Zaczniemy od porównywania ze sobą potęg o tych samych podstawach.

Przykład 1
  • 34<36

  • 345<344

  • 2-3>2-4

  • 23-2<23-3

Aby rozwiązać powyższe zadanie, możesz po prostu wykonać obliczenia:

34=81, 36=729

Zatem 34=81<729=36

Podobnie w pozostałych przypadkach.

To zadanie możemy też rozwiązać inaczej. W tym celu skorzystamy z wykresów funkcji wykładniczych.

Funkcja wykładnicza określona jest wzorem:

fx=ax, x, a0;11;+.

Przykładowe wykresy funkcji wykładniczychfunkcja wykładniczafunkcji wykładniczych zobaczysz, wykorzystując widżet “Funkcja wykładnicza”.

Zwróć uwagę, że w tym widżecie niektóre różne ustawienia parametrów p i q generują ten sam wykres. Na przykład dla p=2q=1 otrzymamy ten sam wykres co dla p=4q=2 i jest to wykres funkcji

fx=42x=2x.

Oczywiście dzieje się tak dlatego, że

42=21.

Do rozwiązania Przykładu 1 możemy posłużyć się wykresami odpowiednich funkcji. Aby porównać ze sobą liczby 3436, ustaw wartości suwaków tak, aby podstawa potęgi miała wartość 3, np. p=6, q=2, zaś argumenty x1=4, x2=6. Z wykresu odczytaj, która liczba ma większą wartość:

fx1=f4=34 czy fx2=f6=36.
Analogicznie możesz postąpić w pozostałych przypadkach.

Badanie monotoniczności potęgowaniamonotoniczność potęgowaniamonotoniczności potęgowania to po prostu analiza zachowania wartości pewnych wyrażeń w zależności od zmiany argumentów. Zdanie “Przy stałej podstawie większej od 1 potęga jest tym większa, im większy jest wykładnik” można byłoby wypowiedzieć następująco: “Dla podstawy większej od 1 funkcja wykładnicza jest rosnąca”. Analogicznie zdanie “Przy stałej podstawie z przedziału 0,1 potęga jest tym mniejsza, im większy jest wykładnik” można byłoby wypowiedzieć następująco: “Dla podstawy z przedziału 0,1 funkcja wykładnicza jest malejąca”.

Twierdzenia można uzasadnić nie odwołując się do wykresów funkcji. Jeśli liczbę większą od 1 podnosimy do potęgi o wykładniku naturalnym, to w istocie mnożymy liczbę większą od 1 przez liczbę większą od 1, co powoduje, że iloczyn się zwiększa. Jeśli liczbę dodatnią mniejszą od 1 podnosimy do potęgi o wykładniku naturalnym, to w istocie mnożymy liczbę dodatnią mniejszą od 1 przez liczbę dodatnią mniejszą od 1, co powoduje, że iloczyn się zmniejsza.

Dużo trudniej wyciągnąć ogólne wnioski w przypadku potęg o ujemnych podstawach. Funkcje wykładnicze w ogóle nie dopuszczają ujemnych podstaw, zaś porównanie dwóch konkretnych potęg o ujemnych podstawach zazwyczaj wymaga chwili zastanowienia.

Przykład 2

Aby porównać liczby

-511-513,

możemy zauważyć, że obie liczby są ujemne, w związku z czym ta jest większa, której wartość bezwzględna jest mniejsza (na osi liczbowej leży bliżej zera). Ponieważ

511<513, więc -511>-513.

Aby porównać liczby

-2515-2513,

możemy zauważyć, że obie liczby są ujemne, w związku z czym ta jest większa, której wartość bezwzględna jest mniejsza (na osi liczbowej leży bliżej zera). Ponieważ

2515<2513, więc

-2515>-2513.

Przykład 3

Uporządkuj liczby w kolejności rosnącej:

k=322, l=31+2, m=3π, n=3-2, p=3-1

Aby rozwiązać zadanie, przypomnijmy treść twierdzenia, które orzeka, że jeśli podstawa potęgi jest większa od 1, to potęga jest tym większa, im większy jest wykładnik.

Ponieważ 3>1, więc wystarczy porównać wykładniki podanych potęg. Zauważmy, że:

222,81+22,4π3,14-2-1,4

Zatem -2<-1<1+2<22<π. Wobec tego n<p<l<k<m.

Przykład 4

Aby porównać potęgi, czasami warto najpierw sprowadzić je do takiej postaci, aby miały takie same wykładniki lub podstawy. Na przykład aby porównać liczby 102488120, możemy je najpierw przekształcić, korzystając z własności potęg:

10248=2108=280

8120=3420=380

Teraz można bez trudu rozstrzygnąć, że

8120>10248, bo 380>280.

Aby porównać liczby

127-4723428,

możemy je najpierw przekształcić, korzystając z własności potęg.

127-47=3-3-47=3141

23428=3528=3140

Teraz łatwo zauważyć, że

127-47>23428, bo

3141>3140.

Słownik

funkcja wykładnicza
funkcja wykładnicza

funkcja opisana wzorem fx=ax, x, a0,11,+

monotoniczność potęgowania
monotoniczność potęgowania

zachowanie wartości funkcji wykładniczej w zależności od zachowania argumentów. Monotoniczność funkcji wykładniczej można scharakteryzować dwoma zdaniami: Przy stałej podstawie większej od 1 potęga jest tym większa, im większy jest wykładnik; przy stałej podstawie z przedziału 0,1 potęga jest tym mniejsza, im większy jest wykładnik