Przeczytaj
Na początek przypomnimy wszystkie wzory, z których będziemy korzystać.
Dla dowolnych zachodzą następujące wzory:
.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych spełniających warunki , , , gdzie , zachodzi wzór:
.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych spełniających warunki , , , gdzie , zachodzi wzór:
.
Teraz pokażemy kilka typowych zadań, w których możemy wykorzystać zaprezentowane powyżej wzory.
Obliczymy , przy założeniu, że
i .
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru na cosinus różnicy argumentów zapisujemy:
Ponieważ , więc .
Wyliczamy korzystając z jedynki trygonometryczejjedynki trygonometryczej:
.
Obliczamy zatem wartość wyrażenie: .
Obliczymy wartość wyrażenia: .
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzorów redukcyjnychwzorów redukcyjnych zapisujemy:
,
,
.
Zatem wyrażenie przyjmuje wartość:
.
Zauważmy, że
.
Wobec tego otrzymujemy:
.
W tej sytuacji możemy wykorzystać wzór i zapisać powstałe wyrażenie jako cosinus sumy:
.
Obliczymy przy założeniu, że i i .
Rozwiązanie:
Ponieważ , zatem .
Wobec tego możemy wyliczyć :
,
a następnie:
.
Pozostaje teraz zastosować wzór na tangens różnicy argumentów:
.
Uzasadnimy, że wartość wyrażenia: nie zależy od wartości kąta .
Korzystając ze wzorów na cosinus różnicy argumentów oraz ze wzorów redukcyjnych policzmy:
.
Korzystając ze wzorów na cosinus sumy argumentów oraz ze wzorów redukcyjnych policzmy:
.
Wykorzystując powyższe obliczenia możemy już policzyć wartość wyrażenia z zadania:
.
Obliczenia pokazują, że wyrażenie , czyli nie zależy od wartości kąta .
Słownik
podstawowa tożsamość trygonometryczna: dla każdej liczby rzeczywistej spełniona jest równość:
zależności pozwalające wyliczać wartości funkcji trygonometryczne argumentu różniącego się od danego argumentu o całkowitą wielokrotność