Przeczytaj
Własności prawdopodobieństwa
Z aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa oraz z własności działań na zdarzeniach, wynikają własności prawdopodobieństwawłasności prawdopodobieństwa, które przedstawimy poniżej.
Niech będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach i . Wówczas:
Jeśli , to
Dla przykładu udowodnimy jedną z własności podanych w twierdzeniu.
Udowodnimy, że .
Wiadomo, że dla dowolnego zdarzenia :
i
Na podstawie aksjomatycznej teorii prawdopodobieństwa wiemy, że dla każdej pary wykluczających się zdarzeń i tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych, zachodzi równość
Zatem:
Odejmując zapisane równości stronami, otrzymujemy
Rzucamy dwiema kostkami do gry.
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia – suma liczb wyrzuconych oczek jest co najmniej równa .
Najmniejsza liczba oczek na każdej z kostek to , zatem zawsze w rzucie dwiema kostkami suma liczb wyrzuconych oczek będzie co najmniej równa . jest zdarzeniem pewnym.Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia – suma liczb wyrzuconych oczek jest równa .
Największa liczba oczek na każdej z kostek to , zatem zawsze w rzucie dwiema kostkami suma liczb wyrzuconych oczek będzie nie większa niż . jest zdarzeniem niemożliwym.
Poznamy teraz bardzo ważne twierdzenie, określające prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia przeciwnego do danego zdarzenia.
Niech będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach i .
Jeśli zdarzenia i są zdarzeniami przeciwnymi, to
Obliczymy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia , gdy .
Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.
Stąd:
Każdy z przyjaciół urodził się w innym miesiącu. Obliczymy prawdopodobieństwo, że losowo wskazana osoba z tej grupy nie urodziła się w lipcu.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że żadna z osób nie urodziła się w lipcu.
Wskazujemy jedną osobę spośród . Zatem:
Zdarzeniu – sprzyjają zdarzenia: wylosowana osoba urodziła się w styczniu, lutym, marcu, kwietniu, maju, czerwcu, sierpniu, wrześniu, październiku, listopadzie lub w grudniu. Mamy więc kilka możliwości. Natomiast zdarzeniu przeciwnemu – wskazana osoba urodziła się w lipcu – odpowiada tylko jedna możliwość. Obliczamy więc najpierw prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia .
Stąd
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że wskazana osoba nie urodziła się w lipcu jest równe .
Powyższy przykład był dość prostym zadaniem na zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, ale jak wkrótce się przekonasz, wzór ten ułatwia rozwiązywanie wielu skomplikowanych problemów probabilistycznych.
Rzucamy trzy razy sześcienną kostką do gry. Obliczymy prawdopodobieństwo, że choć raz uzyskaliśmy liczbę oczek równą lub .
Liczba zdarzeń elementarnych w rozpatrywanym doświadczeniu jest równa:
Rozważmy zdarzenie przeciwne: – ani razu nie wypadła ani liczba oczek równa trzy, ani cztery.
Wtedy może wypaść każda z pozostałych czterech liczb oczek (, , lub ).
Zatem:
Na mocy twierdzenia o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego, otrzymujemy:
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że choć raz uzyskaliśmy liczbę oczek równą lub jest równe .
Przed nami własność prawdopodobieństwa, związana z prawdopodobieństwem sumy zdarzeń.
Niech będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach i , wówczas
Jeśli zdarzenia i wykluczają się, czyli , to
Wśród przechodniów przeprowadzono ankietę, w której zapytano o ulubiony smak lodów. Połowa osób odpowiedziała, że najbardziej lubi lody waniliowe, pozostałych odpowiedziało, że lubi lody czekoladowe. A dwie osoby stwierdziły, że lubią i lody waniliowe, i czekoladowe.
Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że losowo wskazana osoba z tej grupy lubi lody waniliowe lub czekoladowe.
Oznaczmy:
– zdarzenie, że losowo wskazana osoba lubi lody waniliowe,
– zdarzenie, że losowo wskazana osoba lubi lody czekoladowe,
Wskazujemy jedną z osób, zatem .
Liczba osób, która lubi lody waniliowe jest równa: .
Liczba osób, która lubi lody czekoladowe jest równa: .
Liczba osób, która lubi i lody waniliowe i czekoladowe jest równa .
Zatem:
, , .
Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo tego, że losowo wskazana osoba z tej grupy lubi lody waniliowe lub czekoladowe jest równe .
Wiadomo, że , , i , . Obliczymy .
Zauważmy, że
.
Zdarzenia i wykluczają się. Zatem
.
W torebce jest cukierków, w tym cztery to cukierki miętowe. W sposób losowy wyjmujemy z torebki trzy cukierki. Obliczymy prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa wyjęte cukierki to cukierki miętowe.
Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe podzbiory zbioru dziesięcioelementowego. Zatem
Zdarzenie polegające na wyciągnięciu co najmniej dwóch cukierków miętowych, możemy rozpatrywać jako sumę zdarzeń:
– wyciągamy dwa cukierki miętowe,
– wyciągamy trzy cukierki miętowe.
Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu jest równa:
Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu jest równa:
Aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia , korzystamy ze wzoru:
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa wyjęte cukierki to cukierki miętowe, jest równe .
Słownik
niech będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach i ; wówczas:
Jeśli , to