Poniżej przedstawione zostały przykładowe siatki graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych.

RRJVvGlE1uyP6

Grafika przedstawia siatkę graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. Siatka składa się z dwóch sześciokątów foremnych oraz sześciu prostokątów. Ułożenie elementów jest następujące. Prostokąty ustawione są w rzędzie i przylegają do siebie dłuższymi bokami. Do krótszych boków pierwszego prostokąta przylegają sześciokąty, jeden od góry, drugi od dołu.

RJ7yce4J61sY9

Grafika przedstawia siatkę graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. Siatka składa się z dwóch sześciokątów foremnych oraz sześciu prostokątów. Ułożenie elementów jest następujące. Prostokąty ustawione są w rzędzie i przylegają do siebie dłuższymi bokami. Do górnego krótszego boku pierwszego prostokąta przylega jeden sześciokąt. Do dolnego krótszego boku czwartego prostokąta przylega drugi sześciokąt.

RRAYOc95LNb54

Grafika przedstawia siatkę graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. Siatka składa się z dwóch sześciokątów foremnych oraz sześciu prostokątów. Ułożenie elementów jest następujące: do każdego boku jednego z sześciokątów swoim krótszym bokiem przylega prostokąt. Do drugiego z krótszych boków prostokąta znajdującego się po lewej stronie pierwszego sześciokąta przylega drugi sześciokąt.

Narysujemy siatkę graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego ściany boczne są kwadratami o boku $2$ (tak jak w zeszycie szkolnym jedna jednostka będzie tu dwiema kratkami).

Aby narysować siatkę graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, najpierw rysujemy jego powierzchnię boczną, a następnie konstruujemy jego podstawę na jednej z krawędzi u góry i u dołu powierzchni bocznej.

R1TLdZn5XZw2I

Grafika przedstawia siatkę graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. Siatka składa się z dwóch sześciokątów foremnych oraz sześciu kwadratów. Ułożenie elementów jest następujące. Kwadraty ustawione są w rzędzie i przylegają do siebie bokami. Do poziomych boków drugiego kwadratu przylegają sześciokąty, jeden od góry, drugi od dołu. Oba sześciokąty zostały wpisane w okrąg. Okrąg jest narysowany linią przerywaną. W czterech wierzchołkach każdego sześciokąta, które nie przylegają do kwadratów znajduje się krótka linia oraz w środku każdego z sześciokątów są dwie przecinające się linie. Długość boku kwadratu wynosi 2.

Narysuj siatkę graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, w którym stosunek krawędzi podstawy do krawędzi bocznej wynosi $2$ : $3$, a objętość wynosi $144\sqrt{3}$.

Mamy $\frac{a}{H}=\frac{2}{3}$, czyli $H=\frac{3}{2}a$.

Podstawiając do wzoru na objętość mamy $144\sqrt{3}=6·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}·\frac{3}{2}a$.

Czyli $144=\frac{9}{4}{a}^3$, a stąd $a^3=64$.

Ostatecznie $a=4$ i $H=\frac{3}{2}·4=6$.

Narysujemy siatkę tego graniastosłupa. Przyjmiemy jedną kratkę, jako jedną jednostkę.

RvsoF4E3R4GoX

Grafika przedstawia siatkę graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. Wszystkie elementy znajdują się na tle w kratkę. Siatka składa się z dwóch sześciokątów foremnych oraz sześciu prostokątów. Ułożenie elementów jest następujące: do każdego boku jednego z sześciokątów swoim krótszym bokiem przylega prostokąt. Do drugiego z krótszych boków prostokąta znajdującego się po prawej stronie pierwszego sześciokąta przylega drugi sześciokąt. Dłuższy bok prostokąta ma długość 6 kratek, krótszy bok prostokąta ma długość 4 kratek.

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego siatka została przedstawiona poniżej, wiedząc, że pole powierzchni bocznejpole powierzchni bocznejpole powierzchni bocznej tego graniastosłupa wynosi $108\sqrt{3}$.

R1e53cy3ONW2Z

Grafika przedstawia siatkę graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. Siatka składa się z dwóch sześciokątów foremnych oraz sześciu prostokątów. Ułożenie elementów jest następujące. Prostokąty ustawione są w rzędzie i przylegają do siebie dłuższymi bokami. Do krótszych boków drugiego prostokąta przylegają sześciokąty, jeden od góry, drugi od dołu. Górny poziomy bok sześciokąta znajdującego się nad prostokątem został przedłużony linią przerywaną. Dolny poziomy bok sześciokąta znajdującego się pod prostokątem również został przedłużony linią przerywaną. Odległość pomiędzy tymi liniami przerywanymi ma długość 30.

Oznaczmy przez $a$ krawędź podstawy i przez $H$ wysokość graniastosłupa.

Mamy, że $6aH=108\sqrt{3}$, czyli $a=\frac{18\sqrt{3}}{H}$.

Z rysunku wynika, że $2a\sqrt{3}+H=30$.

Dokonując podstawienia otrzymujemy $\frac{36\sqrt{3}}{H}·\sqrt{3}+H=30$.

Skoro $H\ne 0$, to możemy obie strony równania pomnożyć przez $H$.

A zatem $108+H^2=30H$.

Mamy do rozwiązania równanie kwadratowe $H^2-30H+108=0$.

Stąd $∆=900-432=468$.

$\sqrt{∆}=6\sqrt{13}$

$H_1=\frac{30-6\sqrt{13}}{2}=15-3\sqrt{13}$, $H_2=\frac{30+6\sqrt{13}}{2}=15+3\sqrt{13}$

Mamy więc dwa takie graniastosłupy o krawędzi podstawy i wysokości:

$\left\{\begin{array}{l}H=15-3\sqrt{13}\\ a=\frac{18\sqrt{3}}{15-3\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{39}+5\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$

lub

$\left\{\begin{array}{l}H=15+3\sqrt{13}\\ a=\frac{18\sqrt{3}}{15+3\sqrt{13}}=\frac{-\sqrt{39}+5\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$.

Oblicz pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o siatce jak na rysunku poniżej.

RZIyIg8uCOHuI

Grafika przedstawia siatkę graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. Siatka składa się z dwóch sześciokątów foremnych oraz sześciu prostokątów. Ułożenie elementów jest następujące. Prostokąty ustawione są w rzędzie i przylegają do siebie dłuższymi bokami. Do górnego krótszego boku trzeciego prostokąta przylega jeden sześciokąt. Do dolnego krótszego boku czwartego prostokąta przylega drugi sześciokąt. Przekątna sześciokąta ma długość 6. Przekątna prostokąta, składającego się z sześciu prostokątów połączonych dłuższymi bokami, ma długość $2\sqrt{85}$.

Dłuższa przekątna podstawy ma długość $6$, a zatem $2a=6$.

Stąd $a=3$.

Obliczamy wysokość graniastosłupa z twierdzenia Pitagorasa:

$H^2+{18}^2={\left(2\sqrt{85}\right)}^2$

A stąd $H^2=16$ i ostatecznie $H=4$.

Obliczmy pole powierzchni tego graniastosłupa

$P_c=3·3^2\sqrt{3}+6·3·4=27\sqrt{3}+72$.

przedstawienie bryły na płaszczyźnie w taki sposób, aby po wycięciu dało się złożyć model tej bryły

suma pól ścian bocznych