Robimy podstawienie $t={\mathrm{tg}}^{2}x$.

Otrzymujemy nierówność wielomianową

$t^3-7t-6\le 0$.

Pierwiastkami wymiernymi wielomianu $W\left(t\right)=t^3-7t-6$ mogą być dzielniki liczby $\left(-6\right)$: $1$, $\left(-1\right)$, $2$, $\left(-2\right)$, $3$, $\left(-3\right)$, $6$, $\left(-6\right)$.

Łatwo sprawdzić, że liczba $(-1)$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(t\right)=t^3-7t-6$.

Zatem rozkład na czynniki ma postać $W\left(t\right)=\left(t+1\right)\left(t^2-t-6\right)$, czyli $W\left(t\right)=\left(t+1\right)\left(t-3\right)\left(t+2\right)$.

Stąd mamy nierówność trygonometryczną

$\left({\mathrm{tg}}^{2}x+1\right)\left({\mathrm{tg}}^{2}x-3\right)\left({\mathrm{tg}}^{2}x+2\right)\le 0$,

która sprowadza się do nierówności

$\left({\mathrm{tg}}^{2}x-3\right)\le 0$.

Rozwiązaniem jest zbiór $⟨-\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{\pi }{3}+k\pi ⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiązujemy równanie

$\mathrm{tg}2x=\mathrm{tg}x$ wtedy i tylko wtedy, gdy $2x=x+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Stąd $x=k\pi$.

R1Nv6fI6vna2X

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pi drugich do pi oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji $y=tgx$ oraz wykres drugiej funkcji $y=tg2x$. W przedziale przedstawionym na ilustracji wykresy funkcji przecinają się w dwóch punktach, pierwszym $\left(0; 0\right)$ oraz drugim $\left(\mathrm{\pi }; 0\right)$. Na poziomej osi X pogrubioną linią zaznaczono dwa przedziały $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ oraz $\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}; \mathrm{\pi }\right)$. Przedziały te są możliwymi rozwiązaniami nierówności.

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie $\left(\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\frac{\pi }{2}+\frac{k\pi }{2}\right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.