Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Pojęcie funkcjifunkcjafunkcji jest obecnie  jednym z najważniejszych pojęć matematyki. Za pomocą funkcji można opisywać wiele  zjawisk z otaczającego nas świata. Również fizycy, chemicy, biolodzy często posługują się funkcjami, chcąc zobrazować  zaobserwowane prawidłowości.

Aby zrozumieć istotę funkcji, przeanalizujmy najpierw kilka przykładów.

Przykład 1

Rozważmy dwa zbiory.

  1. Zbiór pierwszy, którego elementami są wszystkie państwa świata. Oznaczmy go literą A.

  2. Zbiór drugi, do którego należą wszystkie miasta świata. Oznaczymy go literą B.

Możemy utworzyć  kilka przyporządkowań elementom jednego zbioru, elementów drugiego zbioru.

  • Pierwsze przyporządkowanie: każdemu państwu świata przyporządkujemy miasta, które znajdują się na jego terytorium.
    Każdemu elementowi zbioru A przyporządkowaliśmy kilkanaście elementów zbioru B.

  • Drugie przyporządkowanie: każdemu państwu świata przyporządkujemy miasto, które jest jego stolicą.
    Każdemu elementowi zbioru A przyporządkowaliśmy dokładnie jeden element zbioru B.

Przykład 2

Dane są dwa zbiory.

Zbiór wszystkich samochodów zarejestrowanych w Polsce. Oznaczmy ten zbiór literą A. Zbiór kodów liczbowo‑literowych. Kody liczbowo‑literowe zbudowane są z różnej liczby liter i liczb, np. ABC124567, 365789 NG, hh12456, GH21ELA itd. Oznaczmy ten zbiór przez B.

Utwórzmy  różne przyporządkowania elementów jednego zbioru elementom zbioru drugiego.

  • Pierwsze przyporządkowanie:  każdemu samochodowi zarejestrowanemu w Polsce przyporządkowano kod liczbowo‑literowy, który jest jego numerem rejestracyjnym. Każdemu elementowi zbioru A przyporządkowaliśmy dokładnie jeden element zbioru B.

  • Drugie przyporządkowanie: każdemu kodowi liczbowo‑literowemu przyporządkowujemy samochód zarejestrowany w Polsce. Niektórym elementom zbioru B przyporządkowaliśmy dokładnie jeden element zbioru A.

Przykład 3

Dane są dwa zbiory.

Zbiór pierwszy, którego elementami są wszystkie miasta w Polsce. Oznaczmy go literą A. Zbiór drugi, którego elementami są wszystkie numery kodów pocztowych. Oznaczymy go literą B.

Utwórzmy różne przyporządkowania elementów jednego zbioru elementom zbioru drugiego.

  • Przyporządkowanie pierwsze: każdemu miastu w Polsce przyporządkowujemy numer kodu pocztowego. Każdemu elementowi zbioru A przyporządkowaliśmy elementy zbioru B.

  • Przyporządkowanie drugie: każdemu numerowi kodowemu przyporządkowujemy miasto w Polsce. Każdemu elementowi zbioru B przyporządkowaliśmy dokładnie jeden element zbioru A.

Czy każde, z podanych w przykładach przyporządkowań to funkcja? W odpowiedzi na to pytanie pomoże nam w tym poniższa definicja.

definicja funkcji
Definicja: definicja funkcji

Dane są dwa niepuste zbiory: X i Y. Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y. Symbolicznie oznaczamy f:XY i czytamy „funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y”.

  • Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy x argumentami funkcji.

  • Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji.

Każdy element y zbioru Y, który został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi x nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x, co zapisujemy symbolicznie y=f(x). Zbiór tych elementów y nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Analizując definicję funkcjifunkcjafunkcji możemy zauważyć że:

  • każdemu elementowi dziedziny odpowiada dokładnie jedna wartość należąca do przeciwdziedziny,

  • zbiór wartości może być zbiorem jednoelementowym,

  • zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji jest podzbiorem przeciwdziedziny funkcji.

Przykład 4

Utwórzmy dwa zbiory: zbiór X, którego elementami są imiona uczniów, zbiór Y, którego elementami są przedmioty egzaminacyjne.

X = {Ania, Zosia, Jacek, Michał}.

Y = {chemia, biologia, historia, geografia, fizyka, informatyka}.

Przyporządkowanie, które imionom uczniów przypisuje przedmioty egzaminacyjne, zdawane na maturze nie jest funkcją. Na przykład elementowi Ania przyporządkowane są dwa elementy ze zbioru Y: chemia, fizyka.

Przykład 5

Utwórzmy zbiory X i Y. X – zbiór wszystkich trójkątów. Y – zbiór odcinków, które mogą być wysokościami w trójkącie. Przyporządkowanie, które trójkątowi przyporządkowuje jego wysokości nie jest funkcją – jednemu trójkątowi możemy przyporządkować nawet trzy różne odcinki (wysokości).

Przykład 6

Przykładem funkcji jest na przykład przyporządkowanie, które każdej osobie przypisuje jej numer PESEL.

Słowniczek

funkcja
funkcja

dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y

zbiór wartości funkcji
zbiór wartości funkcji

zbiór tych elementów przeciwdziedziny funkcji, które zostały przyporządkowane co najmniej jednemu elementowi z dziedziny funkcji