Przeczytaj

Zaczniemy od porównywania ze sobą potęg o tych samych podstawach.

Przykład 1

$3^{4} < 3^{6}$
${(\frac{3}{4})}^{5} < {(\frac{3}{4})}^{4}$
$2^{- 3} > 2^{- 4}$
${(\frac{2}{3})}^{- 2} < {(\frac{2}{3})}^{- 3}$

Aby rozwiązać powyższe zadanie, możesz po prostu wykonać obliczenia:

$3^{4} = 81$ , $3^{6} = 729$

Zatem $3^{4} = 81 < 729 = 3^{6}$

Podobnie w pozostałych przypadkach.

To zadanie możemy też rozwiązać inaczej. W tym celu skorzystamy z wykresów funkcji wykładniczych.

Funkcja wykładnicza określona jest wzorem:

f (x) = a^{x}

x \in ℝ

a \in (0; 1) \cup (1; + \infty)

Przykładowe wykresy funkcji wykładniczychfunkcja wykładniczafunkcji wykładniczych zobaczysz, wykorzystując widżet “Funkcja wykładnicza”.

Zwróć uwagę, że w tym widżecie niektóre różne ustawienia parametrów $p$ i $q$ generują ten sam wykres. Na przykład dla $p = 2$ i $q = 1$ otrzymamy ten sam wykres co dla $p = 4$ i $q = 2$ i jest to wykres funkcji

$f (x) = {(\frac{4}{2})}^{x} = 2^{x}$ .

Oczywiście dzieje się tak dlatego, że

$\frac{4}{2} = \frac{2}{1}$ .

Do rozwiązania Przykładu 1 możemy posłużyć się wykresami odpowiednich funkcji. Aby porównać ze sobą liczby $3^{4}$ i $3^{6}$ , ustaw wartości suwaków tak, aby podstawa potęgi miała wartość $3$ , np. $p = 6$ , $q = 2$ , zaś argumenty $x_{1} = 4$ , $x_{2} = 6$ . Z wykresu odczytaj, która liczba ma większą wartość:

$f (x_{1}) = f (4) = 3^{4}$ czy $f (x_{2}) = f (6) = 3^{6}$ .
Analogicznie możesz postąpić w pozostałych przypadkach.

Badanie monotoniczności potęgowaniamonotoniczność potęgowaniamonotoniczności potęgowania to po prostu analiza zachowania wartości pewnych wyrażeń w zależności od zmiany argumentów. Zdanie “Przy stałej podstawie większej od $1$ potęga jest tym większa, im większy jest wykładnik” można byłoby wypowiedzieć następująco: “Dla podstawy większej od $1$ funkcja wykładnicza jest rosnąca”. Analogicznie zdanie “Przy stałej podstawie z przedziału $(0, 1)$ potęga jest tym mniejsza, im większy jest wykładnik” można byłoby wypowiedzieć następująco: “Dla podstawy z przedziału $(0, 1)$ funkcja wykładnicza jest malejąca”.

Twierdzenia można uzasadnić nie odwołując się do wykresów funkcji. Jeśli liczbę większą od $1$ podnosimy do potęgi o wykładniku naturalnym, to w istocie mnożymy liczbę większą od $1$ przez liczbę większą od $1$ , co powoduje, że iloczyn się zwiększa. Jeśli liczbę dodatnią mniejszą od $1$ podnosimy do potęgi o wykładniku naturalnym, to w istocie mnożymy liczbę dodatnią mniejszą od $1$ przez liczbę dodatnią mniejszą od $1$ , co powoduje, że iloczyn się zmniejsza.

Dużo trudniej wyciągnąć ogólne wnioski w przypadku potęg o ujemnych podstawach. Funkcje wykładnicze w ogóle nie dopuszczają ujemnych podstaw, zaś porównanie dwóch konkretnych potęg o ujemnych podstawach zazwyczaj wymaga chwili zastanowienia.

Przykład 2

Aby porównać liczby

${(- 5)}^{11}$ i ${(- 5)}^{13}$ ,

możemy zauważyć, że obie liczby są ujemne, w związku z czym ta jest większa, której wartość bezwzględna jest mniejsza (na osi liczbowej leży bliżej zera). Ponieważ

$5^{11} < 5^{13}$ , więc ${(- 5)}^{11} > {(- 5)}^{13}$ .

Aby porównać liczby

${(- \frac{2}{5})}^{15}$ i ${(- \frac{2}{5})}^{13}$ ,

możemy zauważyć, że obie liczby są ujemne, w związku z czym ta jest większa, której wartość bezwzględna jest mniejsza (na osi liczbowej leży bliżej zera). Ponieważ

${(\frac{2}{5})}^{15} < {(\frac{2}{5})}^{13}$ , więc

${(- \frac{2}{5})}^{15} > {(- \frac{2}{5})}^{13}$ .

Przykład 3

Uporządkuj liczby w kolejności rosnącej:

$k = {(\sqrt{3})}^{2 \sqrt{2}}$ , $l = {(\sqrt{3})}^{1 + \sqrt{2}}$ , $m = {(\sqrt{3})}^{π}$ , $n = {(\sqrt{3})}^{- \sqrt{2}}$ , $p = {(\sqrt{3})}^{- 1}$

Aby rozwiązać zadanie, przypomnijmy treść twierdzenia, które orzeka, że jeśli podstawa potęgi jest większa od $1$ , to potęga jest tym większa, im większy jest wykładnik.

Ponieważ $\sqrt{3} > 1$ , więc wystarczy porównać wykładniki podanych potęg. Zauważmy, że:

$2 \sqrt{2} \approx 2, 81 + \sqrt{2} \approx 2, 4 π \approx 3, 14 - \sqrt{2} \approx - 1, 4$

Zatem $- \sqrt{2} < - 1 < 1 + \sqrt{2} < 2 \sqrt{2} < π$ . Wobec tego $n < p < l < k < m$ .

Przykład 4

Aby porównać potęgi, czasami warto najpierw sprowadzić je do takiej postaci, aby miały takie same wykładniki lub podstawy. Na przykład aby porównać liczby $1024^{8}$ i $81^{20}$ , możemy je najpierw przekształcić, korzystając z własności potęg:

$1024^{8} = {(2^{10})}^{8} = 2^{80}$

$81^{20} = {(3^{4})}^{20} = 3^{80}$

Teraz można bez trudu rozstrzygnąć, że

$81^{20} > 1024^{8}$ , bo $3^{80} > 2^{80}$ .

Aby porównać liczby

${(\frac{1}{27})}^{- 47}$ i $234^{28}$ ,

możemy je najpierw przekształcić, korzystając z własności potęg.

${(\frac{1}{27})}^{- 47} = {(3^{- 3})}^{- 47} = 3^{141}$

$234^{28} = {(3^{5})}^{28} = 3^{140}$

Teraz łatwo zauważyć, że

${(\frac{1}{27})}^{- 47} > 234^{28}$ , bo

$3^{141} > 3^{140}$ .

Słownik

funkcja wykładnicza

funkcja opisana wzorem $f (x) = a^{x}$ , $x \in ℝ$ , $a \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$

monotoniczność potęgowania

zachowanie wartości funkcji wykładniczej w zależności od zachowania argumentów. Monotoniczność funkcji wykładniczej można scharakteryzować dwoma zdaniami: Przy stałej podstawie większej od $1$ potęga jest tym większa, im większy jest wykładnik; przy stałej podstawie z przedziału $(0, 1)$ potęga jest tym mniejsza, im większy jest wykładnik

Wprowadzenie

Aplet

Słownik