Warto przeczytać

Inercjalny układ odniesienia.

Zacznijmy od przypomnienia, w jaki sposób rozstrzygamy, czy układ odniesienia jest inercjalny czy nieinercjalny. Rozróżnienie to jest treścią I zasady dynamiki Newtona. Często ujmujemy to skrótowo:

Inercjalny układ odniesienia

Definicja: Inercjalny układ odniesienia

Układ odniesienia jest inercjalny, jeśli obserwowany w tym układzie ruch ciał izolowanychCiało izolowaneciał izolowanych jest zgodny z I zasadą dynamiki Newtona.

R1IaXHqwir4w4

Rys. 1. Ilustracja przedstawia prostokątny układ współrzędnych, narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo. Trzecia oś skierowana jest do osoby, która ogląda ilustracje i wyznacza kierunek w lewo i w dół. Płaszczyzny wyznaczone przez osie zaznaczono w postaci żółtych czworokątów. W układzie widoczne jest ciało w postaci eliptycznego, błękitnego kształtu. Na ciało to działają trzy siły. Siły narysowano w postaci niebieskich strzałek. Pierwsza z sił wielka litera F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor skierowana jest w górę i w lewo. Kolej nas sił wielka litera F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor skierowana jest w górę i w prawo. Ostatnia z sił wielka litera F z indeksem dolnym trzy i strzałką oznaczającą wektor kierowana jest w dół i nieco w prawo. Wszystkie siły przyłożone do ciała w układzie tym równoważą się. Oznacza to, że siła wypadkowa wielka litera F z indeksem dolnym małe litery wyp i strzałką oznaczającą wektor równa się zero. W górnej części ilustracji widoczny jest pomarańczowy napis informujący nas, iż układ, który opisujemy i obserwujemy, jest układem odniesienia inercjalnym. Oznacza to, że jeżeli Wypadkowa sił zewnętrznych działających na ciało w układzie inercjalnym jest równa zero, to ciało nie porusza się z przyspieszeniem. Przyspieszenie działa mała litera a ze strzałką oznaczającą wektor jest równa zero.

Musimy przy tym doprecyzować, że mamy na myśli nieco uproszczoną wersję tej zasady: 
Ciało izolowane porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku.

Tak więc stwierdzenie inercjalnego charakteru układu odniesienia wymaga eksperymentalnego zbadania, czy ruch ciał izolowanychCiało izolowaneciał izolowanych, opisywany w tym układzie, jest jednostajny prostoliniowy. Gdy rozstrzygnięcie jest pozytywne, układ ten uznajemy za inercjalny.

Nieinercjalny układ odniesienia

A co jeśli eksperymentalne badanie ruchu ciała izolowanegoCiało izolowaneciała izolowanego wykaże, że ruch ten jest niejednostajny lub krzywoliniowy? Inaczej: jeśli wykryjemy, że dowolne takie ciało porusza się z niezerowym przyspieszeniem $\vec{a}$? Przyjmujemy wtedy (Rys. 2.), że układ odniesienia, w którym przeprowadzono takie badanie, jest układem nieinercjalnym.

RheiISsCZGWbL

Rys. 2. Ilustracja przedstawia prostokątny układ współrzędnych, narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo. Trzecia oś skierowana jest do osoby, która ogląda ilustracje i wyznacza kierunek w lewo i w dół. Płaszczyzny wyznaczone przez osie zaznaczono w postaci jasnożółtych czworokątów. W układzie widoczne jest ciało w postaci eliptycznego, błękitnego kształtu. Na ciało to działają trzy siły. Siły narysowano w postaci niebieskich strzałek. Pierwsza z sił wielka litera F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor skierowana jest w górę i w lewo. Kolej nas sił wielka litera F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor skierowana jest w górę i w prawo. Ostatnia z sił wielka litera F z indeksem dolnym trzy i strzałką oznaczającą wektor kierowana jest w dół i nieco w prawo. Wszystkie siły przyłożone do ciała w układzie tym równoważą się. Oznacza to, że siła wypadkowa wielka litera F z indeksem dolnym małe litery wyp i strzałką oznaczającą wektor równa się zero. Pomimo tego, że suma sił zewnętrznych działających na ciało jest równa zero, to ciało porusza się z przyspieszeniem ze strzałką oznaczającą wektor. Układ, w którym pomimo zerowania się sił zewnętrznych działających na ciało, ciało porusza się z przyspieszeniem różnym od zera nazywamy układem nie inercjalnym. Przyspieszenie ciała, mała litera, a ze strzałką oznaczającą wektor jest różne od zera.

W często stosowanym uproszczeniu możemy powiedzieć, że układ nieinercjalny to taki, który względem dowolnego układu inercjalnego porusza się ruchem niejednostajnym lub krzywoliniowym. Innymi słowy: można określić niezerowe przyspieszenie $\vec{a}_u$, z jakim układ ten porusza się względem dowolnego układu inercjalnego (Rys. 3.).

RRP0dPaT4nMAC

Rys. 3. Ilustracja przedstawia prostokątny układ współrzędnych, narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo. Trzecia oś skierowana jest do osoby, która ogląda ilustracje i wyznacza kierunek w lewo i w dół. Płaszczyzny wyznaczone przez osie zaznaczono w postaci żółtych czworokątów. Układ ten podpisano jako układ odniesienia inercjalny. Układ inercjalny nie porusza się ruchem przyspieszonym ani opóźnionym. Jego przyspieszenie mała litera, a ze strzałką oznaczającą wektor jest równe zero. Wewnątrz układu mineralnego widoczny jest drugi prostokątny układ Współrzędnych. Oś pionowa układu skierowana jest w górę. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo. Trzecia oś skierowana jest do osoby, która ogląda ilustracje i wyznacza kierunek w lewo i w dół. Płaszczyzny wyznaczone przez osie zaznaczono w postaci jasnożółtych czworokątów. W układzie widoczne jest ciało w postaci eliptycznego, błękitnego kształtu. Na ciało to działają trzy siły. Siły narysowano w postaci niebieskich strzałek. Pierwsza z sił wielka litera F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor skierowana jest w górę i w lewo. Kolej nas sił wielka litera F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor skierowana jest w górę i w prawo. Ostatnia z sił wielka litera F z indeksem dolnym trzy i strzałką oznaczającą wektor kierowana jest w dół i nieco w prawo. Wszystkie siły przyłożone do ciała w układzie tym równoważą się. Oznacza to, że siła wypadkowa wielka litera F z indeksem dolnym małe litery wyp i strzałką oznaczającą wektor równa się zero. Z początku układu wewnętrznego poprowadzono pomarańczową strzałkę skierowaną w lewo i lekko w górę. Układ wewnętrzny jest układem nieinercjalnym. Porusza się on względem układu inercjalnego z przyspieszeniem mała litera a z indeksem dolnym mała litera u i strzałką oznaczającą wektor. Wektor tego przyspieszenia symbolizuje pomarańczowa strzałka przyłożona do początku wewnętrznego układu Współrzędnych.

Przyspieszenie $\vec{a}_u$ jest przeciwne do przyspieszenia $\vec{a}$, z którym porusza się każde ciało izolowane, obserwowane w wybranym układzie nieinercjalnym:

II zasada dynamiki Newtona w nieinercjalnym układzie odniesienia

Czy można stosować II zasadę dynamiki w nieinercjalnym układzie odniesienia? Tak. Musimy jednak w jakiś sposób uwzględnić niejednostajny charakter ruchu tego układu. Przyjęto następujące postępowanie. Przy opisie ruchu ciała o masie $m$ w takim układzie do sił działających na to ciało dodajemy siłę pozornąsiła pozornasiłę pozorną, zwaną siłą bezwładności $\vec{F}_b$ powiązaną z masą rozpatrywanego ciała i przyspieszeniem układu:

Jeśli na ciało działają realne siły, to ich wypadkowa $\vec{F}_\text{wyp}$ jest taka sama w każdym układzie odniesienia - inercjalnym bądź nieinercjalnym. W pierwszym przypadku ruch tego ciała opisujemy za pomocą równania

W przypadku układu nieinercjalnego II zasada dynamiki uwzględnia pozorną siłę bezwładności i przyjmuje postać

Więcej informacji na temat sił bezwładności, w szczególności z czego wynika ich obecność w układach nieinercjalnych, znajdziesz w e‑materiale „Co to jest siła bezwładności i jakie są jej cechy?”.

Przykład

Wyobraź sobie, że jedziesz pociągiem, a w przedziale, na półce naprzeciw Ciebie, położona jest ciężka waliza. Gdy pociąg porusza się ze stałą prędkością, to związany z nim układ jest układem inercjalnym. Na walizę w kierunku pionowym działają równoważące się siły ciężkości i sprężystości podłoża, a w kierunku poziomym – nie działa żadna siła (Rys. 4.). Waliza jest więc ciałem izolowanym i pozostaje w spoczynku względem pociągu.

RhXFT8X5mfsT9

Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym w centralnej części widocznej jest prostokąt o szarych krawędziach i białym wypełnieniu. Ten symbolizuje wagon pociągu. Wagon pociągu porusza się ze stałą prędkością mała litera v ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor tej prędkości narysowane jest w postaci poziomej i niebieskiej strzałki skierowanej w lewo. Strzałka to wychodzi z wnętrza prostokąta, symbolizującego wagon i wychodzi poza jego obręb. W górnej lewej części Prostokąta widoczna jest półka, na której umieszczono walizkę. Półka narysowana jest w postaci szarego prostokąta wychodzącego z górnej lewej krawędzi prostokąta symbolizującego wagon. Walizka widoczna jest w postaci niebieskiego prostokąta, leżącego na półce z półokrągłym, niebieskim uchwytem u góry. Wagon porusza się ze stałą prędkością, a zatem na walizkę nie działają żadne siły w kierunku poziomym.

Gdy pociąg gwałtownie zahamuje, może zdarzyć się, że waliza spadnie z półki. Dlaczego tak się dzieje? Hamujący pociąg nie jest już układem inercjalnym - stał się układem nieinercjalnym. W tym układzie pojawia się siła bezwładności. To ona „ciągnie” walizę i nierzadko zsuwa ją z półki! Tak jak poprzednio, działające na walizę siły przedstawmy graficznie (Rys. 5.), z pominięciem sił działających w kierunku pionowym:

RwYI81O5YH16M

Rys. 5. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym w centralnej części widocznej jest prostokąt o szarych krawędziach i białym wypełnieniu. Ten symbolizuje wagon pociągu. Wagon pociągu porusza się ze stałą prędkością mała litera v ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor tej prędkości narysowane jest w postaci poziomej i niebieskiej strzałki skierowanej w lewo. Strzałka to wychodzi z wnętrza prostokąta, symbolizującego wagon i wychodzi poza jego obręb. W górnej lewej części Prostokąta widoczna jest półka, na której umieszczono walizkę. Półka narysowana jest w postaci szarego prostokąta wychodzącego z górnej lewej krawędzi prostokąta symbolizującego wagon. Walizka widoczna jest w postaci niebieskiego prostokąta, leżącego na półce z półokrągłym, niebieskim uchwytem u góry. Na rysunku zaznaczono również w postaci niebieskiej i poziomej strzałki skierowanej w prawo. Przyspieszenie, mała litera a z indeksem dolnym mała litera u i strzałką oznaczającą wektor. Strzałka ta wychodzi w prawej dolnej części wagonu i wychodzi poza jego obręb. Zwrot wektora przyspieszenia, z jakim porusza się u wagon, jest przeciwny do zwrotu wektora i jego prędkości. Oznacza to, że wagon porusza się ruchem opóźnionym. Długość wektora przyspieszenia jest krótsza niż długość wektora prędkości. Jeżeli wagon kolejowy porusza się z przyspieszeniem różnym od zera w dowolnym kierunku, oznacza to, że na ciał znajdujące się wewnątrz działają dodatkowe siły. W tej sytuacji na walizką umieszczoną na półce w wagonie działa siła bezwładności wielka litera F z indeksem dolnym mała litera b i strzałką oznaczającą wektor. Siłę tę narysowano w postaci czerwonej i poziomej strzałki przyłożonej do środka masy walizki i skierowanej w lewo. W realnym układzie na ciało w tym przypadku walizkę działa również siła tarcia wielka litera F z indeksem dolnym mała litera t i strzałką oznaczającą wektor. Siłę tarcia narysowano w postaci czerwonej i poziomej strzałki skierowanej w prawo. Strzałkę tę przyłożono do punktu znajdującego się na powierzchni stycznej pomiędzy walizką a półką, na której się ona znajduje. Strzałka symbolizująca siłę tarcia jest krótsza niż strzałka symbolizująca siłą bezwładności. Oznacza to, że siła bezwładności ma większą wartość. Na walizkę działa zatem niezrównoważona siła wypadkowa. Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki walizka będzie poruszać się z przyspieszeniem różnym od zera w kierunku poziomym i ze zwrotem zgodnym ze zwrotem siły o większej wartości. Na rysunku zaznaczono przyspieszenie wypadkowe walizki mała litera a z indeksem dolnym mała litera w i strzałką oznaczającą wektor. Wektor tego przyspieszenia narysowano w postaci zielonej i poziomej strzałki skierowanej w lewo zgodnie ze zwrotem siły bezwładności. Strzałkę przyłożono do lewej i dolnej krawędzi walizki.

Pociąg porusza się w lewo, z prędkością $\vec{v}$, której wartość maleje. Oznacza to, że podczas hamowania wektor przyspieszenia pociągu $\vec{a}_u$ skierowany jest w prawo. Oba te wektory przedstawiamy w wybranym inercjalnym układzie odniesienia, na przykład związanym z torowiskiem.

Znak minus we wzorze $\vec{F}_b = -m\vec{a}$ oznacza, że siła bezwładności skierowana będzie przeciwnie do przyspieszenia, czyli w lewo. Analogicznie, przy ruszaniu pociągu z miejsca w lewą stronę, siła bezwładności będzie popychać walizę w kierunku ściany.

Wprawienie w ruch walizy powoduje pojawienie się siły tarcia kinetycznego $\vec{F}_t$ o zwrocie przeciwnym do siły bezwładności. Tak więc przyspieszenie walizy $\vec{a}_w$ - względem pociągu - wyznaczymy z równania

Uwzględniliśmy w nim, że wypadkowa realnych sił działających na walizę jest równa sile tarcia. Jeżeli dodatkowo uwzględnimy, że wartość siły tarcia jest mniejsza od wartości siły bezwładności, oraz że mają one przeciwne zwroty, to wartość przyspieszenia walizy da się wyrazić jako

Ściśle rzecz ujmując, stwierdzamy, że waliza będzie poruszać się prostoliniowo z takim przyspieszeniem do chwili, gdy jej środek masy przekroczy brzeg półki. Wtedy waliza zacznie obracać i spadnie z półki; ten nowy ruch wymagałby oddzielnej analizy.

Więcej przykładów opisu ruchów w układach nieinercjalnych znajdziesz w e‑materiale „Analiza ruchu ciał w układach nieinercjalnych”.

Słowniczek