Przeczytaj
Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję określoną wzorem , gdzie oraz .
W trakcie lekcji omówimy własności oraz będziemy szkicować wykresy funkcji logarytmicznych po przesunięciu ich w górę lub w dół wzdłuż osi rzędnych układu współrzędnych.
Naszkicujmy wykresy funkcji zadanych wzorami oraz .
W tym celu w tabeli przedstawmy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.
Argumenty i Wartości Funkcji | ||||
---|---|---|---|---|
Argumenty i Wartości Funkcji | ||||
---|---|---|---|---|
Wykresy naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych.
Zauważmy, że wykres funkcji moglibyśmy otrzymać po przesunięciu wykresu funkcji o jednostkę w dół wzdłuż osi układu współrzędnych.
Korzystając z wykresów, porównamy własności funkcji i :
funkcje i mają te same dziedziny oraz takie same zbiory wartości,
funkcje i są rosnące i różnowartościowe,
asymptotą wykresów funkcji jest prosta ,
miejscem zerowym funkcji jest , a miejscem zerowym funkcji jest ,
dla , dla ,
dla , dla .
Przy przekształceniu wykresu funkcji logarytmicznejprzekształceniu wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem zmienia się miejsce zerowe funkcji oraz zbiory argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne.
Jeżeli mamy dane współrzędne punktu, który należy do wykresu funkcji logarytmicznejfunkcji logarytmicznej, to możemy znaleźć wzór, za pomocą którego ta funkcja jest określona.
Wiadomo, że punkt o współrzędnych należy do wykresu funkcji określonej wzorem .
Wyznaczymy wzór tej funkcji oraz wartość funkcji dla argumentu .
W celu wyznaczenia wartości rozwiążemy równanie:
.
Z równania otrzymujemy, że , zatem wzór funkcji jest postaci .
Obliczamy .
Dana jest funkcja określona wzorem . Niech . Obliczymy wartości funkcji dla argumentów: , , , .
Zauważmy, że funkcja wyraża się wzorem , zatem:
.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem . Wyznaczymy wzór tej funkcji.
Z rysunku możemy odczytać, że należą do niego punkty o współrzędnych: i .
Po podstawieniu współrzędnych tych punktów do wzoru funkcji, mamy równania:
oraz oraz .
Równania przekształcamy do postaci oraz .
Po podzieleniu tych równań stronami mamy, że , zatem , czyli .
Wzór funkcji zapisujemy w postaci .
Mając dany wykres funkcji logarytmicznej po przesunięciu wzdłuż osi rzędnych, możemy odczytać różne własności tej funkcji.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem .
Wyznaczymy:
a) miejsce zerowe tej funkcji,
b) argument dla którego funkcja przyjmuje wartość ,
c) wartość funkcji dla argumentu .
Rozwiązania:
a) w celu wyznaczenia miejsca zerowego rozwiążemy równanie:
, zatem
b) z wykresu tej funkcji możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartość dla argumentu ,
c) obliczamy .
Jeżeli mamy naszkicować wykres funkcji będącej logarytmem iloczynu lub ilorazu, to możemy posłużyć się przesunięciem.
Jak przekształcić wykres funkcji określonej wzorem , aby otrzymać wykres funkcji określonej wzorem ?
Zauważmy, że wzór funkcji możemy zapisać w postaci:
Zatem, żeby otrzymać wykres funkcji należy wykres funkcji przesunąć o jednostki w dół.
Słownik
funkcja określona wzorem , gdzie oraz
przesunięcie wykresu funkcji o jednostek w górę () lub o jednostek w dół ()