Przeczytaj

Przypomnijmy najpierw, że tangens kątatangens kąta skierowanegotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej przyległej do kąta, czyli przy oznaczeniach jak na rysunku $tg α = \frac{a}{b}$ .

RnBLMeai4xTIc

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny abc, gdzie a oraz b to przyprostokątne, natomiast bok c to przeciwprostokątna. Każdy z boków trójkąta ma inny kolor: bok a ma kolor niebieski, bok b kolor zielony, bok c żółty. Pomiędzy bokami b i c zaznaczono kąt alfa.

Jeżeli umieścimy skierowany kąt ostry w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym (czyli wierzchołkiem w punkcie $(0, 0)$ tak, aby jedno ramię pokrywało się z dodatnią półosią $X$ ) i wybierzemy na drugim ramieniu tego kąta punkt $M$ o współrzędnych $(x, y)$ , to utworzy się trójkąt prostokątny. Zauważmy, że jeśli kąt jest ostry, to długości przyprostokątnych tego trójkąta są równe współrzędnym punktu $M$ .

Wówczas $tg α = \frac{y}{x}$ , gdzie $x \neq 0$ . Zwróćmy jeszcze uwagę, że taka definicja ma sens nawet wówczas, gdy $α$ jest kątem rozwartym (a nawet wklęsłym) i nie istnieje trójkąt prostokątny, którego jednym z kątów jest $α$ . Warunek $x \neq 0$ oznacza, że punktu $M$ nie możemy wybrać spośród punktów leżących na osi $Y$ . Zatem $α$ nie może mieć miary $90^{°}$ , $270^{°}$ , $450^{°}$ , $450^{\circ} + 180^{\circ}$ ... Kąt $α$ nie może też przyjąć miary $- 90^{\circ}$ , $- 270^{\circ}$ , $- 450^{\circ}$ , $- 450^{\circ} - 180^{\circ}$ ... Ogólnie możemy zapisać, że $α \neq 90^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}$ , $k \in ℤ$ .

R1IKmbduIp13S

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y, bez podziałki. Z punktu O, czyli początku układu współrzędnych, narysowano ukośną półprostą, leżącą w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Na półprostej zaznaczono punkt M o współrzędnych x;y. Punkt zrzutowano na obie osie. Odcinek O M oznaczono literą r. Pionowy rzut oznaczono jako odcinek y, a poziomy jako x. Odcinki x, y i r tworzą trójkąt prostokątny. Między osią X a odcinkiem O M zaznaczono kąt skierowany alfa. Kąt ten jest ostry.

Na przykład jeśli $α$ jest kątem rozwartym - jak na rysunku poniżej, to nadal $tg α$ możemy obliczyć jako iloraz drugiej współrzędnej punktu $M$ przez pierwszą współrzędną tego punktu. Zatem $tg α = \frac{b}{a}$ .

RNF4DlgWvdryV

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y, bez podziałki. W drugiej ćwiartce układu współrzędnych z punktu O, który jest początkiem układu współrzędnych narysowano ukośną półprostą. Na półprostej zaznaczono punkt M o współrzędnych a;b oraz zrzutowano ten punkt na obie osie. Odcinek O M oznaczono literą r. Pionowy rzut oznaczono jako odcinek b, a poziomy jako a. Trzy zaznaczone odcinki a, b i r tworzą trójkąt prostokątny. Między osią X a odcinkiem O M zaznaczono kąt skierowany alfa. Kąt alfa jest rozwarty.

Przykład 1

Obliczymy

a) $tg 120 °$

b) $tg 225 °$

c) $tg 330 °$

Rozwiązanie

Ad. a) W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $120 °$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$ . Niech będzie to punkt, którego promień wodzącypromień wodzący punktupromień wodzący jest równy $1$ (nie zastanawiaj się za długo, dlaczego akurat $1$ - równie dobrze mógłby to być dowolny inny punkt). Wówczas trójkąt $M O P$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $|M P| = \frac{1}{2}$ , $|O P| = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $(\frac{- 1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ . Zatem $tg 120 ° = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \frac{2}{1}) = - \sqrt{3}$ .

R1dnuOzihj2Fo

Ilustracja przedstawia półprostą o początku w punkcie O, czyli w początku układu współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez podziałki. Półprosta ta znajduje się w drugiej ćwiartce. Z pewnego punktu obranego na dodatniej półosi O X poprowadzono kąt skierowany do półprostej o mierze 120 stopni Na półprostej zaznaczono punkt M, leżący w odległości 1 od punktu O, następnie zrzutowano go na oś . W ten sposób powstał poziomy odcinek M P. Z odcinków O M, M P oraz O P powstał trójkąt prostokątny. Długości boków trójkąta są następujące: O M ma długość 1, M P ma długość <12, a O P ma długość 32. Kąty wewnętrze trójkąta są następujące: Przy wierzchołku O kąt wynosi 30 stopni, przy M to 60 stopni, a przy P mamy kąt prosty.

Ad. b) W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $225^{\circ}$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$ . Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$ . Wówczas trójkąt $M O P$ jest połową kwadratu, a zatem $|M P| = \sqrt{2}$ , $|O P| = \sqrt{2}$ . Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ . Zatem $tg 225 ° = \frac{- \sqrt{2}}{- \sqrt{2}} = 1$ .

R1NNumZ0XuYvO

Ilustracja przedstawia półprostą znajdującą się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez podziałki. Półprosta zaczyna się w punkcie O, który jest początkiem układu współrzędnych. Z dodatniej półosi O X poprowadzono kąt skierowany do półprostej o mierze 225 stopni. Na półprostej zaznaczono punkt M o współrzędnych -2;-2, następnie zrzutowano go na oś, przez co powstał pionowy odcinek M P. Z następnujących trzech odcinków: O M o długości 2, M P o długości 2 oraz O P o długości 2 powstał trójkąt prostokątny. Kąty wewnętrze trójkąta mają następujące miary: Przy wierzchołku O kąt wynosi 45 stopni, przy M to 45 stopni, a przy P mamy kąt prosty.

Ad. c) W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $330^{\circ}$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$ . Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$ . Wówczas trójkąt $M O P$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $|M P| = \sqrt{3}$ , $|O P| = 1$ . Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $(\sqrt{3}, - 1)$ . Zatem $tg 330 ° = - \frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

RVtlOEV5D81yL

Ilustracja przedstawia ukośną półprostą w czwartej ćwiartce układu współrzędnych bez podziałki, z pionową osią Y oraz poziomą osią X. Półprosta ma swój początek w punkcie O, ma on współrzędne 0;0. Z dodadniej półosi O X poprowadzono wklęsły kąt skierowany aż do półprostej, wynosi on 330 stopni. Na półprostej zaznaczono punkt M, znajduje się on w odległości równej 2 od punktu O, a następnie rzutowano go na oś. Tak powstał poziomy odcinek M P. Z odcinków M P, P O, O M złożono trójkąt prostokątny, którego kąty wewnętrze wynoszą: przy punkcie M kąt wynosi 30 stopni, przy P 90 stopni, przy O 60 stopni. Długość odcinka O M wynosi 2, a długość odcinka M P wynosi 3, natomiast długość odcinka P O wynosi 1

W następnym przykładzie rozważymy tangensy kątów skierowanych ujemnie.

Przykład 2

Obliczymy:

a) $tg (- 60 °)$

b) $tg (- 150 °)$

c) $tg (- 210 °)$

Rozwiązanie

Ad. a) W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $- 60 °$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$ . Niech będzie to punkt, którego promień wodzącypromień wodzący punktupromień wodzący jest równy $2$ . Wówczas trójkąt $M O P$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $|M P| = \sqrt{3}$ , $| O P | = 1$ . Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $(1, - \sqrt{3})$ . Zatem $t g (- 60^{\circ}) = \frac{- \sqrt{3}}{1} = - \sqrt{3}$ .

RRH61rki8ej7J

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych bez podziałki, z pionową osią Y oraz poziomą osią X. Punkt O, jest początkiem układu współrzędnych. Z punktu O, w czwartej ćwiartce poprowadzono ukośną półprostą, zaznaczono również kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara, pomiędzy dodatnią półosią O X, a narysowaną półprostą. Kąt ten wynosi minus 60 stopni. Na półprostej zaznaczono punkt M oraz wykonano jego rzutowanie na oś. Tak powstał pionowy odcinek M P. Trzy odcinki: O M o długości 2, M P o długości 3 , P O o długości 1 tworzą trójkąt prostokątny, którego kąty wewnętrzne są następujące: Przy punkcie M 30 stopni, przy punkcie O minus 60 stopni, przy punkcie P znajduje się kąt prosty.

Ad. b) W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $- 150^{\circ}$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$ . Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$ . Wówczas trójkąt $M O P$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $|M P| = 1$ , $|O P| = \sqrt{3}$ . Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $(- \sqrt{3}, - 1)$ . Zatem $tg (- 150 °) = \frac{- 1}{- \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

RiL7iu37OsoGC

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych bez podziałki, z pionową osią Y oraz poziomą osią X. Punkt O, to początek układu współrzędnych. Z punktu O, w trzeciej ćwiartce poprowadzono ukośną półprostą, zaznaczono również kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara, pomiędzy dodatnią półosią O X, a narysowaną półprostą, wynosi on minus 150 stopni. Na półprostej w odległości równej 2 od punktu O zaznaczono punkt M oraz wykonano jego rzutowanie na oś, przez to powstał pionowy odcinek M P o długości 1. Razem z odcinkiem M P, który pokrywa się z osią X i ma długość długości 3 tworzą trójkąt prostokątny O M P, którego kąty wewnętrzne są następujące: Przy punkcie M 60 stopni, przy punkcie O 30 stopni, przy punkcie P znajduje się kąt prosty.

Ad. c) W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $- 210 °$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$ . Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$ . Wówczas trójkąt $M O P$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $|O P| = 1$ , $|M P| = \sqrt{3}$ . Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $(- \sqrt{3}, 1)$ . Zatem $tg (- 210 °) = \frac{1}{- \sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

R1eNSPTPkS3pr

Ilustracja przedstawia półprostą ukośną, która rozpoczyna się w punkcie O, czyli początku układu współrzędnych, który nie ma podziałki. Oś pozioma tego układu współrzędnych oznaczona jest jako X, a pionowa jako Y. Półprosta znajduje się w drugiej ćwiartce. Poprowadzono kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara aż od dodatniej półosi O X do narysowanej półprostej, wynosi on minus 210 stoni. Punkt M znajduje się na półprostej w odległości równej 2 od punktu O. Rzutowano punkt M na osi, tak powstał poziomy odcinek M P. Trzy odcinki P O, O M, M P o długościach kolejno 1, 2, 3 tworzą na układzie współrzędnych trójkąt prostokątny O M P, o kątach wewnętrznych: przy punkcie O 60 stopni, przy punkcie M 30 stopni, przy punkcie P jest kąt prosty.

Ciekawostka

Istnieją również inne, nieco bardziej “nowoczesne”, definicje funkcji tangens. Jedna z nich wykorzystuje tzw. ułamki łańcuchowe:

$tg x = \frac{x}{1 - \frac{x^{2}}{3 - \frac{x^{2}}{5 - \frac{x^{2}}{7 - . . .}}}} = \frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{1}{\frac{3}{x} - \frac{1}{\frac{5}{x} - \frac{1}{\frac{7}{x} - . . .}}}}$ .

Użyteczną definicją funkcji tangens jest przedstawienie go jako ilorazu sinusa i cosinusa.

Niektóre definicje wykorzystują tzw. szereg Taylora lub równania różniczkowe, ale te zagadnienia są na tyle wymagające, że pominiemy szczegóły.

Przykład 3

Wyznaczymy miary wszystkich kątów $α$ , dla których $tg α = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Rozwiązanie

Z definicji funkcji tangens mamy $tg α = \frac{y}{x}$ . W tym przypadku $\frac{y}{x} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Możemy zauważyć, że $y = - \sqrt{3} k$ i $x = 3 k$ albo $y = \sqrt{3} k$ i $x = - 3 k$ , dla pewnej liczby $k > 0$ . Ponieważ możemy wybrać dowolny punkt na drugim ramieniu kąta, więc niech $k = 1$ . Wówczas punkt $M$ ma współrzędne równe $(3; - \sqrt{3})$ albo $(- 3; \sqrt{3})$ .

RcH9BA9Ci6uQr

Ilustracja przedstawia dwa dwuwymiarowe układy współrzędnych bez podziałki o początku współrzędnych w punkcie O, poziomej osi X i pionowej osi Y, zostały narysowane obok siebie. Lewy układ współrzędnych przedstawia półprostą, ktora znajduje się w czwartej ćwiartce oraz zaczyna się w początku układu współrzędnych. Zaznaczono na niej punkt M1 o współrzędnych 3;-3, następnie poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do rucho wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, aż do półprostej, oznaczono go jako alfa. Punkt P oznaczono na osi Y, po rzutowaniu punku M1 na oś Y. Prawy układ współrzędnych przedstawia półprostą, ktora znajduje się w drugiej ćwiartce oraz zaczyna się w początku układu współrzędnych. Zaznaczono na niej punkt M2 o współrzędnych -3;3, następnie poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi X, aż do półprostej, oznaczono go jako alfa. Punkt P oznaczono na osi Y, po rzutowaniu punku M2 na oś Y.

Zauważmy, że są dwa takie punkty: jeden leży w drugiej, a drugi - w czwartej ćwiartce. Z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć ich odległości od początku układu współrzędnych:

${|M P|}^{2} + {|P O|}^{2} = {|O M|}^{2}$

${(\sqrt{3})}^{2} + 3^{2} = {|O M|}^{2}$

${|O M|}^{2} = 12$

$|O M| = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

Zatem odległość punktów $M$ od początku układu współrzędnych jest równa $2 \sqrt{3}$ . Wynika stąd, że każdy z trójkątów $M_{1} P O$ i $M_{2} P O$ jest połową trójkąta równobocznego.

Rd8iba8BL8MHy

Ilustracja przedstawia dwa dwuwymiarowe układy współrzędnych bez podziałki, narysowane obok siebie. Oba układy mają osie poziome X, osie pionowe Y oraz początek układu współrzędnych oznaczony jako O. Lewy układ współrzędnych przedstawia półprostą, która znajduje się w czwartej ćwiartce oraz zaczyna się w punkcie O. Zaznaczono na niej punkt M1 o współrzędnych 3;-3, poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi X, aż do półprostej, oznaczono go jako alfa. Punkt P znajduje się na osi Y, powstał po rzutowaniu punktu M1 na osie. Kąt pomiędzy odcinkami PM1, a OM1 wynosi 30°. Długość odcinka OM1 wynosi23. Prawy układ współrzędnych przedstawia półprostą, ktora znajduje się w drugiej ćwiartce oraz zaczyna się w punkcie O. Zaznaczono na niej punkt M2 o współrzędnych -3;3, następnie poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, aż do półprostej, oznaczono go jako alfa. . Punkt P znajduje się na osi Y, powstał po rzutowaniu punktu M2 na osie. Kąt pomiędzy odcinkami PM2, a OM2 wynosi 30°. Długość odcinka OM2 wynosi23.

Zatem szukane kąty mają miary $90 ° + 60 ° = 150 °$ oraz $270^{\circ} + 60^{\circ} = 330^{\circ}$ .

Zwróćmy jeszcze uwagę, że po obrocie drugiego ramienia kąta o $360^{\circ}$ w jedną lub w drugą stronę, ramię znajdzie się w dokładnie tym samym położeniu. Zatem $tg 240 ° = tg (240 ° + 360 °) = tg (240 ° + 2 \cdot 360 °) = tg (240 ° + 3 \cdot 360 °) = \dots$ i $tg 240 ° = tg (240 ° - 360 °) = tg (240 ° - 2 \cdot 360 °) = tg (240 ° - 3 \cdot 360 °) = \dots$

Stąd wszystkie kąty tej postaci możemy zapisać jako $240 ° + k \cdot 360 °$ , gdzie $k$ przebiega zbiór wszystkich liczb całkowitych.

Na podstawie powyższego przykładu możemy wyciągnąć wniosek, że każdy kąt $α$ można zapisać w postaci $α = α_{0} + k \cdot 360^{\circ}$ , gdzie $α_{0} \in ⟨0 °, 360 °)$ oraz $k \in ℤ$ . Przy czym $α_{0}$ nazywamy miarą główną kąta $α$ .

Słownik

promień wodzący punktu

odległość punktu od początku układu współrzędnych

tangens kąta skierowanego

stosunek rzędnej dowolnie wybranego punktu $M$ należącego do drugiego ramienia tego kąta do odciętej punktu $M$ ; definicja wymaga, aby kąt był umieszczony w położeniu standardowym oraz by drugie ramię kąta nie zawierało się w osi $Y$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik