Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Na lekcji zapoznamy się z przykładami nierówności z funkcją tangens. Będziemy w szczególności rozwiązywać nierówności z wartością bezwzględną. Przypomnijmy zatem, jak rozwiązujemy takie nierówności.

Podstawową metodą jest rozważanie przypadków.

Zatem każdą wartość bezwzględną rozważamy w dwóch przypadkach w zależności od tego, jakiego znaku jest wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną.

Na przykład wyrażenie |2x-3| można zapisać następująco:

2x-3 dla x32

oraz

3-2x dla x<32.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność tg2xtgπ2+x0.

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia.

Aby istniał tg2x: xπ4+kπ2, gdzie k.

Aby istniał tgπ2+x: π2+xπ2+kπ, gdzie k.

Rysujemy dwa wykresy funkcji y=tg2x oraz y=tgπ2+x i odczytujemy dla jakich argumentów we wspólnej dziedzinie funkcje y=tg2xy=tgπ2+x mają ten sam znak lub jedna z nich przyjmuje wartość 0.

Wykres funkcji y=tg2x otrzymujemy przekształcając wykres funkcji y=tgx w powinowactwie o osi Y i skali 12.

Wykres funkcji y=tg(π2+x) otrzymujemy przekształcając wykres funkcji y=tgx w przesunięciu o wektor [π2,0].

Okresem zasadniczym funkcji y=tg2x jest T1=π2. Okresem zasadniczym funkcji y=tgπ2+x jest T2=π. Zatem możemy rozwiązać nierówność na przedziale o długości π np. 0,π, a następnie uogólnić na całą dziedzinę.

R16lCkwVkOexU

Z wykresów odczytujemy rozwiązanie nierównościrozwiązanie nierównościrozwiązanie nierówności π4+kπ,3π4+kπ, gdzie k.

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność tgπ-xtgx>3.

Rozwiązanie

Najpierw, korzystając ze wzorów redukcyjnych zapiszmy, że tgπ-x=-tgx.

Nierówność przyjmuje postać -tgxtgx>3, czyli tgxtgx<-3.

Zauważmy, że jeżeli tgx0, to nierówność nie jest spełniona dla żadnego argumentu.

Jeżeli tgx<0, to nierówność z zadania przyjmuje postać tg2x>3. Zatem w połączeniu z założeniem tgx<0 otrzymujemy nierówność tgx<-3.

Zatem rozwiązaniem jest zbiór -π2+kπ,-π3+kπ, gdzie k.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność tgx+2<2tgx+1.

Rozwiązanie

Rozważmy dwa przypadki.

Przypadek 1

Niech tgx+20.

Wówczas nierówność przyjmuje postać tgx+2<2tgx+1.

Po uwzględnieniu założenia tgx+20 dostajemy 1<tgx.

Rozwiązaniem nierówności w przypadku 1. jest zbiór π4+kπ,π2+kπ, gdzie k.

Przypadek 2

Niech tgx+2<0.

Wówczas nierówność przyjmuje postać -tgx-2<2tgx+1.

Dostajemy -3<3tgx, czyli -1<tgx.

Przy założeniu, że tgx+2<0 otrzymujemy sprzeczność.

Zatem rozwiązaniem nierówności jest zbiór π4+kπ,π2+kπ, gdzie k.

W przykładzie 4 zaprezentujemy metodę podstawiania. Metodę tę stosujemy wtedy, gdy nierówność np. trygonometryczną możemy sprowadzić do nierówności wielomianowej poprzez podstawienie w miejsce funkcji trygonometrycznej nowej zmiennej. Oczywiście, po zakończeniu rozwiazywania nierówności z nową zmienną, należy rozwiązać odpowiednie proste nierówności trygonometryczne.

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność 2tgx1-tg2x>3.

Rozwiązanie

Przenieśmy wyrażenie z prawej strony nierówności i sprowadźmy do wspólnego mianownika

2tgx-31-tg2x1-tg2x>0.

Nierówność jest równoważna nierówności

3tg2x+2tgx-31-tg2x>0.

Podstawmy t=tgx.

Otrzymujemy nierówność wielomianową

3t2+2t-31-t2>0.

Znajdujemy pierwiastki trójmianu 3t2+2t-3.

Δ=4+4·3·3=16

t=-2-423=-3 lub t=-2+423=33

Zatem wielomian Wt=3t2+2t-31-t2 ma pierwiastki 1, -1, -3, 33.

Rysujemy wykres wielomianu Wt.

RNW4gIZ2KqzyC

Rozwiązaniem nierówności 3t2+2t-31-t2>0 jest zbiór -3,-133,1.

Zatem -3<tgx<-1 lub 33<tgx<1.

Stąd otrzymujemy rozwiązanie nierówności 2tgx1-tg2x>3, -π3+kπ,-π4+kππ6+kπ,π4+kπ, gdzie k.

Słownik

rozwiązanie nierówności
rozwiązanie nierówności

zbiór wszystkich elementów dziedziny nierówności, które spełniają tę nierówność