatem ramiona paraboliparabolaparaboli skierowane są do góry.

Zatem:

R1Idm6QpSaBVA

Przykład 3

Obliczymy taką wartość parametru $m$ , dla której poniższy rysunek przedstawia interpretację graficzną równania $- x^{2} + m x - 9 = 0$ .

RBkP19epEz7db

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do pięciu oraz pionową osią Y od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji kwadratowej, czyli parabola o ramionach skierowanych w dół. Na wykresie zaznaczony jest wierzchołek w punkcie trzy zero.

Miejscem zerowym funkcji kwadratowej $f (x) = - x^{2} + m x - 9$ jest liczba $3$ , natomiast współczynnik $a = - 1$ .

Zatem funkcja kwadratowa określona jest wzorem $f (x) = - {(x - 3)}^{2}$ .

Czyli równanie kwadratowe ma postać $- {(x - 3)}^{2} = 0$ .

Przekształcając równoważnie równanie otrzymujemy

$- (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

$- x^{2} + 6 x - 9 = 0$

Z treści zadania wiemy, że równanie ma postać

$- x^{2} + m x - 9 = 0$

Czyli $m = 6$ .

Przykład 4

Obliczymy taką wartość parametru $b$ , dla której poniższy rysunek przedstawia interpretację graficzną równania $x^{2} - b x - 2 = 0$ .

R1L5GGQNwA0fJ

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowana jest parabola o ramionach skierowanych w górę. Na wykresie zaznaczone są dwa miejsca zerowe: X jeden w punkcie o współrzędnych minus jeden zero oraz X dwa w punkcie o współrzędnych dwa zero.

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} - b x - 2$ są liczby $- 1$ i $2$ .

Współczynnik $a = 1$ , zatem funkcja kwadratowa określona jest wzorem $f (x) = (x - 2) (x + 1)$ .

Czyli równanie kwadratowe ma postać $(x - 2) (x + 1) = 0$ .

Przekształcając równoważnie równanie otrzymujemy:

$x^{2} + x - 2 x - 2 = 0$

$x^{2} - x - 2 = 0$

Z treści zadania wiemy, że

$x^{2} - b x - 2 = 0$

Czyli

$- b = - 1$ .

$b = 1$ .

Przykład 5

Korzystając z interpretacji graficznej równania $a x^{2} + b x + c = 0$ , dla $a \neq 0$ ustalimy znaki współczynników $a$ , $b$ , i $c$ .

R1NNduwomSqxn

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do dwóch oraz pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowana jest parabola o ramionach skierowanych w górę. Na wykresie zaznaczony jest wierzchołek paraboli w punkcie X zero o współrzędnych minus jeden i trzy czwarte zero.

Ponieważ ramiona paraboliparabolaparaboli są skierowane do góry, zatem $a > 0$ .

Na podstawie wykresu możemy powiedzieć, że funkcja ma jedno miejsce zerowe, które jest liczbą ujemną.

$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$

$- \frac{b}{2 a} < 0$

$\frac{b}{2 a} > 0$

Ponieważ $a > 0$ zatem współczynnik $b$ również musi być liczbą dodatnią.

Zatem $b > 0$ .

Współczynnik $c$ jest drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $Y$ .

$f (0) = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c$

$f (0) = c$

Zatem na podstawie wykresu widzimy, że $c > 0$ .

Słownik

parabola

wykres funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , dla $a \neq 0$

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik