Przeczytaj
Na lekcji zapoznamy się z przykładami nierówności z funkcją tangens. Będziemy w szczególności rozwiązywać nierówności z wartością bezwzględną. Przypomnijmy zatem, jak rozwiązujemy takie nierówności.
Podstawową metodą jest rozważanie przypadków.
Zatem każdą wartość bezwzględną rozważamy w dwóch przypadkach w zależności od tego, jakiego znaku jest wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną.
Na przykład wyrażenie można zapisać następująco:
dla
oraz
dla .
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie
Zapiszmy założenia.
Aby istniał : , gdzie .
Aby istniał : , gdzie .
Rysujemy dwa wykresy funkcji oraz i odczytujemy dla jakich argumentów we wspólnej dziedzinie funkcje i mają ten sam znak lub jedna z nich przyjmuje wartość .
Wykres funkcji otrzymujemy przekształcając wykres funkcji w powinowactwie o osi i skali .
Wykres funkcji otrzymujemy przekształcając wykres funkcji w przesunięciu o wektor .
Okresem zasadniczym funkcji jest . Okresem zasadniczym funkcji jest . Zatem możemy rozwiązać nierówność na przedziale o długości np. , a następnie uogólnić na całą dziedzinę.
Z wykresów odczytujemy rozwiązanie nierównościrozwiązanie nierówności , gdzie .
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie
Najpierw, korzystając ze wzorów redukcyjnych zapiszmy, że .
Nierówność przyjmuje postać , czyli .
Zauważmy, że jeżeli , to nierówność nie jest spełniona dla żadnego argumentu.
Jeżeli , to nierówność z zadania przyjmuje postać . Zatem w połączeniu z założeniem otrzymujemy nierówność .
Zatem rozwiązaniem jest zbiór , gdzie .
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie
Rozważmy dwa przypadki.
Przypadek 1
Niech .
Wówczas nierówność przyjmuje postać .
Po uwzględnieniu założenia dostajemy .
Rozwiązaniem nierówności w przypadku 1. jest zbiór , gdzie .
Przypadek 2
Niech .
Wówczas nierówność przyjmuje postać .
Dostajemy , czyli .
Przy założeniu, że otrzymujemy sprzeczność.
Zatem rozwiązaniem nierówności jest zbiór , gdzie .
W przykładzie 4 zaprezentujemy metodę podstawiania. Metodę tę stosujemy wtedy, gdy nierówność np. trygonometryczną możemy sprowadzić do nierówności wielomianowej poprzez podstawienie w miejsce funkcji trygonometrycznej nowej zmiennej. Oczywiście, po zakończeniu rozwiazywania nierówności z nową zmienną, należy rozwiązać odpowiednie proste nierówności trygonometryczne.
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie
Przenieśmy wyrażenie z prawej strony nierówności i sprowadźmy do wspólnego mianownika
.
Nierówność jest równoważna nierówności
.
Podstawmy .
Otrzymujemy nierówność wielomianową
.
Znajdujemy pierwiastki trójmianu .
lub
Zatem wielomian ma pierwiastki , , , .
Rysujemy wykres wielomianu .
Rozwiązaniem nierówności jest zbiór .
Zatem lub .
Stąd otrzymujemy rozwiązanie nierówności , , gdzie .
Słownik
zbiór wszystkich elementów dziedziny nierówności, które spełniają tę nierówność