Średnie

Średnie to liczby, które określają różne rodzaje związków, jakie mogą zaistnieć między co najmniej trzema liczbami.

Średnia arytmetyczna dwóch liczb $a$ , $c$ nazywana jest potocznie średnią; jest to połowa sumy tych liczb: $b = \frac{a + c}{2}$ .

Liczba $b$ jest średnią arytmetyczną liczb $a$ i $c$ tylko wtedy, gdy spełnia warunek $a - b = b - c$ .

Średnią arytmetyczną $n$ liczb $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ nazywamy liczbę $\bar{a} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$ . Średnia arytmetyczna $n$ liczb to suma tych liczb podzielona przez liczbę $n$ .

Średnią ważoną $n$ liczb $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ , z których każda ma przyporządkowaną pewną nieujemną wagę $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ , nazywamy liczbę $\frac{w_{1} \cdot a_{1} + w_{2} \cdot a_{2} + \dots + w_{n} \cdot a_{n}}{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}}$ .

Wartość średniej ważonej zależy od danych, którym przypisano określone wagi, większy udział w określeniu średniej ważonej mają dane o większej wadze niż te, którym przypisano mniejsze wagi.

Ciekawostka

Jeśli wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważonaśrednia ważonaśrednia ważona jest równa średniej arytmetycznejśrednia arytmetycznaśredniej arytmetycznej.

Przykład 1

Rc8xAErzNt3MN1

Zdjęcie przedstawia dziewczynę siedzącą przy stole, patrzącą na laptopa i przygryzającą ołówek. — Źródło: www.pixabay.com, Autor: Jan Vasek

Uczeń ma takie oto oceny:

prace klasowe: $4$ , $2$ ,
kartkówki: $4$ , $3$ ,
prace domowe: $5$ , $5$ .

Ocena końcowa z przedmiotu jest wyznaczona w oparciu o średnią arytmetyczną bądź ważoną. Zobaczmy co jest korzystniejsze dla ucznia ?

Jeśli wszystkie oceny mają takie same wagi to ich średnia arytmetyczna wynosi $\frac{4 + 2 + 4 + 3 + 5 + 5}{6} = \frac{23}{6} \approx 3, 83$ .

Uczeń domaga się więc czwórki.

Gdyby jednak były wprowadzone wagi dla ocen np. za pracę klasową waga wynosi $5$ , za kartkówkę $3$ , a za pracę domową tylko $1$ , to średnia ważona wynosi:

$\frac{5 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 5}{5 + 5 + 3 + 3 + 1 + 1} = \frac{5 \cdot (4 + 2) + 3 \cdot (4 + 3) + 1 \cdot (5 + 5)}{18} = \frac{61}{18} \approx 3, 38$

Teraz sytuacja wygląda inaczej, a oceną sugerowaną jest $3$ ....

Mediana

Jeżeli mamy $n$ liczb uporządkowanych niemalejąco, czyli takich, że: $a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n}$ , to medianę zestawu tych liczb $M$ określamy następująco: $M = \{\begin{cases} a_{\frac{n + 1}{2}} & jeżeli n jest liczbą nieparzystą \\ \frac{a_{\frac{n}{2}} + a_{\frac{n}{2} + 1}}{2}, & jeżeli n jest liczbą parzystą \end{cases}$

Inaczej mówiąc, gdy uporządkujemy $n$ liczb w niemalejący ciąg, to:

dla nieparzystej liczby wyrazów medianą nazywać będziemy środkowy wyraz (nie mylić ze średnią!),
gdy zaś $n$ jest parzyste, to mediana ma wartość średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów tego ciągu.

Przykład 2

RuCzNbIQxfcBz

Wariancja

Jeżeli mamy $n$ liczb uporządkowanych niemalejąco, czyli takich, że: $a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n}$ , to wariancję $σ^{2}$ określamy następująco: $σ^{2} = \frac{{(a_{1} - \bar{a})}^{2} + {(a_{2} - \bar{a})}^{2} + \dots + {(a_{n} - \bar{a})}^{2}}{n}$ ,

gdzie $\bar{a} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$ (średnia arytmetyczna).

Odchylenie standardowe $σ$ z $n$ uporządkowanych danych $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji: $σ = \sqrt{σ^{2}}$ .

Przykład 3

Przyjrzyjmy się jeszcze raz ocenom Twojej koleżanki z poprzedniego przykładu. Ootrzymała dziesięć następujących ocen: $4, 5, 2, 3, 6, 3, 5, 4, 5, 6$ .

Policzmy średnią arytmetyczną, wariancję oraz odchylenie standardowe dla tej próbki.

$2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6$

Średnia arytmetyczna

$\bar{a} = \frac{2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6}{10} = \frac{43}{10} = 4, 3$

Wariancja

$\begin{array}{l} σ^{2} = \frac{(2 - 4, 3)^{2} + (3 - 4, 3)^{2} + (3 - 4, 3)^{2} + (4 - 4, 3)^{2} + (4 - 4, 3)^{2} + (5 - 4, 3)^{2} + (5 - 4, 3)^{2} + (6 - 4, 3)^{2} + (6 - 4, 3)^{2}}{10} = \\ = \frac{(- 2, 3)^{2} + (- 1, 3)^{2} + (- 1, 3)^{2} + (- 0, 3)^{2} + (- 0, 3)^{2} + (0, 7)^{2} + (0, 7)^{2} + (0, 7)^{2} + (1, 7)^{2} + (1, 7)^{2}}{10} = \\ = \frac{5, 29 + 1, 69 + 1, 69 + 0, 09 + 0, 49 + 0, 49 + 0, 49 + 2, 89 + 2, 89}{10} = \\ = \frac{5, 29 + 1, 69 + 1, 69 + 0, 09 + 0, 49 + 0, 49 + 0, 49 + 2, 89 + 2, 89}{10} = \frac{16, 1}{10} = 1, 61 \end{array}$ Odchylenie standardowe: $σ = \sqrt{σ^{2}} = 1, 2688577540449520380193772746089 \dots \approx 1, 27$

Wariancja i odchylenie standardowe charakteryzują rozproszenie danych (takich jak np. wiek, oceny, wzrost itp.) wokół średniej arytmetycznej. Mniejsza wartość odchylenia standardowego oznacza, że więcej jest liczb bliskich średniej arytmetycznej.

Przykład 4

Rozpatrzmy dwa ciągi: $(a_{n}) = (1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5); (b_{n}) = (1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5)$ .

Średnia arytmetyczna

Średnie arytmetyczne wyrazów tych ciągów w obu przypadkach są jednakowe. $\begin{array}{l} \bar{a} = \frac{1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5}{10} = \frac{30}{10} = 3 \\ \bar{b} = \frac{1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5}{10} = \frac{30}{10} = 3 \end{array}$

Wariancja

Natomiast jak policzymy odchylenie standardowe, otrzymamy:

$σ_{a} \approx 1, 1 σ_{b} \approx 1, 6$

Podsumowanie

Gdy odchylenie jest małe, to liczby bliskie są średniej arytmetycznej, a im jest większe – tym bardziej wyrazy próbki przyjmują wartości skrajne.

Słownik

średnia arytmetyczna

$n$ liczb to suma tych liczb podzielona przez liczbę $n$

średnia ważona

$n$ liczb $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ , z których każda ma przyporządkowaną pewną nieujemną wagę $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ , to liczba $\frac{w_{1} \cdot a_{1} + w_{2} \cdot a_{2} + \dots + w_{n} \cdot a_{n}}{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}}$

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Przeczytaj

Średnie

Mediana

Wariancja

Słownik