Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.

Rozwiążemy równanie ${\log }_{6}x=2$.

Określamy dziedziną równania: $x>0$.

Korzystamy z definicji logarytmu.

$x=6^2$

$x=36$

$36>0$

Wyznaczona liczba należy do dziedziny równania.

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równania jest liczba $36$.

Rozwiążemy równanie ${\log }_{x}5=-1$.

Określamy dziedzinę równania: $x>0$ i $x\ne 1$.

Korzystamy z definicji logarytmu.

$x^{-1}=5$

$x=\frac{1}{5}$

$\frac{1}{5}>0$ i $\frac{1}{5}\ne 1$

Wyznaczona liczba należy do dziedziny równania.

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równania jest liczba $\frac{1}{5}$.

Rozwiążemy równanie ${\log }_{11}(2-4x)=1$.

Określamy dziedzinę równania.

$2-4x>0$

$-4x>-2$

$x<\mathrm{0,5}$

Na mocy definicji logarytmu:

$2-4x={11}^1$

$-4x=9$

$x=-\mathrm{2,25}$

$-\mathrm{2,25}<\mathrm{0,5}$

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równania jest liczba $\left(-\mathrm{2,25}\right)$.

Rozwiążemy równanie ${\log }_{x}64=2$.

Określamy dziedzinę równania: $x>0$, $x\ne 1$.

Korzystamy z definicji logarytmu.

$x^2=64$

$x^2-64=0$

$\left(x-8\right)\left(x+8\right)=0$

$x=8$ lub $x=-8$

Tylko jedna z wyznaczonych liczb należy do dziedziny równania (jest dodatnia i różna od jeden).

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równania jest liczba $8$.

Rozwiążemy równanie ${\log }_5\left(x^2-x-1\right)=0$.

Określamy dziedzinę $D$ równania: $x^2-x-1>0$.

Rozwiązujemy nierówność kwadratową.

$\Delta =1+4=5>0$

$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ lub $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$D=\left(-\infty , \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \infty \right)$

Na mocy definicji logarytmu:

$x^2-x-1=5^0$

$x^2-x-2=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$\Delta =1+8=9>0$

$\sqrt{\Delta }=3$

$x=\frac{1-3}{2}=-1$ lub $x=\frac{1+3}{2}=2$

$-1\in D$, $2\in D$

Odpowiedź:

Liczby $-1$ i $2$ są rozwiązaniami równania.

Rozwiążemy równanie ${\log }_{x-3}\left(x^2-4x-1\right)=2$.

Tym razem nie będziemy wyznaczać dziedziny, ale założymy, że równanie ma rozwiązanie i jest nim liczba $x$.

Rozwiążemy to równanie i dopiero wtedy sprawdzimy, czy wyznaczona liczba należy do dziedziny równania.

Z definicji logarytmu wynika, że

${\left(x-3\right)}^2=x^2-4x-1$

Rozwiązujemy otrzymane równanie.

$x^2-6x+9-x^2+4x+1=0$

$-2x=-10$

$x=5$

Sprawdzenie:

$5-3=2>0$ i $2\ne 1$

$5^2-4·5-1=4>0$

Liczba $5$ należy do dziedziny równania.

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równania jest liczba $5$.

Rozwiążemy równanie $x^{{\log }_{10}x+2}=1000$.

Określamy dziedzinę równania: $D=\left(0, \infty \right)$.

Logarytmujemy obie strony równania, korzystamy z logarytmu o podstawie $10$.

${\log }_{10}{x}^{{\log }_{10}x+2}={\log }_{10}1000$

Korzystamy z własności logarytmu.

$\left({\log }_{10}x+2\right)·{\log }_{10}x=3$

Podstawiamy: $t={\log }_{10}x$.

$\left(t+2\right)·t=3$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$t^2+2t-3=0$

$\Delta =4+12=16$

$t_1=\frac{-2-4}{2}=-3$

$t_2=\frac{-2+4}{2}=1$

Wracamy do podstawienia.

${\log }_{10}x=-3$, stąd $x=\mathrm{0,001}$

lub

${\log }_{10}x=1$, stąd $x=10$

Obie wyznaczone liczby należą do dziedziny równania.

Odpowiedź:

Liczby $0,001$ i $10$ są rozwiązaniami równania.

to równanie, w którym niewiadoma występuje w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu