Ilustracja pierwsza. Przykład pierwszy. Rozwiążemy równanie: ${\log }_2\left(x+3\right)={\log }_2\left(4+2x\right)$. Określamy dziedzinę równania., $x+3>0$ oraz $4+2x>0$. Stąd mamy: $x>-3$ oraz Stąd mamy: $x>-2$, zatem dziedzina jest tu postaci: $D=\left(-2;\infty \right)$, Skorzystamy z różnowartościowości funkcji logarytmicznej. Z równości logarytmów o tej samej podstawie wynika równość liczb logarytmowanych. $x+3=4+2x$, Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe. $x-2x=4-3$, a po uproszczeniu wyrazów podobnych, otrzymamy: $x=-1$. Uzyskana liczba należy do dziedziny równania. Odpowiedź: Liczba $-1$ jest rozwiązaniem równania.

Ilustracja druga. Przykład drugi część pierwsza. Rozwiążemy równanie: $\frac{2{\log }_{8}x}{{\log }_8\left(6-x\right)}=1$. Określamy dziedzinę równania. $x>0$ oraz $6-x>0$ i ${\log }_8\left(6-x\right)\ne 0$. Z powyższych założeń otrzymujemy: $x>0$ i $x<6$ i $x\ne 5$. Zatem dziedziną równania jest suma przedziałów: $D=\left(0;5\right)\cup \left(5;6\right)$. Mnożymy obie strony równania przez ${\log }_8\left(6-x\right)$, otrzymując równanie: $2{\log }_{8}x={\log }_8\left(6-x\right)$. Zapisujemy lewą stronę równania w postaci logarytmu potęgi liczby $x$. ${\log }_8{x}^2={\log }_8\left(6-x\right)$. Z różnowartościowości funkcji logarytmicznej wynika równość liczb logarytmowanych, zatem otrzymujemy równanie: $x^2=6-x$.

Ilustracja trzecia. Przykład drugi część druga. Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe. $x^2=6-x$ Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę. $x^2+x-6=0$ Wyznaczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego. $\Delta =1+24=25>0$ Następnie obliczamy pierwiastek trójmianu kwadratowego. $\sqrt{\Delta }=5$. Obliczmy dalej. $x_1=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3$ oraz $x_2=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2$. Tylko liczba $2$ należy do dziedziny równania. Odpowiedź: Liczba $2$ jest rozwiązaniem równania.

Ilustracja czwarta. Przykład trzeci część pierwsza. Rozwiążemy równanie: ${\log }_5\left(x^3-3x^2+3x-1\right)=3{\log }_5\left(x+1\right)$. Zapisujemy wyrażenie logarytmowane po lewej stronie równania w postaci sześcianu. ${\log }_5{\left(x-1\right)}^3=3{\log }_5\left(x+1\right)$. Określamy dziedzinę wyrażenia. $x-1>0$ i $x+1>0$. Zatem dziedzina jest następująca: $D=\left(1;\infty \right)$. Zapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynu. $3{\log }_5\left(x-1\right)=3{\log }_5\left(x+1\right)$.

Ilustracja piąta. Przykład trzeci część druga. Dzielimy obie strony równania przez $3$. $3{\log }_5\left(x-1\right)=3{\log }_5\left(x+1\right) \overline{):3}$. Otrzymujemy: ${\log }_5\left(x-1\right)={\log }_5\left(x+1\right)$. Porównujemy liczby logarytmowane. $x-1=x+1$ Otrzymujemy sprzeczność. $-1=1$ Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązania.