Przeczytaj
Nierównością wielomianową stopnia nazywamy każdą z nierówności postaci:
lub lub lub ,
gdzie:
– jest wielomianem stopnia .
Aby rozwiązać nierówność wielomianową, postępujemy podobnie, jak podczas rozwiązywania równań. Jeżeli nierówność jest przedstawiona w postaci iloczynowej, obliczamy pierwiastki odpowiednich równań, a następnie za pomocą siatki znaków lub metodą graficzną odczytujemy, dla jakich przyjmuje nierówność żądane wartości.
Udowodnimy, że nierówność wielomianowa nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Wyłączymy przed nawias jednomian .
Szkicujemy wykres wielomianu , obliczając najpierw miejsca zerowe wielomianu .
lub
Oba pierwiastki wielomianu są podwójne, więc wykres jest styczny do osi .
Nierówność nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Wykażemy, że zbiór rozwiązań nierówności składa się z dwóch kolejnych liczb parzystych.
Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej tak, abyśmy mogli pogrupować wyrazy i wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.
lub
Zatem zbiór rozwiązań nierówności składa się z dwóch kolejnych liczb parzystych.
Wykażemy, że nierówność wielomianowanierówność wielomianowa jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.
Ustalimy znak iloczynu na podstawie znaków czynników.
Wyrażenie , bo kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną.
Suma algebraiczna , bo suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodatnia. Iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej jest liczba nieujemną.
Zatem nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.
Wykażemy, że nierówność jest sprzeczna dla każdego .
Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej.
Lewa strona nierówności przyjmuje zawsze wartości dodatnie, bo i . Po dodaniu liczby wynik będzie dodatni.
Zatem nierówność nie posiada rozwiązania.
Wykażemy, że dla zbiorem rozwiązań nierówności wielomianowej jest zbiór .
Dla otrzymujemy :
Wykażemy, że dla dowolnego równanie ma dwa różne rozwiązania.
Aby równanie kwadratowe miało dwa różne rozwiązania . Zatem musimy rozwiązać pewną nierówność wielomianową.
.
Wyrażenie dla dowolnego .
Zatem dla równanie ma dwa różne rozwiązania.
Słownik
każda z nierówności postaci:
lub lub lub ,
gdzie:
– jest wielomianem stopnia