Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Między dwoma punktami istnieje nieskończenie wiele dróg o różnych kształtach i długościach. Intuicyjnie można powiedzieć, że odległość między punktamiodległość między punktami A i Bodległość między punktami to długość najkrótszej z dróg między tymi punktami. Odległość między punktami A i B oznaczać będziemy d(A,B). Mała litera d pochodzi od angielskiego słowa distance (dystans, odległość). Możemy rozważać różne metryki i sposoby mierzenia odległości, stąd dla rozróżnienia (w przypadku wątpliwości) oznaczać będziemy d z indeksem. W przypadku metrykimetrykametryki na płaszczyźnie euklidesowej de. Na rysunku poniżej na czerwono zaznaczono najkrótszą drogę między punktami A i B na płaszczyźnie euklidesowej.

RyLt037jX6chu

Są jednak inne sposoby mierzenia odległości. Łatwo sobie wyobrazić przykłady z życia codziennego: jeżdżąc samochodem po mieście, napotykamy różne przeszkody i poruszać możemy się tylko po wyznaczonych do tego celu drogach. Z tego powodu droga przejechana od punktu A do punktu B jest zwykle dłuższa niż odległość w linii prostej. Na poniższej mapce Centrum Wrocławia na fioletowo zaznaczono najkrótszą “drogę”, której z powodu budynków i innych przeszkód nie da się zrealizować w rzeczywistości. Jedną z możliwych do przejścia dróg jest ta zaznaczona na niebiesko.

R10K2SubuDxz9

Ważnym pojęciem jest też odległość punktu od prostej. Odległość punktu A od prostej m możemy zdefiniować jako najmniejszą z odległości między punktem A a punktami prostej m. Innymi słowy jest do długość najkrótszego odcinka łączącego punkt A z punktami prostej m. Będziemy oznaczać tę liczbę jako d(A,m).

R1U8yxWPPPsQb

Omówimy teraz kilka sposobów mierzenia odległości w innych “światach”.

Miasto

W mieście odległości mierzymy wzdłuż ściśle określonych dróg, które tworzą sieć równoległych i prostopadłych prostych. Jeśli punkty A=(xA,yA)B=(xB,yB) umieścimy w prostokątnym układzie współrzędnych, to odległość między nimi możemy opisać wyrażeniem dm(A,B)=xB-xA+yB-yA . W tym „świecie” na poniższym rysunku długości wszystkich czarnych dróg są równe odległości punktu A od punktu B, zaś długość czerwonej drogi jest większa niż odległość punktu A od punktu B. Niezależnie od “świata”, w którym będziemy dokonywać pomiarów, odległość jest zawsze długością najkrótszej drogi między obiektami. Aby obliczyć odległość punktu A od punktu B, wystarczy policzyć, ile jest odcinków jednostkowych na dowolnej z czarnych dróg od A do B lub skorzystać z powyższego wzoru. Dla A=(3,7)B=(8,2) mamy:

dm(A,B)=|8-3|+|2-7|=5+5=10.
RRE7J6WTdMw2G

Centrum (węzeł kolejowy)

W tym “świecie” wyróżniamy jeden punkt O, który stanowi jego “centrum”. Jeśli punkty A i B leżą na prostej przechodzącej przez O, to odległość dc(A,B) między nimi mierzymy dokładnie tak samo jak na płaszczyźnie euklidesowej, czyli dc(A,B)=de(A,B).

RVFOyxzAzRtQd

Natomiast jeżeli proste AOBO nie pokrywają się, to aby ustalić odległość między punktami A i B, najpierw mierzymy euklidesową odległość od A do O, następnie dodajemy euklidesową odległość od O do B, czyli

dc(A,B)=de(A,O)+de(O,B).
R1Gj91ExodXPX

Rzeka

W tym świecie kluczową rolę odgrywa prosta umownie nazywana rzeką. Jeśli punkty A i B leżą na prostej prostopadłej do rzeki, to odległość drz(A,B) między nimi jest równa odległości euklidesowej, czyli drz(A,B)=de(A,B).

R18yo99Qtfb2N

Jeśli punkty A i B nie leżą na jednej prostej prostopadłej do rzeki rz, to odległość między nimi obliczamy dodając trzy odległości euklidesowe: odległość punktu A od rzeki, odległość punktu B od rzeki i odległość między rzutami prostokątnymi punktów A i B na rzekę:

drz(A,B)=de(A,rz)+deA',B'+de(B,rz).
RGIHzhKYqPvGd

Zauważmy, że każdy z wyżej opisanych sposobów mierzenia to pewien rodzaj funkcji: parom punktów przyporządkowujemy liczbę oznaczającą odleglość między nimi.

Poza wymienionymi jest jeszcze wiele innych funkcji, które mogą posłużyć do mierzenia odległości między obiektami. Poniżej podamy cechy, jakie musi posiadać funkcja, którą można wykorzystać jako miarę odległości, czyli tzw. metrykęmetrykametrykę.

metryka
Definicja: metryka

Metryką nazywamy taką funkcję d:R20,), która spełnia następujące warunki:

  • d(X,X)=0, dla dowolnego punktu X;

  • symetria: d(X,Y)=d(Y,X), dla dowolnych punktów X, Y;

  • nierówność trójkąta: d(X,Y)+d(Y,Z)d(X,Z), dla dowolnych punktów X, Y, Z.

Słownik

odległość między punktami A i B
odległość między punktami A i B

długość najkrótszej krzywej łączącej punkt A z punktem B

metryka
metryka

funkcja, której wartością jest odległość. Metryka d:R20,) spełnia następujące warunki:

  1. d(A;A)=0 dla dowolnego punktu A płaszczyzny;

  2. d(A,B)=d(B,A) dla dowolnych punktów A i B płaszczyzny,

  3. d(A,B)+d(B,C)d(A,C) dla dowolnych punktów A, B, C płaszczyzny