Przeczytaj
Przypomnijmy definicje i twierdzenia, z których będziemy korzystać podczas rozwiazywania układów równań postaci .
Układem równań nazywamy koniunkcję co najmniej dwóch równań.
Aby rozwiązać układ równań należy znaleźć wszystkie układy liczb spełniające jednocześnie wszystkie równania składowe danego układu równań.
Rozwiązaniem układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy parę liczb spełniających jednocześnie każde równanie danego układu równań.
Równaniem kwadratowym z jedną niewiadomą , nazywamy równanie postaci
gdzie:
, i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz .
Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyrażenie postaci
W zależności od wartości wyróżnika trójmianu kwadratowego, równanie kwadratowe może mieć dwa lub jeden pierwiastek. Może też nie posiadać rozwiązania.
Równanie kwadratowe postaci , :
nie posiada rozwiązania, jeśli ;
posiada jedno rozwiązanie , jeśli ;
posiada dwa rozwiązania oraz , jeśli .
Rozwiążemy teraz kilka układów równań postaci .
Rozwiążemy układ równań .
Podstawiamy wyrażenie wyznaczone w równaniu liniowym, do równania kwadratowego w miejsce niewiadomej .
Porządkujemy otrzymane równanie kwadratowerównanie kwadratowe.
Następnie rozwiązujemy je - korzystamy ze wzoru na wyróżnik trójmianu kwadratowego równania oraz wzorów na pierwiastki tego równania.
lub
lub
Podstawiamy otrzymane wartości niewiadomej do równania liniowego i obliczmy niewiadomą .
lub
lub
A zatem rozwiązaniem tego układu równań są dwie pary liczb oraz .
Rozwiążemy układ równań .
Doprowadzamy równania występujące w układzie do najprostszej postaci i wyznaczamy w równaniach niewiadomą .
Wyznaczoną w równaniu liniowym wartość , podstawiamy do równania kwadratowego.
W pierwszym równaniu otrzymaliśmy równanie kwadratowe – porządkujemy je.
Uzyskane po lewej stronie równania wyrażenie możemy, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, zapisać w postaci
A zatem
Podstawiamy otrzymaną wartość niewiadomej do równania liniowego i obliczmy niewiadomą .
Rozwiązaniem tego układu równań jest jedna para liczb .
Rozwiążemy układ równańukład równań .
Doprowadzamy pierwsze równanie występujące w układzie do najprostszej postaci.
Wyznaczoną w równaniu liniowym wartość , podstawiamy do równania kwadratowego, które następnie porządkujemy.
Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego otrzymanego równania kwadratowego.
, a więc równanie kwadratowe nie posiada rozwiązania.
Zatem układ równań jest sprzeczny.
Widzimy zatem, że liczba rozwiązań układu równań jest taka sama, jak liczba rozwiązań równania kwadratowego .
Określimy, dla jakiego parametru , układ równań nie posiada rozwiązań.
W równaniu liniowym wyznaczamy zmienną , a następnie podstawiamypodstawiamy ją do drugiego równania.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe z niewiadomą i parametrem .
Porządkujemy je i obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.
Równanie kwadratowe nie posiada rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy .
Szukamy więc takich wartości parametru , dla których ten warunek jest spełniony.
Rozwiążemy nierówność kwadratową.
A zatem dla układ równań nie posiada rozwiązań.
Określimy liczbę rozwiązań układu równań z niewiadomą , w zależności od wartości parametru .
Z równania liniowego wyznaczamy zmienną i podstawiamy otrzymane wyrażenie do pierwszego równania.
Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą i parametrem . Porządkujemy je i obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.
Liczba rozwiązań układu równań jest taka sama, jak liczba pierwiastków równania
.
Zgodnie z przypomnianym na początku materiału twierdzeniem, liczba pierwiastków równania kwadratowego jest zależna od wartości wyróżnika kwadratowego (delty).
Wyznaczamy pierwiastki tego równania (sprawdź).
Mamy więc:
jeden pierwiastek ;
dwa pierwiastki ;
brak pierwiastków .
A zatem:
dla rozwiązaniem układu równań są dwie pary liczb;
dla rozwiązaniem układu równań jest jedna para liczb;
dla układ równań nie posiada rozwiązań.
Słownik
koniunkcja co najmniej dwóch równań
równanie z niewiadomą postaci
gdzie:
, i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz
metoda polegająca na wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z dowolnego równania i podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego z równań w miejsce wyznaczonej niewiadomej