Warto przeczytać

Ciężar każdego ciała na Ziemi wynika z siły oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy tym ciałem a Ziemią. Wartość $F$ tej siły określił Newton w prawie powszechnego ciążenia

Siła ta nadaje swobodnemu ciału przyspieszenie grawitacyjne $g$:

Oznacza to, że $G=\frac{g{R}^2}{M}$. Aby więc wyznaczyć stałą $G$, musimy znać promień Ziemi $R$, przyspieszenie grawitacyjne $g$ i masę Ziemi $M$. Mówiono, że wyznaczenie wartości stałej $G$ to zważenie Ziemi - tak było w istocie! Dokładne wyznaczenie tej stałej było bardzo ważne dla rozwoju nauki. Po raz pierwszy zrobił to w warunkach laboratoryjnych angielski uczony Henry Cavendish w końcu XVIII wieku. Niemal sto lat później fizyk niemiecki Philipp von Jolly, zastosowawszy zupełnie inną metodę, uzyskał wynik znacznie bardziej dokładny.

Jaki sens fizyczny ma stała grawitacji? Przyjrzyjmy się wzorowi

Jeżeli podstawimy do niego wartości jednostkowe masy i odległości, to uzyskamy wartość siły oddziaływania pomiędzy jednokilogramowymi masami z odległości jednego metra; wynosi ona (jak dziś wiemy) $6,67 \cdot 10^{-11}\,\text{N}\ .$

Widzimy, że pomiar siły grawitacji w warunkach laboratoryjnych wymagał bardzo dużej precyzji. Henry Cavendish przeprowadził takie precyzyjne doświadczenie w 1798 roku. Pomiar wykonał za pomocą tzw. wagi skręceń. Na nici kwarcowej zawiesił poziomo pręt z dwiema małymi kulkami na jego końcach. Do kulek tych zbliżał z obu stron dwie duże kule ołowiane (Rys. 1.). Siły przyciągania skręcały pręt i nić kwarcową o pewien kąt. Kąt skręcenia Cavendish mierzył za pomocą promienia odbitego od lusterka zawieszonego na nici kwarcowej. Znając wartość tego kąta, Cavendish mógł obliczyć siły przyciągania się kul. Pomiar wymagał wielkiej ostrożności, dlatego swoją wagę umieszczał w zamkniętej skrzyni w celu uniknięcia prądów powietrza, zaś odchylenie nici kwarcowej obserwował za pomocą lunety z innego pomieszczenia.

R1DruHmpj5Tc3

Rys. 1. Nić zaczepiona górnym końcem do sufitu zwisa pionowo. Na dolnym końcu nici przyczepiono pręt z dwiema małymi kulkami na jego końcach. Pręt ustawiony jest poziomo, a na każdej z kulek oznaczono jej masę małą literą m. Pośrodku nici przyczepione jest małe lusterko ustawione w płaszczyźnie pionowej. Narysowano promień świetlny w postaci poziomej linii prostej zakończonej strzałką, odbijający się od lusterka. Strzałka wskazuje na podziałkę ustawioną poziomo. Obok każdej kulki na pręcie, w małej odległości, ustawione są duże kule, których masa oznaczona jest wielka literą M. Duże kule znajdują się po obu stronach pręta – lewa kula za płaszczyzną rysunku, a prawa kula przed płaszczyzną rysunku. Narysowano wektory sił grawitacji, z jakimi duże kule przyciągają małe kulki. Każdy z wektorów to krótka pozioma strzałka prostopadła do pręta i zwrócona do środka dużej kuli. Lewy wektor zwrócony jest za płaszczyznę rysunku, a prawy wektor przed płaszczyznę rysunku.

Pod koniec XIX wieku, w roku 1881, Philipp von Jolly opracował dokładniejszą metodę, stosując do pomiaru siły grawitacji czułą wagę (Rys. 2.).

RvfLhnM0Gwmdt

Rys. 2 Rysunek przedstawia wagę szalkową. Na poziomym pręcie, ustawionym w środkowym punkcie, zawieszono w równych odległościach od środka dwie szalki. W środkowym punkcie pręta przyczepiona jest wskazówka skierowana pionowo w dół. Pod wskazówką jest skala, na której odczytuje się wskazania wagi, gdy jedna szalka opadnie, a druga się podniesie. Do szalek przyczepiono na długich linkach drugą parę szalek. Na prawej dolnej szalce leży mała kulka. Pod tą szalką, w małej odległości od niej, znajduje się wielka kula. Na lewej górnej szalce stoją dwa odważniki, jeden duży i drugi mały.

Pod jej szalkami umieścił jeszcze jedną parę szalek. Na jednej z dolnych szalek umieścił napełnioną rtęciąrtęćrtęcią szklaną bańkę, ważącą 5 kg, i zrównoważył ją, ustawiając odpowiedni odważnik na lewej szalce górnej. Bezpośrednio pod bańką z rtęcią umieścił wielką kulę ołowianą, zbudowaną z oddzielnych sztab, ważącą 5,8 t. Waga wychyliła się, gdyż kula przyciągnęła bańkę z rtęcią. Okazało się, że do zrównoważenia wagi trzeba było położyć na przeciwległej górnej szalce odważnik o masie zaledwie $0,566\,\text{mg}$. Zatem wartość siły, z jaką kula przyciągnęła bańkę, wynosiła $5,55\,\text{mN}$. Otrzymana wartość stałej grawitacyjnej wynosiła $G = 6,66\cdot 10^{-11}\,\text{Nm}^2\text{/kg}^2$.

Najdokładniejsze współczesne pomiary wskazują na następującą wartość stałej grawitacji:

Zwróć uwagę, że względna niepewność pomiarowa stałej wynosi ok. 0,015%.

Ważenie Słońca

R1Vc484aQebDN

Rys. 3 Ilustracja przedstawia Słońce. Na ciemnym tle nieba, nieco po prawej, widnieje czerwone Słońce. Pod nim, czarnym kolorem zarysowano pasmo drzew. Korony wyraźnie odcinają się od tła nieba.

Znając prawo grawitacji i stałą grawitacji, możemy wyznaczyć masę Słońca, Ziemi i innych ciał naszego układu planetarnego, nie opuszczając domu. W celu wyznaczenia masy Słońca należy najpierw zauważyć, że siła dośrodkowa utrzymująca Ziemię na orbicie wokół Słońca to siła grawitacyjna przyciągania Ziemi do Słońca:

gdzie $M_Z$ to masa Ziemi, $M_S$ – masa Słońca, $r$ – odległość Ziemi do Słońca, równa promieniowi orbity Ziemi. Zastosujemy wzór na siłę dośrodkową w ruchu po okręgu (przyjmujemy, że kształt orbity Ziemi nie odbiega znacznie od okręgu):

gdzie $T$ to okres obiegu Ziemi (czyli rok): Przyrównajmy prawe strony powyższych wzorów do siebie:

Po przekształceniu otrzymamy wzór na masę Słońca:

Wszystkie wartości wielkości znajdujących się po prawej stronie tego wzoru można wyznaczyć doświadczalnie, będąc na Ziemi (bez konieczności wędrowania w kosmos). Promień orbity Ziemi wynosi $r = 1,49\cdot 10^{11}\,\text{m}$, okres obiegu (czyli rok) to $T = 365,25\,\text{dób}$ (jedna doba słoneczna wynosi 24 h, tj. 86400 s) i stała grawitacji $G = 6,67\cdot 10^{-11}\,\text{Nm}^2\text{/kg}^2$. Po wstawieniu tych danych do wyprowadzonego wzoru otrzymujemy masę Słońca:

Porównując masę Słońca z masą Ziemi, nietrudno obliczyć, że Słońce ma masę ok. $335\,000$ razy większą od masy Ziemi.

R2v0Mxn8iapMd

Rys. 4. Zdjęcie z teleskopu pokazuje gwiazdy w centrum Dogi Mlecznej. Ciemne tło gęsto usiane jest jasnymi świetlistymi punktami. W centrum znajduje się kilkanaście skupionych świetlistych, nieco większych, kolistych obiektów w kolorach czerwonym, białym i niebieskim.

Słowniczek