Iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

Jeżeli dane są trzy wyrazy proporcji czwarty wyraz można obliczyć ze wzoru:

Rozwiążemy równanie $\frac{x+1}{x-3}=\frac{1}{2}$.

Określimy dziedzinę równania.

$x-3\ne 0$

$x\ne 3$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{3\right\}$

Równanie jest zapisane w postaci proporcji. Korzystając z własności proporcji otrzymujemy:

$2·\left(x+1\right)=x-3$

$2x+2=x-3$

$x=-5\in D$

Rozwiązaniem równania jest liczba $\left(-5\right)$.

Rozwiążemy równanie $\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{x}{1}$.

$x^2-1\ne 0$

$x\ne -1$ i $x\ne 1$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1, 1\right\}$

Korzystając z własności proporcji wiemy, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

$x+1=x\left(x^2-1\right)$

$\left(x+1\right)-x\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$

$\left(x+1\right)\left[1-x\left(x-1\right)\right]=0$

$\left(x+1\right)\left(1-x^2+x\right)=0$

$x+1=0$ lub $-x^2+x+1=0$

$x=-1\notin D$, $∆=1+4=5\Rightarrow \sqrt{∆}=\sqrt{5}$

$x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\in D$

$x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\in D$

Rozwiązaniem równania są liczby $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$, $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

Rozwiążemy równanie $\frac{x^2-121}{x-11}=\frac{x+11}{1}$.

$D=ℝ\setminus \left\{11\right\}$

Korzystając z własności proporcji mamy:

$x^2-121=\left(x-11\right)\left(x+11\right)$

$x^2-121=x^2-121$

$0=0$

Otrzymaliśmy równanie tożsamościowe.

Rozwiążemy równanie $\frac{2x}{x+1}=1-\frac{x-4}{x-1}$.

$x+1\ne 0⟹x\ne -1$

$x-1\ne 0⟹x\ne 1$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1, 1\right\}$

Sprowadzimy prawą stronę równania do wspólnego mianownika.

$\frac{2x}{x+1}=\frac{x-1-x+4}{x-1}$

$\frac{2x}{x+1}=\frac{3}{x-1}$

Z własności proporcji mamy:

$2x\left(x-1\right)=3·\left(x+1\right)$

$2x^2-2x=3x+3$

$2x^2-5x-3=0$

$∆=25+4·2·3=25+24=49$, $\sqrt{∆}=7$

$x_1=\frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}\in D$

$x_2=\frac{5+7}{4}=3\in D$

Równanie ma dwa rozwiązania: $-\frac{1}{2}$, $3$.

Rozwiążemy równanie $2-\frac{x-2}{x-3}=\left|x-4\right|$.

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{3\right\}$

$\frac{2·\left(x-3\right)-x+2}{x-3}=\left|x-4\right|$

$\frac{2x-6-x+2}{x-3}=\frac{\left|x-4\right|}{1}$

$\frac{x-4}{x-3}=\frac{\left|x-4\right|}{1}$

1. dla $x-4\ge 0$

   $x\ge 4$ i $x\ne 3$

   $\frac{x-4}{x-3}=\frac{x-4}{1}$

   $x-3=1$

   $x=4\in D$

2. dla $x<4$

   $\frac{x-4}{x-3}=\frac{-x+4}{1}$

   $x-3=-1$

   $x=2\in D$

Równanie ma dwa rozwiązania: $2$, $4$.

równanie $\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}=0$ z jedną niewiadomą $x$, gdzie $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$

jeżeli dane są trzy wyrazy proporcji czwarty wyraz można obliczyć ze wzoru:

równość dwóch stosunków