Ponieważ dla dowolnej liczby z dziedziny ${\mathrm{tg}}^{2}x>0$, zatem możemy nierówność

${\mathrm{tg}}^{2}x+\frac{1}{{\mathrm{tg}}^{2}x}\ge 2$

pomnożyć stronami przez ${\mathrm{tg}}^{2}x$. Otrzymujemy wówczas

${\mathrm{tg}}^{4}x+1\ge 2{\mathrm{tg}}^{2}x$.

Przenosząc wszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności otrzymujemy

${\mathrm{tg}}^{4}x-2{\mathrm{tg}}^{2}x+1\ge 0$.

Zauważamy, że lewą stronę możemy zamienić na kwadrat różnicy wyrażeń

${\left({\mathrm{tg}}^{2}x-1\right)}^2\ge 0$,

co jest prawdą dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne \frac{k\pi }{2}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Ponieważ wszystkie przejścia były równoważne, udowodniliśmy tezę zadania.