Przeczytaj
Zajmiemy się teraz równaniami logarytmicznymi, których rozwiązanie wymaga tylko znajomości definicji logarytmu i podstawowych własności funkcji logarytmicznej.
Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.
Rozwiązując równanie logarytmiczne, należy uwzględnić założenia wynikające z definicji logarytmu – liczba logarytmowana musi być dodatnia, a podstawa dodatnia i różna od jedności. Określamy w ten sposób dziedzinę równania logarytmicznego.
Rozważymy najpierw kilka prostych równań, które możemy rozwiązać, korzystając bezpośrednio z definicji logarytmu.
Rozwiążemy równanie .
Określamy dziedziną równania: .
Korzystamy z definicji logarytmu.
Wyznaczona liczba należy do dziedziny równania.
Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest liczba .
Rozwiążemy równanie .
Określamy dziedzinę równania: i .
Korzystamy z definicji logarytmu.
i
Wyznaczona liczba należy do dziedziny równania.
Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest liczba .
Rozwiążemy równanie .
Określamy dziedzinę równania.
Na mocy definicji logarytmu:
Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest liczba .
Rozwiązywanie równań logarytmicznych może prowadzić do rozwiązania równania kwadratowego, a czasem też nierówności kwadratowej.
Rozwiążemy równanie .
Określamy dziedzinę równania: , .
Korzystamy z definicji logarytmu.
lub
Tylko jedna z wyznaczonych liczb należy do dziedziny równania (jest dodatnia i różna od jeden).
Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest liczba .
Rozwiążemy równanie .
Określamy dziedzinę równania: .
Rozwiązujemy nierówność kwadratową.
lub
Na mocy definicji logarytmu:
Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
lub
,
Odpowiedź:
Liczby i są rozwiązaniami równania.
Rozwiążemy teraz równanie logarytmicznerównanie logarytmiczne, w którym niewiadoma występuje zarówno w podstawie, jak i w liczbie logarytmowanej.
Rozwiążemy równanie .
Tym razem nie będziemy wyznaczać dziedziny, ale założymy, że równanie ma rozwiązanie i jest nim liczba .
Rozwiążemy to równanie i dopiero wtedy sprawdzimy, czy wyznaczona liczba należy do dziedziny równania.
Z definicji logarytmu wynika, że
Rozwiązujemy otrzymane równanie.
Sprawdzenie:
i
Liczba należy do dziedziny równania.
Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest liczba .
Pokażemy teraz, jak można rozwiązać równanie, w którym logarytm występuje w wykładniku potęgi.
Rozwiążemy równanie .
Określamy dziedzinę równania: .
Logarytmujemy obie strony równania, korzystamy z logarytmu o podstawie .
Korzystamy z własności logarytmu.
Podstawiamy: .
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
Wracamy do podstawienia.
, stąd
lub
, stąd
Obie wyznaczone liczby należą do dziedziny równania.
Odpowiedź:
Liczby i są rozwiązaniami równania.
Słownik
to równanie, w którym niewiadoma występuje w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu