Warto przeczytać

Praca, w słowniku języka polskiego, zdefiniowana jest między innymi jako działalność zmierzająca do wytworzenia dóbr materialnych lub kulturalnych. W języku potocznym jest to działanie, za które otrzymujemy wynagrodzenie. A jak jest w fizyce? O pracy możemy mówić tylko wtedy, gdy zewnętrzna siła powoduje odkształcenie lub przemieszczenie ciała. Przyjmując założenie, że siła ma stałą wartość, pracę oblicza się ze wzoru:

gdzie:

$W$ – praca [J],

$\vec{F}$ – przyłożona siła [N],

$\Delta\vec{r}$ – przesunięcie [m],

$\alpha$ – kąt pomiędzy wektorami: siły i przesunięcia.

Jeśli narysujemy wykres zależności siły od przesunięcia, to wartość pracy możemy także obliczyć jako wartość pola pod wykresem. W sytuacji przedstawionej na Rys. 1., gdy siła nie ulega zmianie wraz z przesunięciem, znając wzór na pole prostokąta, z łatwością wyznaczymy szukaną wartość.

R19pQ8e3buFgG

Rys. 1. Rysunek przedstawia wykres. Na osi poziomej odłożono przesunięcie oznaczone jako delta r. Na osi pionowej odłożono wartość siły wielkie F. Wykres jest odcinkiem równoległym do osi poziomej. Odcinek ten zaczyna się na osi pionowej, a od jego drugiego końca poprowadzono w dół pionową linię przerywaną dochodzącą do osi poziomej. Powstał prostokąt, którego dwa boki leżą na osiach, a pozostałe dwa boki tworzą składowe: odcinek będący wykresem i odcinek pionowy z prawej strony wykresu. Wewnątrz prostokąta zapisano równanie: praca wielkie W równa się siła wielkie F razy przesunięcie delta r.

Czy powyższe zależności można zastosować dla pola grawitacyjnegopole grawitacyjnepola grawitacyjnego? Od razu zauważymy, że siła nie ma w tym przypadku stałej wartości – rośnie wraz ze zbliżaniem się do centralnej masy. Co z tego wynika? Przeanalizujmy następujący przykład: umieśćmy w polu grawitacyjnym (Rys. 2.) w punkcie A znajdującym się w odległości rIndeks dolny 1₁ od środka masy centralnej M masę m i zastanówmy się, jaką pracę (przeciwko sile grawitacji) należy wykonać, by przemieścić ją do punktu B znajdującego się w odległości rIndeks dolny 2₂ (przy czym rIndeks dolny 2₂ > rIndeks dolny 1₁).

RziaN1cZy9GQV

Rys. 2. W centrum rysunku jest kula opisana wielką literą M, symbolizująca ciało centralne o masie wielkie M. Od powierzchni kuli na zewnątrz wychodzi osiem linii o kierunkach zgodnych z kierunkiem promieni kuli. Na liniach umieszczono strzałki wskazujące kierunek do środka kuli. Na jednej z linii zaznaczono dwa punkty. Bliżej kuli zaznaczono na niebiesko punkt, opisany wielką literą A. Jego odległość od środka kuli wynosi r z indeksem dolnym 1. Dalej od kuli zaznaczono na zielono punkt, opisany wielką literą B. Jego odległość od środka kuli wynosi r z indeksem dolnym 2. Między punktami A i B narysowano małą kulkę, symbolizującą ciało o niewielkiej masie małe m.

Zależność siły grawitacyjnejsiła grawitacyjnasiły grawitacyjnej od odległości od środka masy ma charakter odwrotnie proporcjonalny do kwadratu odległości. Wykresem tej zależności jest krzywa przedstawiona na Rys. 3. Posługując się analogią do poprzedniego przykładu, spróbujmy obliczyć pracę korzystając z tego wykresu.

RPqpPKFpPkeYY

Rys. 3. Rysunek przedstawia wykres. Na osi poziomej odłożono odległość małe r od środka masy ciała, wytwarzającego pole grawitacyjne. Na osi pionowej odłożono wartość siły grawitacji wielkie F. Wykres jest fragmentem hiperboli, która zaczyna się dla wartości odległości małe r z indeksem dolnym 1. Wykres biegnie łukiem w dół i w prawo i kończy się dla wartości odległości małe r z indeksem dolnym 2. Pole pod wykresem pomalowano na szaro. Na szarym polu umieszczono opis: praca.

Podzielmy odcinek od rIndeks dolny 1₁ do rIndeks dolny 2₂ na n przedziałów o bardzo małej szerokości (Rys. 4.). Od ich szerokości ($\Delta r=\frac{r_2-r_1}{n}$) zależy dokładność wyznaczonego wzoru – im mniejsze będą przedziały Δdeltar, tym nasze sumowanie będzie dokładniejsze.

RM2HaV0OFPhqL

Rys. 4. Rysunek przedstawia wykres podobny do wykresu na rysunku 2. Na osi poziomej odłożono odległość małe r od środka masy ciała, wytwarzającego pole grawitacyjne. Na osi pionowej odłożono wartość siły grawitacji wielkie F. Wykres jest fragmentem hiperboli, a pole pod wykresem pomalowano na szaro. Całe pole pod wykresem zostało pokryte jednakowymi, wąskimi, pionowymi prostokątami. Prostokąty stykają się bocznymi krawędziami. Górna krawędź każdego prostokąta znajduje się na hiperboli, a dolna krawędź leży na osi poziomej. Zaznaczono szerokość prostokąta delta r.

Po dodaniu pól tych prostokątów otrzymamy następujące wyrażenie:

Jego wyprowadzenie znajdziesz w dodatku dla ambitnych.

Zastanówmy się teraz, co możemy na podstawie tego wzoru powiedzieć?

1. Praca w polu grawitacyjnym zależna jest od różnicy odwrotności odległości punktów: początkowego i końcowego od środka masy centralnej. Gdy ciało wraca do miejsca, z którego wyruszyło, to ta różnica wynosi zero, zatem powyższe wyrażenie także przyjmuje wartość zero. Można więc zauważyć, że satelita krążąc po orbicie nie wykonuje pracy. Doskonałą ilustracją tego wniosku jest Księżyc – nie potrzebuje on żadnego źródła energii, by móc poruszać się dookoła naszej planety (Rys. 5.).

Rs2Ul9jvoZoNM

Rys. 5. Rysunek przedstawia koło symbolizujące Ziemię oraz współśrodkowy z kołem okrąg o promieniu większym niż promień Ziemi. Okrąg przedstawia orbitę satelity, narysowano na nim strzałkę pokazującą kierunek zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Na orbicie zaznaczono punkt wielkie A.

2. Przejście od punktu początkowego do punktu końcowego może odbywać się na różne sposoby – niezależnie od toru ruchu – wartość pracy będzie taka sama, zależna jedynie od położenia tych punktów (Rys. 6.).

RIw3aK8kc3oWm

Rys. 6. Przedstawiony rysunek różni się od rysunku 5 tym, że zamiast orbity w kształcie okręgu, narysowano orbitę o kształcie dowolnej, pofalowanej linii zamkniętej. Na orbicie narysowano strzałkę pokazującą kierunek zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara oraz zaznaczono punkt wielkie A.

3. Zależność ta wygląda dokładnie tak samo przy powierzchni Ziemi, gdy stosujemy wzór przybliżony W = ΔdeltaEIndeks dolny p_p = mgΔdeltah. Doskonałą tego ilustracją jest równia pochyła. Unosząc ciało z wysokości hIndeks dolny 1₁ na wysokość hIndeks dolny 2₂, niezależnie od tego, czy wybierzemy drogę A czy B – wykonamy taką samą pracę przeciwko sile grawitacji – gdyż różnica wysokości pomiędzy punktem początkowym a końcowym będzie taka sama (Rys. 7.).

RRNzOuoiVrGev

Rys. 7. Rysunek przedstawia równię pochyłą w postaci trójkąta prostokątnego, którego dłuższa przyprostokątna jest pozioma i znajduje się na dole, a krótsza przyprostokątna, znajdująca się z prawej strony jest pionowa. Przy dolnym końcu przyprostokątnej pionowej zaznaczono wysokość literą małe h z indeksem dolnym 1, a przy górnym końcu tej przyprostokątnej zaznaczono wysokość literą małe h z indeksem dolnym 2. Wzdłuż przeciwprostokątnej narysowano odcinek oznaczony wielką literą A i zakończony strzałką skierowaną do góry. Odcinek ten pokazuje drogę ciała wciąganego wzdłuż równi z wysokości h z indeksem dolnym 1 na wysokość h z indeksem dolnym 2. Wzdłuż przyprostokątnej pionowej narysowano odcinek oznaczony wielką literą B i zakończony strzałką skierowaną do góry. Odcinek ten pokazuje drogę ciała podnoszonego pionowo w górę z wysokości h z indeksem dolnym 1 na wysokość h z indeksem dolnym 2.

DODATEK DLA AMBITNYCH

Praca jest iloczynem siły i przesunięcia. Zatem pole jednego prostokąta będzie równe liczbowo pracy wykonanej przez siłę FIndeks dolny i_i na drodze Δdeltar:

$\begin{array}{}\text{(1)}& \Delta W_i=F_i\cdot \Delta r\end{array}$

Jeśli wykorzystamy wzór na siłę grawitacji, otrzymamy:

$\begin{array}{}\text{(2)}& \Delta W_i=G\frac{Mm}{r_i^2}\Delta r\end{array}$

Dla małych wartości wartość $\frac{\mathrm{\text{Δr}}}{r_i^2}$ można przybliżyć jako:

$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{\mathrm{\text{Δr}}}{r_i^2}\approx \frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_{i+1}}\end{array}$

Skąd to przybliżenie się bierze? Przeanalizujmy to dokładniej. Skoro $r_{i+1}=r_i+\Delta r$, to:

$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_{i+1}}=\frac{r_{i+1}-r_i}{r_i\cdot r_{i+1}}=\frac{r_i+\Delta r-r_i}{r_i(r_i+\Delta r)}=\frac{\mathrm{\text{Δr}}}{r_i(r_i+\Delta r)}=\frac{\mathrm{\text{Δr}}}{r_i^2(1+\frac{\mathrm{\text{Δr}}}{r_i})}\end{array}$

Skoro wyrażenie$\mathrm{\text{Δr}}$ jest bardzo małe i dąży do zera, to $\frac{\mathrm{\text{Δr}}}{r_i}$ jest jeszcze bliższe zeru. Zatem możemy zapisać, że $\frac{\mathrm{\text{Δr}}}{r_i}\approx 0$, zatem:

$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_{i+1}}=\frac{\mathrm{\text{Δr}}}{r_i^2(1+\frac{\mathrm{\text{Δr}}}{r_i})}\approx \frac{\mathrm{\text{Δr}}}{r_i^2(1+0)}=\frac{\mathrm{\text{Δr}}}{r_i^2}\end{array}$

Wstawiając więc zależność [5] do wyrażenia [2] otrzymujemy wyrażenie na pole pojedynczego prostokąta:

$\begin{array}{}\text{(6)}& \Delta W_i=GMm(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_{i+1}})\end{array}$

By policzyć całkowitą pracę, należy dodać pola poszczególnych prostokątów:

$\begin{array}{}\text{(7)}& =GMm(\frac{1}{r_{1_1}}-\frac{1}{r_{1_2}})+...+GMm(\frac{1}{r_{i_1}}-\frac{1}{r_{i_2}})+...+GMm(\frac{1}{r_{n_1}}-\frac{1}{r_{n_2}})\end{array}$

Wyciągając wspólny czynnik przed nawias otrzymujemy:

$\begin{array}{}\text{(8)}& W=GMm(\frac{1}{r_{1_1}}-\frac{1}{r_{1_2}}+\frac{1}{r_{2_1}}-\frac{1}{r_{2_2}}+\dots \frac{1}{r_{i_1}}-\frac{1}{r_{i_2}}+\dots +\frac{1}{r_{n_1}}-\frac{1}{r_{n_2}})\end{array}$

Wszystkie składniki, poza skrajnymi się zredukują, poza skrajnymi, gdyż $r_{{(i-1)}_2}=r_{i_1}.$ Zatem:

$\begin{array}{}\text{(9)}& W=GMm(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})\end{array}$

Słowniczek