Siatka bryłysiatka bryłySiatka bryły jest jej przedstawieniem na płaszczyźnie w taki sposób, aby po wycięciu dało się złożyć model tej bryły.

Siatka graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego składa się z dwóch przystających sześciokątów foremnych i sześciu przystających prostokątów.

Przypomnijmy, że aby skonstruować sześciokąt foremny o boku a za pomocą cyrkla kreślimy okrąg o promieniu a. Na okręgu zaznaczamy punkt i kreślimy łuk o promieniu a, który przecina okrąg, łuk o tym samym promieniu kreślimy z powstałego punktu przecięcia itd., aż na okręgu powstanie 6 punktów. Łączymy kolejne punkty, aż powstanie sześciokąt.

RHETH37GQOO97

Jeżeli zaczynamy konstrukcję sześciokąta foremnego od boku długości a, to, aby znaleźć środek okręgu opisanego z końców odcinka prowadzimy łuki – punkt przecięcia łuków będzie środkiem okręgu opisanego na sześciokącie.

R1cyTOgYRsqlx
Przykład 1

Poniżej przedstawione zostały przykładowe siatki graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych.

RRJVvGlE1uyP6
RJ7yce4J61sY9
RRAYOc95LNb54
Przykład 2

Narysujemy siatkę graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego ściany boczne są kwadratami o boku 2 (tak jak w zeszycie szkolnym jedna jednostka będzie tu dwiema kratkami).

Aby narysować siatkę graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, najpierw rysujemy jego powierzchnię boczną, a następnie konstruujemy jego podstawę na jednej z krawędzi u góry i u dołu powierzchni bocznej.

R1TLdZn5XZw2I
Przykład 3

Narysuj siatkę graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, w którym stosunek krawędzi podstawy do krawędzi bocznej wynosi 2 : 3, a objętość wynosi 1443.

Mamy aH=23, czyli H=32a.

Podstawiając do wzoru na objętość mamy 1443=6·a234·32a.

Czyli 144=94a3, a stąd a3=64.

Ostatecznie a=4H=32·4=6.

Narysujemy siatkę tego graniastosłupa. Przyjmiemy jedną kratkę, jako jedną jednostkę.

RvsoF4E3R4GoX
Przykład 4

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego siatka została przedstawiona poniżej, wiedząc, że pole powierzchni bocznejpole powierzchni bocznejpole powierzchni bocznej tego graniastosłupa wynosi 1083.

R1e53cy3ONW2Z

Oznaczmy przez a krawędź podstawy i przez H wysokość graniastosłupa.

Mamy, że 6aH=1083, czyli a=183H.

Z rysunku wynika, że 2a3+H=30.

Dokonując podstawienia otrzymujemy 363H·3+H=30.

Skoro H0, to możemy obie strony równania pomnożyć przez H.

A zatem 108+H2=30H.

Mamy do rozwiązania równanie kwadratowe H2-30H+108=0.

Stąd =900-432=468.

=613

H1=30-6132=15-313, H2=30+6132=15+313

Mamy więc dwa takie graniastosłupy o krawędzi podstawy i wysokości:

H=15-313a=18315-313=39+532

lub

H=15+313a=18315+313=-39+532.

Przykład 5

Oblicz pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o siatce jak na rysunku poniżej.

RZIyIg8uCOHuI

Dłuższa przekątna podstawy ma długość 6, a zatem 2a=6.

Stąd a=3.

Obliczamy wysokość graniastosłupa z twierdzenia Pitagorasa:

H2+182=2852

A stąd H2=16 i ostatecznie H=4.

Obliczmy pole powierzchni tego graniastosłupa

Pc=3·323+6·3·4=273+72.

Słownik

siatka bryły
siatka bryły

przedstawienie bryły na płaszczyźnie w taki sposób, aby po wycięciu dało się złożyć model tej bryły

pole powierzchni bocznej
pole powierzchni bocznej

suma pól ścian bocznych