Przeczytaj
Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej, liczba jest zawsze nieujemna.
Funkcję określoną wzorem oraz definiujemy w postaci:
dla ,
dla .
Analogicznie definiuje się , gdy .
Wykres funkcjiprzekształcenie wykresu funkcji Wykres funkcjiprzekształcenie wykresu funkcji dla znaduje się zawsze w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.
Wynika to z faktu, że wartość bezwględna przyjmuje tylko wartości nieujemne.
Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem .
W tym celu posłużymy się wykresem funkcji określonej wzorem .
Wartości dla wybranych argumentów funkcji i przedstawimy w tabeli:
Wykresy tych funkcji przedstawiono na poniższym rysunku:
Przy szkicowaniu wykresu funkcji należy:
pozostawić bez zmian tę część wykresu, która znajduje się nad osią ,
odbić symetrycznie względem osi tę część wykresu, która znajduje się pod osią odciętych.
Analizując wzory oraz wykresy tych funkcji możemy zauważyć, że:
dla wykresy funkcji i są symetryczne względem osi układu współrzędnych,
zbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zaś zbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych,
funkcja jest rosnąca, a funkcja jest przedziałami monotoniczna: dla jest malejąca, dla jest rosnąca.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem .
Z wykresu odczytamy:
a) zbiór wartości tej funkcji,
b) wartość funkcji dla argumentu ,
c) przedziały monotoniczności tej funkcji.
Rozwiązanie:
a) Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór .
b) Wartość funkcji dla argumentu wynosi .
c) Funkcja jest malejąca w przedziale oraz rosnąca w przedziale .
Dana jest funkcja określona wzorem . Wyznaczymy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość .
Dziedziną tej funkcji jest zbiór .
W celu wyznaczenia argumentów, dla których wartość funkcji wynosi rozwiążemy równanie .
Zatem lub .
Rozwiązaniami równań są odpowiednio liczby: lub . Zatem funkcja przyjmuje wartość dla argumentów oraz .
Jeżeli podane są współrzędne punktu, różnego od , który należy do wykresu funkcji logarytmicznej złożonej z funkcją wartość bezwzględna, wówczas możemy wyznaczyć jej wzór oraz własności.
Do wykresu funkcji określonej wzorem należy punkt o współrzędnych .
Wyznaczymy wzór tej funkcji i obliczymy wartość funkcji dla argumentu .
W celu wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
.
Zatem lub .
Rozwiązaniem równań są odpowiednio liczby lub .
Funkcja może być w związku z tym opisana za pomocą wzorów lub .
Zatem lub .
Na wykresie przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem .
Wyznaczymy:
a) wartość ,
b) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości większe od .
Rozwiązanie:
a) Do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych i .
W celu wyznaczenia wartości rozwiążemy równanie:
, zatem .
Stąd lub .
Dla punkt o współrzędnych nie należy do wykresu tej funkcji, bo , zatem funkcja jest określona za pomocą wzoru .
b) Z wykresu możemy odczytać, że dla .
Słownik
funkcja określona wzorem , gdzie oraz
odbicie symetryczne względem osi tej części wykresu, która znajduje się pod osią