Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Nierówność wielomianowa
Definicja: Nierówność wielomianowa

Nierównością wielomianową stopnia n nazywamy każdą z nierówności postaci:

Wx>0 lub Wx0 lub Wx<0 lub Wx0

gdzie:
W – jest wielomianem stopnia n.

Aby rozwiązać nierówność wielomianową postępujemy podobnie, jak podczas rozwiązywania równań. Jeżeli nierówność jest przedstawiona w postaci iloczynowej, obliczamy  pierwiastki odpowiednich równań, a następnie za pomocą siatki znaków lub metodą graficzną odczytujemy, dla jakich x przyjmuje  nierówność żądane wartości.

Przykład 1

Udowodnimy, że nierówność wielomianowa x4+2x4+x2<0 nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

x4+2x4+x2<0

Wyłączymy przed nawias jednomian x2.

x2x2+2x+1<0

x2x+12<0

Szkicujemy wykres wielomianu Wx=x2x+12, obliczając najpierw miejsca zerowe wielomianu  Wx.

x2x+12=0

x=0 lub x=-1

Oba pierwiastki wielomianu Wx są podwójne, więc wykres jest styczny do osi X.

RHpkF6HOg0oOG
x

Nierówność nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Przykład 2

Wykażemy, że zbiór rozwiązań nierówności x4-12x3+52x2-96x+640 składa się z dwóch kolejnych liczb parzystych.

Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej tak, abyśmy mogli pogrupować wyrazy i wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.

x42x310x3+20x2+32x264x32x+640

x3x-2-10x2x-2+32xx-2-32x-20

x-2x3-10x2+32x-320

x-2x3-2x2-8x2+16x+16x-320

x-2x2x-2-8xx-2+16x-20

x-2x-2x2-8x+160

x-22x-420

x=2 lubx=4

R1IsGjtx7qUUe
x2, 4

Zatem zbiór rozwiązań nierówności składa się z dwóch kolejnych liczb parzystych.

Przykład 3

Wykażemy, że nierówność wielomianowanierówność wielomianowanierówność wielomianowa x8+x6-2x5-2x3+x2+10 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

x8+x6-2x5-2x3+x2+10

x2x6-2x3+1+x6-2x3+10

x6-2x3+1x2+10

x3-12x2+10

Ustalimy znak iloczynu na podstawie znaków czynników.

Wyrażenie x3-120, bo kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną.

Suma algebraiczna x2+1>0, bo suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodatnia. Iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej jest liczba nieujemną.

Zatem nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

Przykład 4

Wykażemy, że nierówność x4-3x2-4x+90 jest sprzeczna dla każdego x.

Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej.

x4-4x2+4+x2-4x+4+10

x2-22+x-22+10

Lewa strona nierówności przyjmuje zawsze wartości dodatnie, bo x2-220x-220. Po dodaniu liczby 1 wynik będzie dodatni.

Zatem nierówność nie posiada rozwiązania.

Przykład 5

Wykażemy, że dla k=3 zbiorem rozwiązań nierówności wielomianowej x-3x2-2kx+k20 jest zbiór 3, .

Dla k=3 otrzymujemy :

x-3x2-6x+90

x-3x-320

x-330

R1T1HDCP3Cl2X
x3, 
Przykład 6

Wykażemy, że dla dowolnego m0 równanie -m2x2+m2+2x+m2-1=0 ma dwa różne rozwiązania.

Aby równanie kwadratowe miało dwa różne rozwiązania >0. Zatem musimy rozwiązać pewną nierówność wielomianową.

=m2+22+4m2m2-1=m4+4m2+4+4m4-4m2=5m4+4.

Wyrażenie 5m4+4>0 dla dowolnego m.

Zatem dla m0 równanie ma dwa różne rozwiązania.

Słownik

nierówność wielomianowa
nierówność wielomianowa

każda z nierówności  postaci:

Wx>0 lub Wx0 lub Wx<0 lub Wx0

gdzie:
W – jest wielomianem stopnia n