Przeczytaj

W tej lekcji zajmiemy się przekształceniami równości zapisanych z użyciem ułamków algebraicznych.

Kilka pierwszych przykładów dotyczy równości $a = x + \frac{1}{x}$ rozważanej dla $x \neq 0$ .

Przykład 1

Wiemy, że $a = x + \frac{1}{x}$ .

Zapiszemy wyrażenie $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ jako wyrażenie zawierające tylko zmienną $a$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że $a^{2} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}$ .

Zatem $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = a^{2} - 2$ .

Przykład 2

Wiemy, że $a = x + \frac{1}{x}$ .

Zapiszemy wyrażenie $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ jako wyrażenie zawierające tylko zmienną $a$ .

Rozwiązanie

Zastosujmy wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy:

$a^{3} = {(x + \frac{1}{x})}^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} =$

$= x^{3} + 3 \cdot x + 3 \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3 (x + \frac{1}{x}) = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3 a$ .

Zatem $x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = a^{3} - 3 a$ .

Przykład 3

Wiemy, że $a = x + \frac{1}{x}$ .

Zapiszemy wyrażenie $x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$ jako wyrażenie zawierające tylko zmienną $a$ .

Rozwiązanie

Z przykładu 1 wiemy, że $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = a^{2} - 2$ .

Podstawmy $t = x^{2}$ oraz $b = t + \frac{1}{t}$ .

Wiemy, że $t^{2} + \frac{1}{t^{2}} = b^{2} - 2$ .

Zatem

$x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = t^{2} + \frac{1}{t^{2}} = b^{2} - 2 = {(t + \frac{1}{t})}^{2} - 2 =$

$= {(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})}^{2} - 2 = {(a^{2} - 2)}^{2} - 2 = a^{4} - 4 a^{2} + 4 - 2 = a^{4} - 4 a^{2} + 2$ .

Kolejny przykład jest trochę trudniejszy.

Przykład 4

Wiemy, że $a = x + \frac{1}{x}$ .

Zapiszemy wyrażenie $|x - \frac{1}{x}|$ jako wyrażenie zawierające tylko zmienną $a$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że ${(x - \frac{1}{x})}^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2$ .

Zatem korzystając z przykładu 1 możemy zapisać ${(x - \frac{1}{x})}^{2} = a^{2} - 2 - 2 = a^{2} - 4$ .

Wiemy, że $\sqrt{t^{2}} = |t|$ . Zatem

$|x - \frac{1}{x}| = \sqrt{a^{2} - 4}$ .

Można udowodnić (np. korzystając z nierówności Cauchy’ego między średnią arytmetyczną i geometryczną, co przekracza zakres bieżącej lekcji), że wyrażenie $x + \frac{1}{x}$ nigdy nie przyjmuje wartości z przedziału $(- 2; 2)$ , więc dla $x \in ℝ ∖ \{0\}$ występujący we wzorze pierwiastek zawsze istnieje.

Przykład 5

Wiemy, że dla $y \neq 1$ i $y \neq - 1$ : $c = \frac{1 + y}{1 - y} + \frac{1 - y}{1 + y}$ .

Zapiszemy wyrażenie $\frac{1}{1 - y} + \frac{1}{1 + y}$ za pomocą zmiennej $c$ .

Rozwiązanie

Zapiszmy dwoma sposobami $c + 1$ :

$\{\begin{cases} c + 1 = \frac{1 + y}{1 - y} + \frac{1 - y}{1 + y} + \frac{1 - y}{1 - y} \\ c + 1 = \frac{1 + y}{1 - y} + \frac{1 - y}{1 + y} + \frac{1 + y}{1 + y} \end{cases}$

$\{\begin{cases} c + 1 = \frac{2}{1 - y} + \frac{1 - y}{1 + y} \\ c + 1 = \frac{1 + y}{1 - y} + \frac{2}{1 + y} \end{cases}$ .

Po dodaniu obu równości stronami uzyskamy:

$2 c + 2 = \frac{2}{1 - y} + \frac{1 - y}{1 + y} + \frac{1 + y}{1 - y} + \frac{2}{1 + y}$

$2 c + 2 = c + \frac{2}{1 - y} + \frac{2}{1 + y}$

$\frac{2}{1 - y} + \frac{2}{1 + y} = c + 2$ .

Zatem po podzieleniu przez $2$ :

$\frac{1}{1 - y} + \frac{1}{1 + y} = \frac{1}{2} c + 1$ .

Przykład 6

Dana jest zależność $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ .

Możemy określić jej dziedzinę: $\{\begin{cases} x \in ℝ ∖ \{0\} \\ y \in ℝ ∖ \{0\} \end{cases}$ .

Wyznaczymy dziedzinędziedzina wyrażenia algebraicznegodziedzinę każdego z poniższych wyrażeń i wykażmy, że są one równoważne podanej zależności na częściach wspólnych swoich dziedzin.

R3kaheYGVmkB7

$5 = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$

Określmy dziedzinę:
$"{"\begin{array}{c} x \neq 0 \\ y \neq 0 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \neq 0 \end{array}""$ ,
czyli
$"</moy \in ℝ ∖, x \neq - y)$ .
Przekształćmy równość $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ zapisując odwrotności wyrażeń po obu stronach. Uzyskamy $\frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = 5$ .
Wyrażenia $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ oraz $5 = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$ są zatem równoważne, gdy
$"</moy \in ℝ ∖, x \neq - y)$ .

$5 (x + y) = x y$

Po obu stronach równości mamy tylko mnożenie i dodawanie, więc jest określona gdy
$"{"\begin{array}{c} x \in ℝ \\ y \in ℝ \end{array}""$ .
Przekształćmy równość $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ wykonując dodawanie po lewej stronie:
$\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y} = \frac{1}{5}$
$\frac{x + y}{x y} = \frac{1}{5}$ .
Po obustronnym przemnożeniu przez $5 x y$ uzyskamy
$5 (x + y) = x y$ .
Wyrażenia $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ oraz $5 = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$ są zatem równoważne, gdy
$""0) y \in ℝ ∖ ""0)$ .

$\frac{x y}{x + y} = 5$

Określmy dziedzinę:
Wyrażenie w mianowniku nie może być zerem, więc
$""0) y \in ℝ ∖ ""0) x \neq - y$ .
Przekształćmy równość $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ wykonując dodawanie po lewej stronie:
$\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y} = \frac{1}{5}$
$\frac{x + y}{x y} = \frac{1}{5}$ .
Zapisując odwrotności obu stron uzyskanej równości uzyskamy wyrażenie
$\frac{x y}{x + y} = 5$ .
Z tego wynika, że wyrażenia $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ oraz $\frac{x y}{x + y} = 5$ są równoważne, gdy
$""0) y \in ℝ ∖ ""0) x \neq - y$ .

$x = \frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{1}{y}}$

Określmy dziedzinę:
$"{"\begin{array}{c} y \neq 0 \\ \frac{1}{5} - \frac{1}{y} \neq 0 \end{array}""$
czyli
$""0; 5)$ .
Przekształćmy równość $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ przenosząc $\frac{1}{y}$ na drugą stronę:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{5} - \frac{1}{y}$
Zapiszmy teraz odwrotności wyrażeń po obu stronach:
$x = \frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{1}{y}}$ .
Wyrażenia $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ i $x = \frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{1}{y}}$ są zatem równoważne, gdy
$""0) y \in ℝ ∖ ""0; 5)$ .

$y = \frac{5 x}{x - 5}$

Określmy dziedzinę:
$""5) y \in ℝ$ .
Przekształćmy równość $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ przenosząc $\frac{1}{x}$ na drugą stronę:
$\frac{1}{y} = \frac{1}{5} - \frac{1}{x}$ .
Wykonajmy odejmowanie:
$\frac{1}{y} = \frac{x}{5 x} - \frac{5}{5 x}$
$\frac{1}{y} = \frac{x - 5}{5 x}$
Zastąpmy równość wyrażeń po obu stronach równością ich odwrotności:
$y = \frac{5 x}{x - 5}$ .
Wyrażenia $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ i $y = \frac{5 x}{x - 5}$ są więc równoważne, gdy
$""0; 5) y \in ℝ ∖ ""0)$ .

Słownik

dziedzina wyrażenia algebraicznego

wyznaczenie dziedziny to określenie dla każdej zmiennej występującej w wyrażeniu warunków, po których spełnieniu wyrażenie przyjmuje jakąś wartość

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Słownik