Warto przeczytać

Aby obliczyć pracę mechaniczną siły F działającej na drodze, gdzie łączne przemieszczenieprzemieszczenieprzemieszczenie wynosi Δdeltar, korzystamy ze wzoru:

gdzie θtheta jest kątem między wektorami siły i przemieszczenia. Jeśli ruch jest prostoliniowy (a tylko taki będziemy rozpatrywać w tym e‑materiale), wartość przemieszczenia jest po prostu równa wartości drogi Δdeltar = s. Wyznaczenie pracy nie jest skomplikowane, jeśli siła działająca na ciało ma stałą wartość. Jak jednak obliczyć pracę w sytuacji, gdy siła zmienia się podczas ruchu? Sytuacja taka nie jest nadzwyczajna i występuje na przykład podczas ruchu samochodu, który przejeżdża z asfaltowej drogi na leśną, piaszczystą ścieżkę. W tym przypadku siła tarcia kół o podłoże ulegnie zmianie. Innym przykładem jest ściskanie lub rozciąganie sprężyny. Siła, z jaką musimy działać na sprężynę, ma wtedy postać:

gdzie k jest współczynnikiem sprężystości sprężyny, a Δdeltax - wydłużeniem lub skróceniem sprężyny. Jak widzisz, siła w tym przypadku jest wprost proporcjonalna do zmiany długości sprężyny.

Na początek rozpatrzmy jednak prostsze zagadnienie. Wyobraźmy sobie, że na ciało działa pewna, poziomo skierowana siła FIndeks dolny 1₁ = 3 N, która powoduje poziome przesunięcie ciała o sIndeks dolny 1₁ = 5 m. W tym momencie siła zmienia swoją wartość na FIndeks dolny 2₂ = 1 N i przesuwa ciało o następne sIndeks dolny 2₂ = 3 m. Aby wyznaczyć całkowitą pracę, powinniśmy dwa razy skorzystać ze wzoru opisującego pracę i dodać otrzymane wyniki:

W sytuacji jednak, gdy siła w trakcie ruchu zmieniałaby się wielokrotnie, dodawanie kolejnych “fragmentów” byłoby bardzo czasochłonne i kłopotliwe. Spróbujmy zamiast tego przedstawić naszą sytuację na wykresie siły od drogi:

RqK7ml02JnHAX

Rys. 1. Ilustracja przedstawia wykres zależności siły od drogi. Na rysunku widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu, skierowana jest w górę i przedstawia siłę wyrażoną w niutonach, wielka litera F i w nawiasie kwadratowym wielka litera N. Na osi siły zaznaczono wartości od zera do trzech niutonów, co jeden niuton. Oś pozioma układu, skierowana jest w prawo i przedstawia drogę wyrażoną w metrach, wielka litera S i w nawiasie kwadratowym mała litera m. Na osi drogi zaznaczono wartości od zera do ośmiu metrów, co jeden metr. W układzie widoczna jest funkcja narysowana czerwoną i ciągłą linią. Funkcja przyjmuje stałą wartość równą trzy niutony, dla drogi od zera do pięciu metrów. W przedziale od pięciu do ośmiu metrów, wartość funkcji również jest stała i wynosi jeden niuton.

Zwróć teraz uwagę, że obliczone powyżej iloczyny odpowiadają dokładnie polu prostokątów pod wykresem:

RKgWQiGgE66nn

Rys. 2. Ilustracja przedstawia wykres zależności siły od drogi. Na rysunku widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu, skierowana jest w górę i przedstawia siłę wyrażoną w niutonach, wielka litera F i w nawiasie kwadratowym wielka litera N. Na osi siły zaznaczono wartości od zera do trzech niutonów, co jeden niuton. Oś pozioma układu, skierowana jest w prawo i przedstawia drogę wyrażoną w metrach, wielka litera S i w nawiasie kwadratowym mała litera m. Na osi drogi zaznaczono wartości od zera do ośmiu metrów, co jeden metr. W układzie widoczna jest funkcja narysowana czerwoną i ciągłą linią. Funkcja przyjmuje stałą wartość równą trzy niutony, dla drogi od zera do pięciu metrów. Drogę od zera do pięciu metrów oznaczono wielką literą S z indeksem dolnym jeden a wartość siły równą trzy niutony oznaczono wielką literą F z indeksem dolnym jeden. Pole pod wykresem siły na drodze od zera do pięciu metrów oznaczono jako praca wielka litera W z indeksem dolnym jeden. W przedziale od pięciu do ośmiu metrów, wartość funkcji również jest stała i wynosi jeden niuton. Drogę od pięciu do ośmiu metrów oznaczono wielką literą S z indeksem dolnym dwa a wartość siły równą jeden niuton oznaczono wielką literą F z indeksem dolnym dwa. Pole pod wykresem siły na drodze od pięciu do ośmiu metrów oznaczono jako praca wielka litera W z indeksem dolnym dwa.

Jest to ogólna prawidłowość. Pracę danej siły F możemy obliczać, znajdując pole pod wykresem siły od drogi. Nasze rozumowanie możemy uogólnić na siły, które nie są równoległe do przemieszczenia - w takim przypadku zamiast siły, bierzemy pod uwagę jedynie jej składową, która jest równoległa do przemieszczenia $F_{\parallel }$. Jeżeli kąt między siłą a przemieszczeniem wynosi θtheta, to składowa równoległa siły wynosi:

Ciekawostka dla bardziej dociekliwych:

Za pomocą przedstawionego powyżej sposobu możemy stosunkowo prosto obliczyć pracę w sytuacji, gdy pole pod wykresem zależności siły od drogi można przedstawić jako sumę prostych, geometrycznych kształtów. Co jednak zrobić w przypadku, gdy zależność ta przyjmuje kształt np. fragmentu krzywej (jak na poniższym rysunku)?

R1SCeFg3zqA5R

Rys. 3. Ilustracja przedstawia wykres zależności siły od drogi. Na rysunku widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu, skierowana jest w górę i przedstawia siłę wyrażoną w niutonach, wielka litera F i w nawiasie kwadratowym wielka litera N. Oś pozioma układu, skierowana jest w prawo i przedstawia drogę wyrażoną w metrach, wielka litera S i w nawiasie kwadratowym mała litera m. W układzie widoczna jest funkcja narysowana czerwoną i ciągłą linią, która zaczyna się w początku układu współrzędnych. Funkcja początkowo rośnie niejednostajnie w dalszej części niejednostajnie maleje do zera. Pole pod wykresem funkcji oznaczono jako praca wielka litera W.

W takiej sytuacji, pracę, w sposób przybliżony, możesz obliczyć, dzieląc pole pod wykresem na wąskie paski o szerokości Δdeltas i wysokości równej wartości siły w połowie szerokości paska. Obliczając pola wszystkich pasków‑prostokątów, otrzymasz przybliżoną wartość pracy. Rozumowanie to przedstawiliśmy na rysunku. Im “węższy” pasek (im mniejsze Δdeltas) wykorzystasz, tym dokładniejsze przybliżenie uzyskasz.

R1GIqSV6nyItE

Rys. 4. Ilustracja przedstawia wykres zależności siły od drogi. Na rysunku widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu, skierowana jest w górę i przedstawia siłę wyrażoną w niutonach, wielka litera F i w nawiasie kwadratowym wielka litera N. Oś pozioma układu, skierowana jest w prawo i przedstawia drogę wyrażoną w metrach, wielka litera S i w nawiasie kwadratowym mała litera m. W układzie widoczna jest funkcja narysowana czarną i ciągłą linią, która zaczyna się w początku układu współrzędnych. Funkcja początkowo rośnie niejednostajnie w dalszej części niejednostajnie maleje do zera. Pole pod rosnącą częścią funkcji podzielono na pionowe, niebieskie prostokąty, których jednym z boków jest oś odcinek osi poziomej o równych długościach wielka grecka litera delta i wielka litera S. Wysokość prostokąta jest równa wartości funkcji w tym przedziale, Prostokątów jest cztery. Wysokość pierwszego z nich opisano wielką literą F z indeksem dolnym jeden, drugiego opisano wielką literą F z indeksem dolnym dwa, trzeciego opisano wielką literą F z indeksem dolnym trzy a czwartego opisano wielką literą F z indeksem dolnym cztery. Pole pierwszego prostokąta opisano jako praca wielka litera W z indeksem dolnym jeden a czwartego, jako praca wielka litera W z indeksem dolnym cztery.

Słowniczek