Praca, w słowniku języka polskiego, zdefiniowana jest między innymi jako działalność zmierzająca do wytworzenia dóbr materialnych lub kulturalnych. W języku potocznym jest to działanie, za które otrzymujemy wynagrodzenie. A jak jest w fizyce? O pracy możemy mówić tylko wtedy, gdy zewnętrzna siła powoduje odkształcenie lub przemieszczenie ciała. Przyjmując założenie, że siła ma stałą wartość, pracę oblicza się ze wzoru:
,
gdzie:
– praca [J],
– przyłożona siła [N],
– przesunięcie [m],
– kąt pomiędzy wektorami: siły i przesunięcia.
Jeśli narysujemy wykres zależności siły od przesunięcia, to wartość pracy możemy także obliczyć jako wartość pola pod wykresem. W sytuacji przedstawionej na Rys. 1., gdy siła nie ulega zmianie wraz z przesunięciem, znając wzór na pole prostokąta, z łatwością wyznaczymy szukaną wartość.
R19pQ8e3buFgG
Czy powyższe zależności można zastosować dla pola grawitacyjnegopole grawitacyjnepola grawitacyjnego? Od razu zauważymy, że siła nie ma w tym przypadku stałej wartości – rośnie wraz ze zbliżaniem się do centralnej masy. Co z tego wynika? Przeanalizujmy następujący przykład: umieśćmy w polu grawitacyjnym (Rys. 2.) w punkcie A znajdującym się w odległości rIndeks dolny 11 od środka masy centralnej M masę m i zastanówmy się, jaką pracę (przeciwko sile grawitacji) należy wykonać, by przemieścić ją do punktu B znajdującego się w odległości rIndeks dolny 22 (przy czym rIndeks dolny 22 > rIndeks dolny 11).
RziaN1cZy9GQV
Zależność siły grawitacyjnejsiła grawitacyjnasiły grawitacyjnej od odległości od środka masy ma charakter odwrotnie proporcjonalny do kwadratu odległości. Wykresem tej zależności jest krzywa przedstawiona na Rys. 3. Posługując się analogią do poprzedniego przykładu, spróbujmy obliczyć pracę korzystając z tego wykresu.
RPqpPKFpPkeYY
Podzielmy odcinek od rIndeks dolny 11 do rIndeks dolny 22 na n przedziałów o bardzo małej szerokości (Rys. 4.). Od ich szerokości () zależy dokładność wyznaczonego wzoru – im mniejsze będą przedziały Δdeltar, tym nasze sumowanie będzie dokładniejsze.
RM2HaV0OFPhqL
Po dodaniu pól tych prostokątów otrzymamy następujące wyrażenie:
Jego wyprowadzenie znajdziesz w dodatku dla ambitnych.
Zastanówmy się teraz, co możemy na podstawie tego wzoru powiedzieć?
1. Praca w polu grawitacyjnym zależna jest od różnicy odwrotności odległości punktów: początkowego i końcowego od środka masy centralnej. Gdy ciało wraca do miejsca, z którego wyruszyło, to ta różnica wynosi zero, zatem powyższe wyrażenie także przyjmuje wartość zero. Można więc zauważyć, że satelita krążąc po orbicie nie wykonuje pracy. Doskonałą ilustracją tego wniosku jest Księżyc – nie potrzebuje on żadnego źródła energii, by móc poruszać się dookoła naszej planety (Rys. 5.).
Rs2Ul9jvoZoNM
2. Przejście od punktu początkowego do punktu końcowego może odbywać się na różne sposoby – niezależnie od toru ruchu – wartość pracy będzie taka sama, zależna jedynie od położenia tych punktów (Rys. 6.).
RIw3aK8kc3oWm
3. Zależność ta wygląda dokładnie tak samo przy powierzchni Ziemi, gdy stosujemy wzór przybliżony W = ΔdeltaEIndeks dolny pp = mgΔdeltah. Doskonałą tego ilustracją jest równia pochyła. Unosząc ciało z wysokości hIndeks dolny 11 na wysokość hIndeks dolny 22, niezależnie od tego, czy wybierzemy drogę A czy B – wykonamy taką samą pracę przeciwko sile grawitacji – gdyż różnica wysokości pomiędzy punktem początkowym a końcowym będzie taka sama (Rys. 7.).
RRNzOuoiVrGev
Pole sił zachowawczych
Pole, w którym praca wykonana przy przesuwaniu ciała pomiędzy punktami początkowym a końcowym nie zależy od toru ruchu, a jedynie od odległości tych punktów będziemy nazywać polem sił zachowawczychpole sił zachowawczychpolem sił zachowawczych.
DODATEK DLA AMBITNYCH
Praca jest iloczynem siły i przesunięcia. Zatem pole jednego prostokąta będzie równe liczbowo pracy wykonanej przez siłę FIndeks dolny ii na drodze Δdeltar:
Jeśli wykorzystamy wzór na siłę grawitacji, otrzymamy:
Dla małych wartości wartość można przybliżyć jako:
Skąd to przybliżenie się bierze? Przeanalizujmy to dokładniej. Skoro , to:
Skoro wyrażenie jest bardzo małe i dąży do zera, to jest jeszcze bliższe zeru. Zatem możemy zapisać, że , zatem:
Wstawiając więc zależność [5] do wyrażenia [2] otrzymujemy wyrażenie na pole pojedynczego prostokąta:
By policzyć całkowitą pracę, należy dodać pola poszczególnych prostokątów:
Wyciągając wspólny czynnik przed nawias otrzymujemy:
Wszystkie składniki, poza skrajnymi się zredukują, poza skrajnymi, gdyż Zatem:
Słowniczek
pole grawitacyjne
pole grawitacyjne
(ang.: gravitational field) modyfikacja własności przestrzeni sprawiająca, że na każde ciało o masie m, umieszczone w pobliżu masy będącej źródłem pola, działa siła grawitacyjna.
pole sił zachowawczych
pole sił zachowawczych
(ang.: conservative force field) obszar, w którym praca wykonana przy przesuwaniu ciała pomiędzy punktami początkowym a końcowym nie zależy od toru ruchu, jedynie od odległości tych punktów.
siła grawitacyjna
siła grawitacyjna
(ang.: force of gravity) oddziaływanie o charakterze przyciągającym istniejące pomiędzy ciałami posiadającymi masę, zależne od iloczynu mas i kwadratu odległości pomiędzy ich środkami.