Na lewym rysunku poniżej dany jest wykres funkcji $f$. Symetria względem osi $X$ przekształca wykres funkcji $f$ na wykres funkcji $g$.

R1FraxgbDrPmA

Ilustracja przedstawia dwa układy współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie pierwszym zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$, która rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu zero średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu i dalej biegnie również po łuku do zamalowanego punktu nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. W układzie drugim zaznaczono dwa wykresy funkcji, pierwszy z nich namalowano linią przerywaną, jest to wykres o równaniu $y=f\left(x\right)$, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu zero średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu i dalej biegnie również po łuku do zamalowanego punktu nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Drugi wykres o równaniu $y=g\left(x\right)$, który jest obiciem lustrzanym wykresu pierwszego względem osi x. Rozpoczyna się on w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik minus trzy i biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i dalej biegnie również po łuku do punktu nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu.

Weźmy teraz jakikolwiek punkt $A$ na wykresie funkcji $f$:
$A=\left(x,f\left(x\right)\right)$.

Punkt $A^{\text{'}}$ symetryczny do punktu $A$ względem osi $X$ ma współrzędne:
$A^{\text{'}}=\left(x,-f\left(x\right)\right)$.

Punkt $A^{\text{'}}$ musi  należeć do wykresu funkcji $g$, czyli powinna zachodzić równość :
$g\left(x\right)=-f\left(x\right)$.

RgTWlrbw5nQwK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$, która ma kształt łuku wybrzuszonego w stronę nieskończoności, końce łuku zaznaczono zamalowanymi punktami. Na łuku zaznaczono punkt $A=\left(x,f\left(x\right)\right)$. W czwartej ćwiartce również znajduje się wykres funkcji, jest to funkcja $y=g\left(x\right)$, ona również ma kształt łuku, jest on wybrzuszony w stronę minus nieskończoności, na jego końcach znajdują się zamalowane punkty. Na tym łuku zaznaczono punkt $A\text{'}=\left(x,-f\left(x\right)\right)$, punkt ten znajduje się bezpośrednio pod punktem A i jest z nim połączony pionową linią przerywaną.

Zatem, odbijając wykres funkcji $f$ symetrycznie względem osi $X$symetria osiowa wykresu funkcji względem osi Xsymetrycznie względem osi $X$, otrzymamy wykres funkcji $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$.

Na poniższym rysunku po lewej stronie dany jest wykres funkcji $f$ z poprzedniego przykładu. Symetria względem osi $Y$ przekształca wykres funkcji $f$ na wykres pewnej funkcji $h$ (rysunek po prawej stronie).

R1XgxhtFo87rm

Ilustracja przedstawia dwa układy współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie pierwszym zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$, która rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu zero średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu i dalej biegnie również po łuku do zamalowanego punktu nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. W układzie drugim zaznaczono dwa wykresy funkcji, pierwszy z nich namalowano linią przerywaną, jest to wykres o równaniu $y=f\left(x\right)$, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu zero średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu i dalej biegnie również po łuku do zamalowanego punktu nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Drugi wykres o równaniu $y=h\left(x\right)$, który jest obiciem lustrzanym wykresu pierwszego względem osi y. Rozpoczyna się on w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu dalej biegnie po łuku do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również po łuku do punktu nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik trzy zamkniecie nawiasu.

Weźmy teraz jakikolwiek punkt $A$ na wykresie funkcji $f$:
$A=\left(x,f\left(x\right)\right)$.

Niech $A^{\text{'}}$ będzie symetrycznym do punktu $A$ względem osi $Y$, wtedy:
$A^{\text{'}}=\left(-x,f\left(x\right)\right)$.

Punkt $A^{\text{'}}$ musi jednak należeć do wykresu funkcji $h$, czyli funkcja $h$ musi argumentowi $-x$ przyporządkować wartość $f\left(x\right)$:
$h\left(-x\right)=f\left(x\right)$.

Wobec tego zależność tę można zapisać w równoważnej postaci:
$h\left(-x\right)=f\left(x\right)$.

R13KvvouOt3Dj

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$, która ma kształt łuku wybrzuszonego w stronę nieskończoności, końce łuku zaznaczono zamalowanymi punktami. Na łuku zaznaczono punkt $A=\left(x,f\left(x\right)\right)$. Z punktu A poprowadzono pionową linię przerywaną do osi x, na której zaznaczono punkt i podpisano go literąx. W trzeciej ćwiartce również znajduje się wykres funkcji, jest to funkcja $y=h\left(x\right)$, ona również ma kształt łuku, jest on wybrzuszony w stronę nieskończoności, na jego końcach znajdują się zamalowane punkty. Na tym łuku zaznaczono punkt $A\text{'}=\left(-x,f\left(x\right)\right)$, z tego punktu poprowadzono pionową linię przerywaną do osi x, na której zaznaczono punkt i podpisano go minus x. Punkty A i A prim połączono poziomą linią przerywaną.

Podsumowując: jeśli wykres funkcji $f$ odbijemy symetrycznie względem osi $Y$symetria osiowa wykresu funkcji względem osi Ysymetrycznie względem osi $Y$, to uzyskamy wykres funkcji: $h\left(-x\right)=f\left(x\right)$.

Niech dany będzie wykres funkcji $f$.

• Aby uzyskać wykres funkcji $y=-f\left(x\right)$, należy wykres $y=f\left(x\right)$ odbić symetrycznie względem osi $X$.

• Aby uzyskać wykres funkcji: $y=f\left(-x\right)$, należy wykres $y=f\left(x\right)$ odbić symetrycznie względem osi $Y$.

Na podstawie wykresu funkcji $f$ danego obok narysuj wykresy funkcji: $g\left(x\right)=f\left(-x\right)$ i $h\left(x\right)=-f\left(x\right)$.

RQQVmX89wVWxn

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 2 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$, która ma swój początek w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus trzy średnik minus dwa i biegnie ukośnie przez punkty nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu do punktu nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu, z tego punktu wykres biegnie również ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie

W pierwszym przypadku odbijamy wykres funkcji $f$ względem osi $Y$ (lewy rysunek poniżej). W drugim przypadku odbijamy wykres funkcji $f$ względem osi $X$ (prawy rysunek poniżej).

RnA06YjkzkVGb

Ilustracja przedstawia dwa układy współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie pierwszym zaznaczono wykres funkcji $y=g\left(x\right)$, która rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie przez punkty: nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu i nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu do zamalowanego punktu nawias trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. W drugim układzie znajduje się wykres funkcji $y=h\left(x\right)$, rozpoczyna się ona w zamalowanym punkcie nawias minus trzy średnik dwa i biegnie ukośnie przez punkty: nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu do punktu nawias trzy średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu.

Funkcja $f$, określona dla wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $2$, dana jest wzorem$f\left(x\right)=\frac{1}{x-2}$. Wyznacz wzór funkcji $g$, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji $f$ względem osi:
a) $X$;
b) $Y$.

Rozwiązanie

a) Na mocy twierdzenia zależność pomiędzy wzorem funkcji $f$ i wzorem funkcji $g$ jest następująca $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$. Stąd, aby uzyskać wzór funkcji $g$, wystarczy przed wzorem funkcji $f$ postawić znak minus:
$g\left(x\right)=-f\left(x\right)=-\frac{1}{x-2}$.
Szukany wzór jest następujący: $g\left(x\right)=-\frac{1}{x-2}$.

b) Na mocy twierdzenia zależność pomiędzy wzorem funkcji $f$ i wzorem funkcji $g$ jest następująca:
$g\left(x\right)=f\left(-x\right)$.
Zatem, aby uzyskać wzór funkcji $g$, musimy we wzorze funkcji $f$ w miejsce $x$ podstawić $-x$, czyli:
$g\left(x\right)=f\left(-x\right)=\frac{1}{\left(-x\right)-2}=\frac{1}{-x-2}$.
Szukany wzór jest następujący:
$g\left(x\right)=\frac{1}{-x-2}$.

Wykaż, że jeśli wykres funkcji $f\left(x\right)=x^2+x^4$, której dziedziną jest  zbiór liczb rzeczywistych, odbijemy symetrycznie względem osi $Y$, to uzyskamy wykres tej samej funkcji $f$.

Rozwiązanie

Z twierdzenia wiemy, że odbijając wykres funkcji $f$ symetrycznie względem osi $Y$, otrzymamy wykres funkcji $g$, dla której :
$g\left(x\right)=f\left(-x\right)$.

Zatem, aby znaleźć wzór funkcji $g$, należy we worze funkcji $f$ w  miejsce $x$, podstawić $-x$, czyli:
$g\left(x\right)=f\left(-x\right)={\left(-x\right)}^2+{\left(-x\right)}^4=x^2+x^4$.

Wzory funkcji $f$ i $g$ są identyczne. Co więcej , ponieważ dziedziną $f$ był  zbiór liczb rzeczywistych, więc także dziedziną funkcji $g$ jest  zbiór liczb rzeczywistych. Zatem funkcje te są identyczne i mają ten sam wykres.

Wykres funkcji $f$ na rysunku poniżej odbij symetrycznie względem osi $Y$, a następnie uzyskany wykres odbij symetrycznie  względem osi $X$. Jaki wzór, w zależności od wzoru funkcji $f$, będzie miała funkcja $h$, której wykres otrzymasz?

RpuSMCk6Bta3r

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 2 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$, która ma swój początek w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie poziomo do zamalowanego punktu nawias minus jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie

Po odbiciu wykresu funkcji $f$ względem osi $Y$ uzyskamy wykres funkcji:
$g\left(x\right)=f\left(-x\right)$.

Po odbiciu uzyskanego wykresu względem osi $X$ dostaniemy wykres funkcji:
$h\left(x\right)=-g\left(x\right)=-f\left(-x\right)$.

Podsumowując, wzór funkcji $h$ jest następujący: $h\left(x\right)=-f\left(-x\right)$.

R19wh7VHt5z9j

Ilustracja przedstawia dwa układy współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie pierwszym zaznaczono dwa wykresy funkcji, pierwszy to $y=f\left(x\right)$, ma on swój początek w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie poziomo do zamalowanego punktu nawias minus jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu. Drugi wykres znajdujący się w tym układzie ma równanie $y=g\left(x\right)$ i rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias jeden średnik dwa zamkniecie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie do punktu zmalowanego punktu nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu. W drugim układzie również zaznaczono trzy wykresy, pierwszy i drugi są identyczne jak w układzie pierwszym, trzeci wykres $y=h\left(x\right)$ rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, dalej wykres biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik minus jeden zamknięcie nwaisu.

Wykres funkcji $f$ odbito symetrycznie względem osi $Y$, a następnie uzyskany wykres odbito  symetrycznie względem osi $X$ i otrzymano wykres funkcji $h$. Wykaż, że wykresy funkcji $h$ i $f$ są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Weźmy jakikolwiek punkt z wykresu funkcji $f$: $A=\left(x,f\left(x\right)\right)$. Po odbiciu punktu $A$ względem osi $Y$ uzyskamy punkt: $A^{\text{'}}=\left(-x,f\left(x\right)\right)$. Po odbiciu punktu $A^{\text{'}}$ względem osi $X$ uzyskamy punkt należący do wykresu funkcji $g$: $A^{\text{'}\text{'}}=\left(-x,-f\left(x\right)\right)$.

Punkt $A^{\text{'}\text{'}}$ jest symetryczny do punktu $A$ względem początku układu współrzędnych. Zatem każdy punkt wykresu funkcji $f$ jest symetryczny do pewnego punktu na wykresie funkcji $h$. Podobnie każdy punkt na wykresie funkcji $h$ jest symetryczny względem punktu $\left(0,0\right)$ do pewnego punktu na wykresie funkcji $f$. Wynika stąd, że wykresy obu funkcji są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

przekształcenie geometryczne, które dowolnemu punktowi $P\left(x,y\right)$ należącemu do wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ przyporządkowuje punkt $P\text{'}\left(x\text{'},y\text{'}\right)$, gdzie $x\text{'}=x$ i $y=-y^{\text{'}}=f\left(x\right)=-f\left(x^{\text{'}}\right)$

przekształcenie geometryczne, które dowolnemu punktowi $P\left(x,y\right)$ należącemu do wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ przyporządkowuje punkt $P\text{'}\left(x\text{'},y\text{'}\right)$, gdzie $x\text{'}=-x$ i $y=y\text{'}=f\left(x\right)=f\left(-x\text{'}\right)$