Przeczytaj
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną wzorem , gdzie oraz .
Wykresy funkcji określonych wzorami oraz są symetryczne względem osi układu współrzędnych.
Zauważmy, że .
Pary funkcji zapisanych wzorami oraz mają wykresy symetryczne względem osi .
Naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji określonych wzorami oraz .
Z powyższych wykresów oraz własności funkcji wykładniczejfunkcji wykładniczej możemy stwierdzić, że dla funkcji określonej wzorem oraz zachodzą własności:
dziedziną obu funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych,
zbiorem wartości obu funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,
każda z funkcji nie ma miejsc zerowych,
każda z funkcji dla dwóch dowolnych argumentów przyjmuje różne wartości, zatem funkcje są różnowartościowe,
dla funkcja jest rosnąca, zaś funkcja jest malejąca,
dla funkcja jest malejąca, zaś funkcja jest rosnąca.
Określimy własności funkcji funkcji , gdy dana jest funkcja .
Wyznaczymy wzór oraz własności funkcji z wykresu określonej wzorem , gdy funkcja zadana jest wzorem .
Funkcja zadana jest wzorem
.
Wykres funkcji przedstawia się następująco:
Z wykresu możemy odczytać, że:
funkcja jest malejąca,
jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,
dla argumentów mniejszych od funkcja przyjmuje wartości większe od ,
dla argumentów większych od funkcja przyjmuje wartości należące do przedziału .
Wyznaczymy wartości funkcji dla zadanych argumentów, gdy funkcja jest funkcją wykładniczą.
Uporządkujemy rosnąco liczby , , oraz , jeżeli oraz .
Ponieważ , zatem:
.
Funkcja jest rosnąca, bo .
Z faktu, że jest funkcją rosnącą mamy zależność:
.
Mając dane współrzędne punktu, który należy do wykresu funkcji wykładniczej , możemy wyznaczyć wzór funkcji .
Wiadomo, że do wykresu funkcji określonej wzorem należy punkt o współrzędnych .
Wyznaczymy wzór funkcji .
Ponieważ wykresy podanych funkcji są symetryczne względem osi układu współrzędnych, zatem do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych .
Niech , gdzie oraz .
Po podstawieniu współrzędnych punktu do wzoru funkcji otrzymujemy równanie
Zatem wartość wynosi .
Funkcja zadana jest wzorem .
Sprawdzimy, czy funkcje wykładnicze, których wykresy są symetryczne względem osi rzędnych układu współrzędnych, mogą przyjmować tę samą wartość.
Obliczymy, dla jakiego argumentu funkcje określone wzorami i przyjmują tę samą wartość.
W tym celu rozwiążemy równanie:
.
Jeżeli obie strony równania pomnożymy przez , to otrzymamy równanie:
.
Równanie możemy sprowadzić do postaci
.
Wobec faktu, że funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, otrzymujemy równość:
, zatem .
Słownik
funkcja postaci , gdzie oraz
odbicie symetryczne wykresu funkcji względem osi