Przeczytaj

Między dwoma punktami istnieje nieskończenie wiele dróg o różnych kształtach i długościach. Intuicyjnie można powiedzieć, że odległość między punktamiodległość między punktami $A$ i $B$ odległość między punktami to długość najkrótszej z dróg między tymi punktami. Odległość między punktami $A$ i $B$ oznaczać będziemy $d (A, B)$ . Mała litera $d$ pochodzi od angielskiego słowa distance (dystans, odległość). Możemy rozważać różne metryki i sposoby mierzenia odległości, stąd dla rozróżnienia (w przypadku wątpliwości) oznaczać będziemy $d$ z indeksem. W przypadku metrykimetrykametryki na płaszczyźnie euklidesowej $d_{e}$ . Na rysunku poniżej na pomarańczowo zaznaczono najkrótszą drogę między punktami $A$ i $B$ na płaszczyźnie euklidesowej.

RyLt037jX6chu

Na ilustracji przedstawione są punkty A i B oraz fragmenty trzech niebieskich krzywych, z których każda prowadzi od punktu A do punktu B. Pierwsza z nich jest o nieco sinusoidalnym kształcie, druga przypomina kształtem połowę spłaszczonej elipsy, a trzecia to bardzo wypłaszczona sinusoidalna krzywa. Z punktu A poprowadzony jest również pomarańczowy odcinek opisany jako deA,B.

Są jednak inne sposoby mierzenia odległości. Łatwo sobie wyobrazić przykłady z życia codziennego: jeżdżąc samochodem po mieście, napotykamy różne przeszkody i poruszać możemy się tylko po wyznaczonych do tego celu drogach. Z tego powodu droga przejechana od punktu $A$ do punktu $B$ jest zwykle dłuższa niż ich odległość w linii prostej. Na poniższej mapce Centrum Wrocławia na fioletowo zaznaczono najkrótszą “drogę”, której z powodu budynków i innych przeszkód nie da się zrealizować w rzeczywistości. Jedną z możliwych do przejścia dróg jest ta zaznaczona na niebiesko.

R10K2SubuDxz9

Na ilustracji przedstawiona jest mapa miasta oraz naniesione na nią punkty A i B. Punkty połączone są fioletowym odcinkiem przecinającym ulice i zabudowania. Punkty te połączone są również niebieską łamaną otwartą pokrywającą się z ulicami. Kształt łamanej przypomina część obwodu prostokąta.

Ważnym pojęciem jest też odległość punktu od prostej. Odległość punktu $A$ od prostej $m$ możemy zdefiniować jako najmniejszą z odległości między punktem $A$ a punktami prostej $m$ . Innymi słowy jest do długość najkrótszego odcinka łączącego punkt $A$ z punktami prostej $m$ . Będziemy oznaczać tę liczbę jako $d (A, m)$ .

R1U8yxWPPPsQb

Na ilustracji przedstawiona jest ukośna prosta m biegnąca od dolnego lewego do prawego górnego rogu. Na prostej zaznaczone są trzy punkty: X1, mniej więcej po środku X, i dalej X2. W górnej lewej części rysunku zaznaczony jest punkt A, z którego poprowadzone są trzy odcinki: AX1, AX oraz AX2. Odcinek AX jest prostopadły do prostej m. Odcinek AX opisany jest jako dA,m.

Omówimy teraz kilka sposobów mierzenia odległości w innych “światach”.

Miasto

W mieście odległości mierzymy wzdłuż ściśle określonych dróg, które tworzą sieć równoległych i prostopadłych prostych. Jeśli punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ umieścimy w prostokątnym układzie współrzędnych, to odległość między nimi możemy opisać wyrażeniem $d_{m} (A, B) = |x_{B} - x_{A}| + |y_{B} - y_{A}|$ . W tym „świecie” na poniższym rysunku długości wszystkich czarnych dróg są równe odległości punktu $A$ od punktu $B$ , zaś długość czerwonej drogi jest większa niż odległość punktu $A$ od punktu $B$ . Niezależnie od “świata”, w którym będziemy dokonywać pomiarów, odległość jest zawsze długością najkrótszej drogi między obiektami. Aby obliczyć odległość punktu $A$ od punktu $B$ , wystarczy policzyć, ile jest odcinków jednostkowych na dowolnej z czarnych dróg od $A$ do $B$ lub skorzystać z powyższego wzoru. Dla $A = (3, 7)$ i $B = (8, 2)$ mamy:

d_{m} (A, B) = |8 - 3| + |2 - 7| = 5 + 5 = 10

RRE7J6WTdMw2G

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do dziewięciu oraz z pionową osią y od minus jeden do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowany jest kwadrat o wierzchołkach w punktach: dwa jeden, osiem jeden, osiem siedem oraz dwa siedem. Zaznaczone są także dwa punkty. A ma współrzędne trzy siedem, B natomiast osiem dwa. Na płaszczyźnie pokazane są różne drogi możliwe drogi prowadzące od jednego punktu do drugiego w metryce „miasto”. Jedna z niech wiedzie po lewej części obwodu kwadratu, druga po prawej. Trzecia i czwarta to drogi wewnątrz figury. Trzecia droga to łamana idąca pionowo w dół cztery kratki z punktu A, dwie kratki w prawo jedną w dół i trzy w prawo. Czwarta biegnie nieco inaczej. Z punktu A jedna kratka w dół, trzy w prawo, trzy w dół, jedna w prawo, jedna w dół, jedna w prawo.

Centrum (węzeł kolejowy)

W tym “świecie” wyróżniamy jeden punkt $O$ , który stanowi jego “centrum”. Jeśli punkty $A$ i $B$ leżą na prostej przechodzącej przez $O$ , to odległość $d_{c} (A, B)$ między nimi mierzymy dokładnie tak samo jak na płaszczyźnie euklidesowej, czyli $d_{c} (A, B) = d_{e} (A, B)$ .

RVFOyxzAzRtQd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do dziewięciu oraz z pionową osią y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowana jest ukośna prosta przechodząca przez punkt zero zero, tworząca z osią X kąt około czterdziestu stopni. Na płaszczyźnie zaznaczone są także trzy punkty O o współrzędnych zero zero, B o współrzędnych około trzy drugie sześć piątych oraz punkt A o współrzędnych około cztery i pół trzy i pół. Z punktu B do punktu A poprowadzony jest linią ciągłą odcinek BA opisany jako dcA,B=deA,B.

Natomiast jeżeli proste $A O$ i $B O$ nie pokrywają się, to aby ustalić odległość między punktami $A$ i $B$ , najpierw mierzymy euklidesową odległość od $A$ do $O$ , następnie dodajemy euklidesową odległość od $O$ do $B$ , czyli

d_{c} (A, B) = d_{e} (A, O) + d_{e} (O, B)

R1Gj91ExodXPX

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowane są dwie ukośne proste przechodzące przez punkt zero zero. Pierwsza tworzy z osią X kąt około czterdziestu stopni, druga tworzy z osią X kąt około stu dwudziestu stopni. Na płaszczyźnie zaznaczone są także trzy punkty O o współrzędnych zero zero, B o współrzędnych minus trzy pięć należący do drugiej prostej oraz punkt A o współrzędnych około cztery i pół trzy i pół należący do pierwszej prostej. Na płaszczyźnie linią ciągłą zaznaczone są także odcinki. Odcinek OB opisany jest jako deO,B. Odcinek AO opisany jest jako deA,O.

Rzeka

W tym „świecie” kluczową rolę odgrywa prosta umownie nazywana rzeką. Jeśli punkty $A$ i $B$ leżą na prostej prostopadłej do rzeki, to odległość $d_{r z} (A, B)$ między nimi jest równa odległości euklidesowej, czyli $d_{r z} (A, B) = d_{e} (A, B)$ .

R18yo99Qtfb2N

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczona jest prosta er zet o równaniu y równa się zero oraz dwa pionowe odcinki. Odcinek AB ma końce w punkcie A o współrzędnych dwa sześć oraz w punkcie B o współrzędnych dwa dwa i opisany jest jako drzA,B=deA,B. Odcinek CD ma końce w punkcie C o współrzędnych siedem trzy oraz w punkcie D o współrzędnych siedem minus trzy i opisany jest jako drzC,D=deC,D.

Jeśli punkty $A$ i $B$ nie leżą na jednej prostej prostopadłej do rzeki $r z$ , to odległość między nimi obliczamy, dodając trzy odległości euklidesowe: odległość punktu $A$ od rzeki, odległość punktu $B$ od rzeki i odległość między rzutami prostokątnymi punktów $A$ i $B$ na rzekę.

d_{r z} (A, B) = d_{e} (A, r z) + d_{e} (A', B') + d_{e} (B, r z)

RGIHzhKYqPvGd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczona jest prosta er zet o równaniu y równa się zero oraz dwa pionowe odcinki i jeden poziomy. Pionowy odcinek AA prim ma końce w punkcie A o współrzędnych dwa cztery oraz w punkcie A prim o współrzędnych dwa zero i opisany jest jako deA,rz. Poziomy odcinek A prim B prim ma końce w punkcie A prim o współrzędnych dwa zero oraz B prim o współrzędnych minus pięć zero i opisany jest jako deA',B'. Pionowy odcinek B prim B ma końce w punkcie B prim o współrzędnych minus pięć zero oraz w punkcie B o współrzędnych minus pięć minus dwa i opisany jest jako deB,rz.

Zauważmy, że każdy z wyżej opisanych sposobów mierzenia to pewien rodzaj funkcji: parom punktów przyporządkowujemy liczbę oznaczającą odległość między nimi.

Poza wymienionymi jest jeszcze wiele innych funkcji, które mogą posłużyć do mierzenia odległości między obiektami. Poniżej podamy cechy, jakie musi posiadać funkcja, którą można wykorzystać jako miarę odległości, czyli tzw. metrykęmetrykametrykę.

metryka

Definicja: metryka

Metryką nazywamy taką funkcję $d : ℝ^{2} \to ⟨0, \infty)$ , która spełnia następujące warunki:

$d (X, X) = 0$ , dla dowolnego punktu $X$ ;
symetria: $d (X, Y) = d (Y, X)$ , dla dowolnych punktów $X$ , $Y$ ;
nierówność trójkąta: $d (X, Y) + d (Y, Z) ⩾ d (X, Z)$ , dla dowolnych punktów $X$ , $Y$ , $Z$ .

Słownik

odległość między punktami

A

B

odległość między punktami

A

B

długość najkrótszej krzywej łączącej punkt $A$ z punktem $B$

metryka

funkcja, której wartością jest odległość. Metryka $d : ℝ^{2} \to ⟨0, \infty)$ spełnia następujące warunki:

$d (A, A) = 0$ dla dowolnego punktu $A$ płaszczyzny;
$d (A, B) = d (B, A)$ dla dowolnych punktów $A$ i $B$ płaszczyzny,
$d (A, B) + d (B, C) ⩾ d (A, C)$ dla dowolnych punktów $A$ , $B$ , $C$ płaszczyzny

Wprowadzenie

Infografika

Miasto

Centrum (węzeł kolejowy)

Rzeka

Słownik