Przeczytaj
Średnie
Średnie to liczby, które określają różne rodzaje związków, jakie mogą zaistnieć między co najmniej trzema liczbami.
Średnia arytmetyczna dwóch liczb , nazywana jest potocznie średnią; jest to połowa sumy tych liczb: .
Liczba jest średnią arytmetyczną liczb i tylko wtedy, gdy spełnia warunek .
Średnią arytmetyczną liczb nazywamy liczbę . Średnia arytmetyczna liczb to suma tych liczb podzielona przez liczbę .
Średnią ważoną liczb , z których każda ma przyporządkowaną pewną nieujemną wagę , nazywamy liczbę .
Wartość średniej ważonej zależy od danych, którym przypisano określone wagi, większy udział w określeniu średniej ważonej mają dane o większej wadze niż te, którym przypisano mniejsze wagi.
Jeśli wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważonaśrednia ważona jest równa średniej arytmetycznejśredniej arytmetycznej.
Uczeń ma takie oto oceny:
prace klasowe: , ,
kartkówki: , ,
prace domowe: , .
Ocena końcowa z przedmiotu jest wyznaczona w oparciu o średnią arytmetyczną bądź ważoną. Zobaczmy co jest korzystniejsze dla ucznia ?
Jeśli wszystkie oceny mają takie same wagi to ich średnia arytmetyczna wynosi .
Uczeń domaga się więc czwórki.
Gdyby jednak były wprowadzone wagi dla ocen np. za pracę klasową waga wynosi , za kartkówkę , a za pracę domową tylko , to średnia ważona wynosi:
Teraz sytuacja wygląda inaczej, a oceną sugerowaną jest ....
Mediana
Jeżeli mamy liczb uporządkowanych niemalejąco, czyli takich, że: , to medianę zestawu tych liczb określamy następująco:
Inaczej mówiąc, gdy uporządkujemy liczb w niemalejący ciąg, to:
dla nieparzystej liczby wyrazów medianą nazywać będziemy środkowy wyraz (nie mylić ze średnią!),
gdy zaś jest parzyste, to mediana ma wartość średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów tego ciągu.
Wariancja
Jeżeli mamy liczb uporządkowanych niemalejąco, czyli takich, że: , to wariancję określamy następująco: ,
gdzie (średnia arytmetyczna).
Odchylenie standardowe z uporządkowanych danych jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji: .
Przyjrzyjmy się jeszcze raz ocenom Twojej koleżanki z poprzedniego przykładu. Ootrzymała dziesięć następujących ocen: .
Policzmy średnią arytmetyczną, wariancję oraz odchylenie standardowe dla tej próbki.
Rozpatrzmy dwa ciągi: .
Słownik
liczb to suma tych liczb podzielona przez liczbę
liczb , z których każda ma przyporządkowaną pewną nieujemną wagę , to liczba