Przeanalizuj schemat interaktywny przedstawiający metodę rozwiązywania układów równań typu y=ax2+bxy=cx+d. Następnie rozwiąż samodzielnie układy równań podane w Poleceniu 2.
Uwaga – w przypadku rozwiązań, nie będących liczbami całkowitymi, program wyznacza pierwiastki z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
Przeanalizuj poniższe przykłady przedstawiające metodę rozwiązywania układów równań typu y=ax2+bxy=cx+d. Następnie rozwiąż samodzielnie układy równań podane w Poleceniu 2.
Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1A8TnYfA
Przykład 1
Niech a=3, b=2, c=-3 oraz d=2.
Rozwiążemy układ równań postaci y=3x2+2xy=-3x+2.
Podsatwiamy wyznaczoną z równania liniowego niewiadomą y do równania kwadratowgo. Otrzymujemy układ równań
-3x+2=3x2+2xy=-3x+2.
Rozwiązujemy równanie kwadratowe postaci ax2+bx=cx+d :
3x2+2x=-3x+2,
3x2+5x-2=0.
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
△=25-4·3·(-2)=25+24=49.
Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest większy od zera, zatem równanie ax2+bx=cx+d posiada dwa pierwiastki
x1=-5-492·3=-5-76=-126=-2 lub
x2=-5+492·3=-5+76=26=13.
Podstawiamy otrzymane wartości niewiadomej x do równania liniowego y=cx+d i obliczamy niewiadomą y. Odpowiednio dla x1 oraz x2 mamy
y1=-3·(-2)+2=6+2=8 lub
y2=-3·13+2=-1+2=1.
Rozwiązaniem układu równań y=3x2+2xy=-3x+2 są pary liczbx=-2y=8 lub x=13y=1.
Przykład 2
Niech a=1, b=6, c=2 oraz d=-4 .
Rozwiążemy układ równań postaci y=x2+6xy=2x-4.
2x-4=x2+6xy=2x-4.
x2+6x=2x-4
x2+4x+4=0.
△=16-4·1·4=16-16=0.
Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest równy zero, więc równanie ax2+bx=cx+d posiada jeden pierwiastek
x = − 4 2 ⋅ 1 = − 2.
Podstawiamy otrzymaną wartość niewiadomej x do równania liniowego y=cx+d i obliczamy niewiadomą y. Wiemy, że y=2x-4, czyli
y=2·(-2)-4=-8.
Rozwiązaniem układu równań y=x2+6xy=2x-4 jest para liczb x=-2y=-8.
Przykład 3
Niech a=2, b=3, c=4 oraz d=-6 .
Rozwiążemy układ równań postaci y=2x2+3xy=4x-6.
4x-6=2x2+3xy=4x-6.
2x2+3x=4x-6,
2x2-x+6=0.
△=(-1)2-4·2·6=1-48=-47.
Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest mniejszy od zera, zatem równanie ax2+bx=cx+d nie posiada pierwiastków.
Układ równań y=2x2+3xy=4x-6. jest sprzeczny.
Korzystając ze schematu z Polecenia 1, rozwiąż układy równań:
a) y=-2x2+xy=-2x+7
b) y=8x2+10xy=2x-2
c) y=6x-3y=-3x2-2x
a) -2x2+3x-7=0
∆=-47<0
b) 8x2+8x+2=0
∆=0
x0=-12
c) − 3 x 2 − 8 x + 3 = 0
∆>0
a) Układ sprzeczny
b) x=-12y=-3
c) x=-3y=-21 lub x=13y=-1
Zbuduj algorytm przedstawiający metodę rozwiązywania układów równań typu y=ax2+bxy=cx+d.
Przygotuj w języku PHP algorytm przedstawiający metodę rozwiązywania układów równań typu y=ax2+bxy=cx+d.
import math zn = None a = None wynik = None delta = None x0 = None x1 = None x2 = None y0 = None y1 = None y2 = None b = None c = None d = None """Metoda rozwiązywania układów równań typu y=ax^2+bx i y=cx+d. """ def Rozwi_C4_85zywanie_uk_C5_82ad_C3_B3w_r_C3_B3wna_C5_84_typu_y_ax_5E2_bx_i_C2_A0y_cx_d(): global zn, a, wynik, delta, x0, x1, x2, y0, y1, y2, b, c, d a = 3 b = 2 c = -3 d = 2 print(''.join([str(x) for x in ['Układ równań: y=', a, 'x^2', znak(b), 'x i y=', c, 'x', znak(d), '. Podstawiamy wyznaczoną z równania liniowego niewiadomą y do równania kwadratowego i rozwiązujemy równanie kwadratowe postaci ax^2+bx=cx+d.']])) if a == 0: print('To nie jest równanie kwadratowe.') else: print('Δdelta=' + str(delta2())) if delta2() < 0: print('Równanie kwadratowe nie posiada pierwiastków. Układ równań jest sprzeczny.') else: if delta2() == 0: print(''.join([str(x3) for x3 in ['Równanie ax^2+bx=cx+d posiada jeden pierwiastek x=', x_0(), '. Podstawiamy otrzymaną wartość niewiadomej x do równania liniowego y=cx+d i obliczamy niewiadomą y=', y_0(), '.']])) print(''.join([str(x4) for x4 in ['Rozwiązaniem układu równań y=', a, 'x^2', znak(b), 'x i y=', c, 'x', znak(d), ' jest para liczb x=', x0, ' i y=', y0, '.']])) else: print(''.join([str(x5) for x5 in ['Równanie ax^2+bx=cx+d posiada dwa pierwiastki x=', x_1(), ' lub x=', x_2(), '. Podstawiamy otrzymane wartości niewiadomej x do równania liniowego y=cx+d i obliczamy niewiadomą y=', y_1(), ' lub y=', y_2(), '.']])) print(''.join([str(x6) for x6 in ['Rozwiązaniem układu równań y=', a, 'x^2', znak(b), 'x i y=', c, 'x', znak(d), ' są pary liczb x=', x1, ' i y=', y1, ' lub x=', x2, ' i y=', y2, '.']])) """Opisz tę funkcję... """ def znak(zn): global a, wynik, delta, x0, x1, x2, y0, y1, y2, b, c, d if zn < 0: wynik = '-' + str(-1 * zn) else: wynik = '+' + str(zn) return wynik """Opisz tę funkcję... """ def delta2(): global zn, a, wynik, delta, x0, x1, x2, y0, y1, y2, b, c, d delta = (b - c) * (b - c) + 4 * (a * d) return delta """Opisz tę funkcję... """ def x_0(): global zn, a, wynik, delta, x0, x1, x2, y0, y1, y2, b, c, d x0 = (c - b) / (2 * a) return x0 """Opisz tę funkcję... """ def x_1(): global zn, a, wynik, delta, x0, x1, x2, y0, y1, y2, b, c, d x1 = ((c - b) - math.sqrt(delta2())) / (2 * a) return x1 """Opisz tę funkcję... """ def x_2(): global zn, a, wynik, delta, x0, x1, x2, y0, y1, y2, b, c, d x2 = ((c - b) + math.sqrt(delta2())) / (2 * a) return x2 """Opisz tę funkcję... """ def y_0(): global zn, a, wynik, delta, x0, x1, x2, y0, y1, y2, b, c, d y0 = c * x0 + d return y0 """Opisz tę funkcję... """ def y_1(): global zn, a, wynik, delta, x0, x1, x2, y0, y1, y2, b, c, d y1 = c * x1 + d return y1 """Opisz tę funkcję... """ def y_2(): global zn, a, wynik, delta, x0, x1, x2, y0, y1, y2, b, c, d y2 = c * x2 + d return y2 Rozwi_C4_85zywanie_uk_C5_82ad_C3_B3w_r_C3_B3wna_C5_84_typu_y_ax_5E2_bx_i_C2_A0y_cx_d()