Przeczytaj
Obliczenia arytmetyczne
Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicyWzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń można wykorzystać do szybkiego obliczenia sześcianów niektórych liczb.
Aby obliczyć sześciany liczb , , zapisujemy każdą z nich w postaci różnicy pełnych dziesiątek, setek lub tysięcy oraz liczby jednocyfrowej i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.
W podobny sposób jak w powyższym przykładzie, obliczymy sześciany liczb mieszanych , .
Nie wykonując dodawania wykażemy, że liczba jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie:
Zauważmy, że i .
Sprawdzamy jeszcze, że i .
Wynika z tego, że .
Wtedy:
Liczba jest liczbą całkowitą, co należało udowodnić.
Przekształcenia algebraiczne
Wzór zastosujemy teraz do rozkładu na czynniki sumy algebraicznej w równaniu. Ułatwi to znacznie rozwiązanie równania stopnia trzeciego.
Rozwiążemy równanie .
Rozwiązanie:
Lewą stronę równania zapisujemy w postaci sześcianu różnicy.
Stąd:
Rozwiązaniem równania jest liczba .
Rozwiążemy równanie .
Rozwiązanie:
Przekształcamy lewą stronę równania tak, aby otrzymać „rozwinięcie” sześcianu różnicy i kwadratu różnicy.
„Zwijamy” sumy w nawiasach odpowiednio w sześcian różnicy i kwadrat różnicy.
Wyłączamy wspólny czynnik (czyli ) przed nawias.
Zapisujemy równanie w postaci równoważnej alternatywy.
lub
lub
Odpowiedź:
Równanie ma dwa pierwiastki i (pierwiastek podwójny).
Wzór jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.
Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie
Rozwiązanie:
W liczniku wyłączamy przed nawias wspólny czynnik, czyli . W mianowniku z pierwszego nawiasu wyłączamy przed nawias wspólny czynnik, czyli . Z drugiego nawiasu wyłączamy wspólny czynnik poza nawias, czyli .
Skracamy.
Zauważmy, że i .
Zatem:
Ponownie skracamy.
Dowodzenie twierdzeń
Dowodząc twierdzenia zapisanego za pomocą wyrażeń arytmetycznych lub algebraicznych, nie zawsze łatwo jest rozpoznać, że warto skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy. W wielu wypadkach należy najpierw odpowiednio „rozpisać” dane wyrażenie.
Wykażemy, że .
Rozwiązanie:
Zapisujemy liczbę w postaci, która powoli nam stwierdzić, że dane wyrażenie jest sześcianem pewnego wyrażenia.
Podobnie przekształcamy liczbę . Tym razem „rozpisujemy” wyrażenie tak, aby pokazać, że jest to sześcian różnicy.
Stąd:
Ponieważ , zatem:
W wyniku przekształceń równoważnych otrzymaliśmy równość prawdziwą, czyli równość jest tożsamością, co należało wykazać.
Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych , , równość jest tożsamością.
Rozwiązanie:
Przekształcimy lewą stronę równości, wykonując odpowiednie działania.
Przekształcimy teraz prawą stronę równości.
Słownik
sześcian różnicy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie, plus potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego, minus sześcian drugiego wyrażenia