Przeczytaj

Doświadczenie losowe

Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zjawiskami przypadkowymi, czyli takimi, których wyniku nie da się przewidzieć. Do zdarzeń nieprzewidywalnych należy na przykład rzut monetą, czy wyciągnięcie karty z talii.

O dwóch doświadczeniach przebiegających w identycznych warunkach, mających te same zbiory kontrolowanych przyczyn, mówimy, że są identyczne. Doświadczenie, które można przeprowadzić dowolnie wiele razy, nazywamy doświadczeniem powtarzalnym.

Przykład 1

Masa przedmiotu jest stała. Doświadczenie polegające na pomiarze masy danego przedmiotu jest doświadczeniem powtarzalnym.
Pomiar czasu palenia się danej świecy jest zdarzeniem niepowtarzalnym, bo świeca ulegnie spaleniu po pierwszym doświadczeniu.

Zjawiska polegające na przeprowadzaniu dużej liczby tych samych doświadczeń, nazywamy zjawiskami masowymi.

W rachunku prawdopodobieństwa jednym z podstawowych pojęć jest doświadczenie losowe.

Doświadczenie losowe, to doświadczenie, które może być powtarzane dowolnie wiele razy w identycznych (lub zbliżonych) warunkach i którego wyniku nie daje się jednoznacznie przewidzieć.

Wynik doświadczenia losowego będziemy nazywać zdarzeniem losowym (krótko: zdarzeniem).

Przykład 2

Przykłady zdarzeń losowych:

wyciągnięcie asa z talii $52$ kart,
uzyskanie liczby oczek większej od $4$ w rzucie kością do gry,
wypadnięcie dwóch orłów w rzucie dwoma monetami.

Zbiór zdarzeń elementarnych

Pojedyncze (najprostsze) wyniki danego doświadczenia nazywać będziemy zdarzeniami elementarnymi.

Zdarzenie elementarne oznaczać będziemy zwykle literą omega: $ω$ .

Na przykład w rzucie kostką zdarzenia elementarne to wszystkie możliwe liczby oczek, które mogą wypaść w jednym rzucie.

Ważne!

W rachunku prawdopodobieństwa zdarzenie elementarne jest pojęciem pierwotnym, czyli niedefiniowalnym.

Zdarzenia elementarne danego doświadczenia losowego mają następujące własności:

dane zdarzenie może zajść lub nie,
zajście jednego zdarzenia wyklucza zajście innego zdarzenia,
jedno ze zdarzeń na pewno zajdzie.

Zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego nazywamy zbiorem zdarzeń elementarnych (przestrzenią zdarzeń elementarnych).

Zbiór zdarzeń elementarnych będziemy oznaczać: $Ω$ . Do naszych celów przyjmiemy, że zbiór ten jest zbiorem skończonym.

Liczbę elementów tego zbioru (moc zbioru), będziemy oznaczać jako $|Ω|$ .

Przykład 3

Doświadczenie polega na rzucie symetryczną kostką do gry.

Zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia:

$Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

gdzie:
$1$ – wypadnięcie jednego oczka,
$2$ – wypadnięcie dwóch oczek,
$3$ – wypadnięcie $3$ oczek, itd.

Zatem: $|Ω| = 6$ .

Przykład 4

Z pudła, w którym znajduje się jedna kula biała, jedna kula zielona i jedna kula niebieska, losujemy jedną kulę.

Zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia:

$Ω = \{b, z, n\}$

gdzie:
$b$ – wylosowanie kuli białej,
$z$ – wylosowanie kuli zielonej,
$n$ – wylosowanie kuli niebieskiej.

Zatem: $|Ω| = 3$ .

Przykład 5

Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą.

Zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia:

$Ω = \{(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)\}$

gdzie:
$(O, O)$ – wyrzucenie orła za pierwszym i drugim razem,
$(O, R)$ – wyrzucenie za pierwszym razem orła, za drugim reszki,
$(R, O)$ – wyrzucenie za pierwszym razem reszki, za drugim orła,
$(R, R)$ – wyrzucenie reszki za pierwszym i drugim razem.

Zauważmy, że zbiór zdarzeń elementarnych ma postać par uporządkowanych.

Zatem $|Ω| = 4$ .

Zdarzenie losowe

Definicja: Zdarzenie losowe

Każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem losowym (zdarzeniem).

Zdarzenia losowe oznaczać będziemy wielkimi literami alfabetu: $A,\ B,\ C,\dots$

Niech $A$ oznacza zdarzenie: w rzucie symetryczną kostką do gry wypadła liczba oczek większa od $4$ .

Powiemy, że zachodzi zdarzenie $A$ , gdy wypadło $5$ lub $6$ oczek.

A = \{5, 6\}

Ponieważ $A \subset Ω$ , gdzie $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , zatem $A$ jest podzbiorem zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych $Ω$ .

Elementy zbioru $A$ nazywamy wynikami sprzyjającymi zdarzeniu $A$ .

Przykład 6

W tym samym doświadczeniu losowym różne zdarzenia losowezdarzenie losowezdarzenia losowe mogą zawierać różne zbiory wyników. Na przykład w rzucie symetryczną kostką do gry.

$A = \{5\}$ – wypadła liczba oczek podzielna przez $5$ ,

$B = \{1, 3, 5\}$ – wypadła nieparzysta liczba oczek,

$C = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ – wypadła liczba oczek mniejsza od $6$ .

Zdarzenie pewne

Definicja: Zdarzenie pewne

Zdarzeniem pewnym $A$ , gdzie $A \subset Ω$ , nazywamy zdarzenie losowe, któremu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne, tworzące zbiór $Ω$ .

Zauważmy, że jeśli zdarzenie losowezdarzenie losowezdarzenie losowe $A$ jest zdarzeniem pewnym, to $A = Ω$ .

Zdarzenie niemożliwe

Definicja: Zdarzenie niemożliwe

Zdarzeniem niemożliwym $A$ , gdzie $A \subset Ω$ , nazywamy zdarzenie losowe, któremu nie sprzyjają żadne zdarzenia elementarne, tworzące zbiór $Ω$ .

Zauważmy, że jeśli zdarzenie losowe $A$ jest zdarzeniem niemożliwym, to $A = \emptyset$ .

Przykład 7

W rzucie symetryczną kostką do gry:

zdarzenie pewne: wyrzucenie liczby oczek mniejszej od $7$ ,
zdarzenie niemożliwe: wyrzucenie liczby oczek większej od $7$ .

Przykład 8

Ze zbioru $\{1, 3, 7\}$ losujemy dwie cyfry i tworzymy z nich liczbę dwucyfrową.

Zdarzenie pewne: utworzona liczba jest nieparzysta.
Zdarzenie niemożliwe: utworzona liczba jest podzielna przez $5$ .

Słownik

zdarzenie losowe

każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych

Wprowadzenie

Film edukacyjny

Doświadczenie losowe

Zbiór zdarzeń elementarnych

Zdarzenie losowe

Słownik