Przeczytaj

Rozważmy nieskracalne wyrażenia wymierne $\frac{F (x)}{G (x)}$ oraz $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , gdzie $F (x), G (x), P (x), Q (x)$ to wielomiany, przy czym $G (x)$ i $Q (x)$ nie są wielomianami zerowymi.

Aby sprowadzić wyrażenia wymierne $\frac{F (x)}{G (x)}$ i $\frac{P (x)}{Q (x)}$ do wspólnego mianownika:

rozkładamy mianowniki $G (x)$ i $Q (x)$ do postaci iloczynowej (iloczyn wielomianów nierozkładalnych, wielomiany różniące się tylko przemnożeniem przez stałą zapisujemy w tej samej postaci);

wspólnym mianownikiem obu ułamków będzie iloczyn wielomianu $G (x)$ i tych czynników z rozkładu $Q (x)$ , które nie występują w rozkładzie $G (x)$ (uwzględniamy krotności);

rozszerzamy oba ułamki przez odpowiednie czynniki tak, by sprowadzić je do wyznaczonego wspólnego mianownika;

pamiętamy o określeniu założeńokreślenie założeńokreśleniu założeń.

Postępując w powyższy sposób, uzyskamy wspólny mianownik możliwie najmniejszego stopnia.

Wyjaśnimy działanie opisanego algorytmu, analizując kolejne przykłady.

Przykład 1

Sprowadzimy do wspólnego mianownika ułamki.

$\frac{2}{3 x}$ i $\frac{5}{7 x}$

Rozwiązanie

Optymalnym wspólnym mianownikiem będzie $21 x$ .

Mamy $\frac{2}{3 x} = \frac{14}{21 x}$ oraz $\frac{5}{7 x} = \frac{15}{21 x}$ .

Dziedzina wyrażenia algebraicznegodziedzina wyrażenia algebraicznegoDziedzina wyrażenia algebraicznego $x \in ℝ ∖ \{0\}$ .

$\frac{5}{9 x^{2}}$ i $\frac{7}{12 x^{3}}$

Wspólnym mianownikiem będzie wspólna wielokrotność wielomianów $9 x^{2}$ i $12 x^{3}$ . Zauważmy, że $NWW (9; 12) = 36$ , więc optymalny wspólny mianownik w tym przypadku to $36 x^{3}$ .

Rozszerzając odpowiednio ułamki, uzyskujemy $\frac{5}{9 x^{2}} = \frac{20 x}{36 x^{3}}$ i $\frac{7}{12 x^{3}} = \frac{21}{36 x^{3}}$ .

$x \in ℝ ∖ \{0\}$

$\frac{14}{x}$ i $\frac{x}{14}$

Wspólnym mianownikiem jest tu $14 x$ .

Rozszerzając odpowiednio ułamki, uzyskujemy $\frac{14}{x} = \frac{196}{14 x}$ i $\frac{x}{14} = \frac{x^{2}}{14 x}$ .

$x \in ℝ ∖ \{0\}$

Przykład 2

Sprowadzimy do wspólnego mianownika ułamki.

R1KDhi7XJ3UWe

\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 2)}

\frac{x - 4}{(x + 2) (x - 2)}

Zauważmy, że wspólny mianownik to $(x + 3) (x + 2) (x - 2)$ .
$\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 2)} = \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}$
$\frac{x - 4}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}$
Założenia: $x \in ℝ ∖ - 3; - 2; 2)$ .

\frac{x - 1}{(2 x - 6) (x + 4)}

\frac{3 x + 1}{(x - 3) (3 x + 12)}

Zauważmy, że z niektórych nawiasów w mianownikach możemy wyłączyć wspólny czynnik.
$\frac{x - 1}{(2 x - 6) (x + 4)} = \frac{x - 1}{2 (x - 3) (x + 4)}$
$\frac{3 x + 1}{(x - 3) (3 x + 12)} = \frac{3 x + 1}{3 (x - 3) (x + 4)}$
Dzięki takiemu zapisowi widać, że wspólny mianownik to $6 (x - 3) (x + 4)$ .
$\frac{x - 1}{(2 x - 6) (x + 4)} = \frac{3 (x - 1)}{6 (x - 3) (x + 4)}$
$\frac{3 x + 1}{(x - 3) (3 x + 12)} = \frac{2 (3 x + 1)}{6 (x - 3) (x + 4)}$
Założenia: $x \in ℝ ∖ - 4; 3)$ .

\frac{x^{2} - 4}{(5 - x) (3 - x)}

\frac{x^{2} + 1}{(x - 5) (x + 4)}

Zauważmy, że $\frac{x^{2} - 4}{(5 - x) (3 - x)} = \frac{x^{2} - 4}{(x - 5) (x - 3)}$ .
Zatem wspólnym mianownikiem może być iloczyn $(x - 5) (x - 3) (x + 4)$ .
$\frac{x^{2} - 4}{(5 - x) (3 - x)} = \frac{(x^{2} - 4) (x + 4)}{(x - 5) (x - 3) (x + 4)}$
$\frac{x^{2} + 1}{(x - 5) (x + 4)} = \frac{(x^{2} + 1) (x - 3)}{(x - 5) (x + 4) (x - 3)}$
Założenia: $x \in ℝ ∖ - 4; 3; 5)$ .

$\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ i $\frac{x - 4}{(x + 2) (x - 2)}$

Zauważmy, że wspólny mianownik to $(x + 3) (x + 2) (x - 2)$ .
$\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 2)} = \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}$
$\frac{x - 4}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}$
Założenia: $x \in ℝ ∖ ""- 3; - 2; 2)$ .

$\frac{x - 1}{(2 x - 6) (x + 4)}$ i $\frac{3 x + 1}{(x - 3) (3 x + 12)}$

Zauważmy, że z niektórych nawiasów w mianownikach możemy wyłączyć wspólny czynnik.
$\frac{x - 1}{(2 x - 6) (x + 4)} = \frac{x - 1}{2 (x - 3) (x + 4)}$
$\frac{3 x + 1}{(x - 3) (3 x + 12)} = \frac{3 x + 1}{3 (x - 3) (x + 4)}$
Dzięki takiemu zapisowi widać, że wspólny mianownik to $6 (x - 3) (x + 4)$ .
$\frac{x - 1}{(2 x - 6) (x + 4)} = \frac{3 (x - 1)}{6 (x - 3) (x + 4)}$
$\frac{3 x + 1}{(x - 3) (3 x + 12)} = \frac{2 (3 x + 1)}{6 (x - 3) (x + 4)}$
Założenia: $x \in ℝ ∖ ""- 4; 3)$ .

$\frac{x^{2} - 4}{(5 - x) (3 - x)}$ i $\frac{x^{2} + 1}{(x - 5) (x + 4)}$

Zauważmy, że $\frac{x^{2} - 4}{(5 - x) (3 - x)} = \frac{x^{2} - 4}{(x - 5) (x - 3)}$ .
Zatem wspólnym mianownikiem może być iloczyn $(x - 5) (x - 3) (x + 4)$ .
$\frac{x^{2} - 4}{(5 - x) (3 - x)} = \frac{(x^{2} - 4) (x + 4)}{(x - 5) (x - 3) (x + 4)}$
$\frac{x^{2} + 1}{(x - 5) (x + 4)} = \frac{(x^{2} + 1) (x - 3)}{(x - 5) (x + 4) (x - 3)}$
Założenia: $x \in ℝ ∖ ""- 4; 3; 5)$ .

W przedstawionych rozwiązaniach mianownik, a czasem też licznik są zwykle pozostawione w postaci iloczynowejpostać iloczynowa wielomianupostaci iloczynowej. W razie potrzeby można je przekształcić do innej formy.

Przykład 3

Sprowadzimy do wspólnego mianownika poniższe ułamki.

RpwfrBqJQ69tj

\frac{x + 3}{4 x^{2} - 28 x}

\frac{5 x - 1}{6 x^{3} - 42 x^{2}}

Zapiszmy mianowniki ułamków w postaci iloczynowej.
$\frac{x + 3}{4 x^{2} - 28 x} = \frac{x + 3}{4 x (x - 7)}$
$\frac{5 x - 1}{6 x^{3} - 42 x^{2}} = \frac{5 x - 1}{6 x^{2} (x - 7)}$
Możemy zauważyć, że wspólnym mianownikiem będzie iloczyn $12 x^{2} (x - 7)$ .
Rozszerzmy odpowiednio ułamki, sprowadzając je do wspólnego mianownika.
$\frac{x + 3}{4 x^{2} - 28 x} = \frac{3 x (x + 3)}{12 x^{2} (x - 7)}$
$\frac{5 x - 1}{6 x^{3} - 42 x^{2}} = \frac{2 (5 x - 1)}{12 x^{2} (x - 7)}$
Założenia: x∈ℝ∖0;7., 2x2+736x2+42x-18 i 3x2-430x2-55x+15
- Zapiszmy mianowniki ułamków w postaci iloczynowej.
  $\frac{2 x^{2} + 7}{36 x^{2} + 42 x - 18} = \frac{2 x^{2} + 7}{6 (3 x - 1) (2 x + 3)}$
  $\frac{3 x^{2} - 4}{30 x^{2} - 55 x + 15} = \frac{3 x^{2} - 4}{5 (3 x - 1) (2 x - 3)}$
- Przy takim zapisie łatwo zauważyć, że wspólnym mianownikiem może być wyrażenie $30 (3 x - 1) (2 x + 3) (2 x - 3)$ .
- Rozszerzmy zatem odpowiednio ułamki, sprowadzając je do wspólnego mianownika.
  $\frac{2 x^{2} + 7}{36 x^{2} + 42 x - 18} = \frac{5 (2 x^{2} + 7) (2 x - 3)}{30 (3 x - 1) (2 x + 3) (2 x - 3)}$
  $\frac{3 x^{2} - 4}{30 x^{2} - 55 x + 15} = \frac{6 (3 x^{2} - 4) (2 x + 3)}{30 (3 x - 1) (2 x + 3) (2 x - 3)}$
- Założenia: $x \in ℝ ∖ - \frac{3}{2}; \frac{1}{3}; \frac{3}{2})$ .

$\frac{x + 3}{4 x^{2} - 28 x}$ i $\frac{5 x - 1}{6 x^{3} - 42 x^{2}}$

Zapiszmy mianowniki ułamków w postaci iloczynowej.
$\frac{x + 3}{4 x^{2} - 28 x} = \frac{x + 3}{4 x (x - 7)}$
$\frac{5 x - 1}{6 x^{3} - 42 x^{2}} = \frac{5 x - 1}{6 x^{2} (x - 7)}$
Możemy zauważyć, że wspólnym mianownikiem będzie iloczyn $12 x^{2} (x - 7)$ .
Rozszerzmy odpowiednio ułamki, sprowadzając je do wspólnego mianownika.
$\frac{x + 3}{4 x^{2} - 28 x} = \frac{3 x (x + 3)}{12 x^{2} (x - 7)}$
$\frac{5 x - 1}{6 x^{3} - 42 x^{2}} = \frac{2 (5 x - 1)}{12 x^{2} (x - 7)}$
Założenia: $x \in ℝ ∖ ""0; 7)$ .
$\frac{2 x^{2} + 7}{36 x^{2} + 42 x - 18}$ i $\frac{3 x^{2} - 4}{30 x^{2} - 55 x + 15}$
- Zapiszmy mianowniki ułamków w postaci iloczynowej.
  $\frac{2 x^{2} + 7}{36 x^{2} + 42 x - 18} = \frac{2 x^{2} + 7}{6 (3 x - 1) (2 x + 3)}$
  $\frac{3 x^{2} - 4}{30 x^{2} - 55 x + 15} = \frac{3 x^{2} - 4}{5 (3 x - 1) (2 x - 3)}$
- Przy takim zapisie łatwo zauważyć, że wspólnym mianownikiem może być wyrażenie $30 (3 x - 1) (2 x + 3) (2 x - 3)$ .
- Rozszerzmy zatem odpowiednio ułamki, sprowadzając je do wspólnego mianownika.
  $\frac{2 x^{2} + 7}{36 x^{2} + 42 x - 18} = \frac{5 (2 x^{2} + 7) (2 x - 3)}{30 (3 x - 1) (2 x + 3) (2 x - 3)}$
  $\frac{3 x^{2} - 4}{30 x^{2} - 55 x + 15} = \frac{6 (3 x^{2} - 4) (2 x + 3)}{30 (3 x - 1) (2 x + 3) (2 x - 3)}$
- Założenia: $x \in ℝ ∖ ""- \frac{3}{2}; \frac{1}{3}; \frac{3}{2})$ .

Przykład 4

Sprowadzimy do wspólnego mianownika ułamki.

R115O3Mve1rt4

\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4}

\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 4 x + 4}

Zapiszmy mianowniki w postaci iloczynowej. Zauważmy, że warto również zamienić na iloczyn licznik pierwszego ułamka, co pozwoli na jego skrócenie:
$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4} = \frac{(x - 2)^{2}}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{x - 2}{x + 2}$
$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{x^{2} + 2}{(x + 2)^{2}}$
Teraz możemy zauważyć, że optymalny wspólny mianownik to $(x + 2)^{2}$ .
$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x + 2)^{2}}$
Drugi ułamek pozostaje w postaci $\frac{x^{2} + 2}{(x + 2)^{2}}$ ;
Założenia: $x \in ℝ -$
(pamiętajmy, by podając założenia uwzględnić sytuację początkową - przed skracaniem przez $x - 2$ )

\frac{3 x^{3} - x^{2}}{x^{5} - 16 x^{3}}

\frac{4 x^{2} - 12 x - 16}{2 x^{2} - 16 x + 32}

Po zapisaniu liczników i mianowników w postaci iloczynowej ułamki możemy skrócić.
$\frac{3 x^{3} - x^{2}}{x^{5} - 16 x^{3}} = \frac{x^{2} (3 x - 1)}{x^{3} (x^{2} - 16)} = \frac{x^{2} (3 x - 1)}{x^{3} (x - 4) (x + 4)} = \frac{3 x - 1}{x (x - 4) (x + 4)}$
$\frac{4 x^{2} - 12 x - 16}{2 x^{2} - 16 x + 32} = \frac{4 (x^{2} - 3 x - 4)}{2 (x^{2} - 8 x + 16)} = = \frac{4 (x - 4) (x + 1)}{2 (x - 4)^{2}} = \frac{2 (x + 1)}{x - 4}$
Zatem wspólnym mianownikiem może być iloczyn $x (x - 4) (x + 4)$ .
$\frac{3 x^{3} - x^{2}}{x^{5} - 16 x^{3}} = \frac{3 x - 1}{x (x - 4) (x + 4)}$
$\frac{4 x^{2} - 12 x - 16}{2 x^{2} - 16 x + 32} = \frac{2 x (x + 1) (x + 4)}{x (x - 4) (x + 4)}$ ;
Założenia: $x \in ℝ -$

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4}$ i $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$

Zapiszmy mianowniki w postaci iloczynowej. Zauważmy, że warto również zamienić na iloczyn licznik pierwszego ułamka, co pozwoli na jego skrócenie.
$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{x - 2}{x + 2}$
$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{x^{2} + 2}{{(x + 2)}^{2}}$
Teraz możemy zauważyć, że optymalny wspólny mianownik to ${(x + 2)}^{2}$ .
$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$
Drugi ułamek pozostaje w postaci $\frac{x^{2} + 2}{{(x + 2)}^{2}}$ .
Założenia: $x \in ℝ ∖ ""- 2; 2)$ .
(Pamiętajmy, by podając założenia, uwzględnić sytuację początkową - przed skracaniem przez $x - 2$ ).

$\frac{3 x^{3} - x^{2}}{x^{5} - 16 x^{3}}$ i $\frac{4 x^{2} - 12 x - 16}{2 x^{2} - 16 x + 32}$

Po zapisaniu liczników i mianowników w postaci iloczynowej ułamki możemy skrócić.
$\frac{3 x^{3} - x^{2}}{x^{5} - 16 x^{3}} = \frac{x^{2} (3 x - 1)}{x^{3} (x^{2} - 16)} = \frac{x^{2} (3 x - 1)}{x^{3} (x - 4) (x + 4)} = \frac{3 x - 1}{x (x - 4) (x + 4)}$
$\frac{4 x^{2} - 12 x - 16}{2 x^{2} - 16 x + 32} = \frac{4 (x^{2} - 3 x - 4)}{2 (x^{2} - 8 x + 16)} = \frac{4 (x - 4) (x + 1)}{2 {(x - 4)}^{2}} = \frac{2 (x + 1)}{x - 4}$
Zatem wspólnym mianownikiem może być iloczyn $x (x - 4) (x + 4)$ .
$\frac{3 x^{3} - x^{2}}{x^{5} - 16 x^{3}} = \frac{3 x - 1}{x (x - 4) (x + 4)}$
$\frac{4 x^{2} - 12 x - 16}{2 x^{2} - 16 x + 32} = \frac{2 x (x + 1) (x + 4)}{x (x - 4) (x + 4)}$
Założenia: $x \in ℝ ∖ ""- 4; 0; 4)$ .

Słownik

dziedzina wyrażenia algebraicznego

zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie algebraiczne ma sens liczbowy

określenie założeń

podanie dla wszystkich zmiennych występujących w wyrażeniu warunków, przy których wyrażenie ma sens, np.:

mianowniki ułamków i liczby, przez które dzielimy, muszą być różne od zera;
pierwiastki stopnia parzystego nie są określone dla liczb ujemnych;
podstawa logarytmu i liczba logarytmowana muszą być dodatnie, ponadto podstawa logarytmu musi być różna od $1$ ;
nie można podnosić zera do potęgi o wykładniku $0$

postać iloczynowa wielomianu

jeżeli wielomian $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots$ stopnia $n$ ma $n$ pierwiastków $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ , to można go zapisać w postaci iloczynowej $W (x) = a_{n} (x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots (x - x_{n})$

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik