Przypomnijmy sobie informacje dotyczące przedziałów nieograniczonych.

• Przedziałem nieograniczonym lewostronnie otwartym $\left(a, \infty \right)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są większe od pewnej liczby $a$.

RczrNKNY6sHfD

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonym po jej lewej stronie punktem a. Punkt a zaznaczony jest niezamalowaną kropką. Na osi zaznaczony jest przedział otwarty od a do plus nieskończoności.

• Przedziałem nieograniczonym lewostronnie domkniętym $\left.⟨a, \infty \right)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są większe od pewnej liczby $a$ lub jej równe.

RgclfVANlamPu

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonym po jej lewej stronie punktem a. Punkt a zaznaczony jest zamalowaną kropką. Na osi zaznaczony jest przedział lewostronnie domknięty od a do plus nieskończoności.

• Przedziałem nieograniczonym prawostronnie otwartym $\left(-\infty , a\right)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są mniejsze od pewnej liczby $a$.

R4WgehAaGs5e1

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonym po jej prawej stronie punktem a. Punkt a zaznaczony jest niezamalowaną kropką. Na osi zaznaczony jest przedział otwarty od minus nieskończoności do a.

• Przedziałem nieograniczonym prawostronnie domkniętym $\left(-\infty , a\right.⟩$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są mniejsze od pewnej liczby $a$ lub jej równe.

R1EnIzuZqiKVn

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonym po jej prawej stronie punktem a. Punkt a zaznaczony jest zamalowaną kropką. Na osi zaznaczony jest przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do a.

Przypomnijmy sobie najważniejsze informacje o nierównościach pierwszego stopnia (liniowych) z jedną niewiadomą.

• Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą, to nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze.
  Przykłady takich nierówności, to:
  $2x>4$
  $-3x+1\ge 2$
  $\frac{1}{2}x-4<0$
  $-\mathrm{0,4}+\mathrm{0,3}x=-\mathrm{0,5}$

• Zbiorem rozwiązań nierównościrozwiązanie nierównościrozwiązań nierówności jest zbiór wszystkich liczb, które spełniają daną nierówność. Zbiór ten zaznaczamy na osi liczbowej i zapisujemy w postaci odpowiedniego przedziału.

• Nierówności równoważne, to takie, które posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

• Aby rozwiązać nierówność, możemy przekształcać ją równoważnie.

• Pamiętaj, że podczas mnożenia i dzielenia obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

Wiesz już, że wartość bezwzględną liczbywartość bezwzględna liczby awartość bezwzględną liczby rzeczywistej $a$, możemy zinterpretować jako odległość tej liczby od liczby $0$ na osi liczbowej.

Zapoznaj się z przykładami.

Przykład 1

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $\left|x\right|>2$.

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, których odległość od liczby $0$ wynosi więcej niż $2$.

Zaznaczamy zatem na osi dwa przedziały nieograniczone: prawostronnie otwarty $\left(-\infty , -2\right)$ oraz lewostronnie otwarty $\left(2, \infty \right)$.

Rn4rOXR1LpXlK

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu z zaznaczonym punktami minus dwa i dwa. Punkty te zaznaczone są niezamalowanymi kropkami. Na osi zaznaczone są dwa przedziały otwarte: pierwszy od minus nieskończoności do minus dwóch oraz drugi od dwóch do plus nieskończoności.

Ponieważ nierówność jest ostra, to kółeczka znajdujące się na liczbach $2$ oraz $-2$ są niezamalowane.

Zbiór ten możemy zapisać za pomocą sumy przedziałów $\left(-\infty , 2\right)\cup \left(2, \infty \right)$.

Przykład 2

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $\left|x\right|\ge 2$.

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, których odległość od liczby $0$ jest równa $2$ oraz te, których ta odległość wynosi więcej niż $2$.

Zaznaczamy zatem na osi dwa przedziały nieograniczone: prawostronnie domknięty $\left(-\infty , -2\right.⟩$ oraz lewostronnie domknięty $\left.⟨2, \infty \right)$.

R176H6VELRLBc

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu z zaznaczonym punktami minus dwa i dwa. Punkty te zaznaczone są zamalowanymi kropkami. Na osi zaznaczone są dwa przedziały: pierwszy prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do minus dwóch oraz drugi lewostronnie domknięty od dwóch do plus nieskończoności.

Ponieważ nierówność jest słaba (nieostra), to kółeczka znajdujące się na liczbach $2$ oraz $-2$ są zamalowane.

Zbiór ten możemy zapisać za pomocą sumy przedziałów $\left(-\infty , -2\right.⟩\cup \left.⟨2, \infty \right)$.

Przykład 3

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $\left|x\right|\ge -2$.

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, których odległość od liczby $0$ wynosi więcej niż $-2$, czyli wszystkie liczby rzeczywiste.

Odległość jest zawsze nieujemna, a zatem każda liczba znajduje się na osi w odległości większej niż $-2$.

RirWe55x7RA95

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu. Na osi zaznaczony jest przedział zawierający całą oś, czyli wszystkie liczby rzeczywiste, co można zapisać jako przedział nieograniczony od minus nieskończoności do plus nieskończoności.

Możemy zatem zapisać, że $x\in \mathbf{ℝ}$.

Analogicznie wygląda zbiór liczb spełniających warunek $\left|x\right|\ge 0$.

Przykład 4

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $\left|x\right|>0$.

W tym przypadku jedyną liczbą, która nie spełnia warunku jest liczba $0$.

R8bhfIa2aUVot

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu. Na osi zaznaczony jest przedział zawierający niemal całą oś, czyli wszystkie liczby rzeczywiste, poza zerem, które oznaczone jest niezamalowanym punktem.

Zapisujemy: $x\in \mathbf{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Słownik