Przeczytaj
Obliczymy, ile jest sześciocyfrowych liczb naturalnychliczb naturalnych, których zapis dziesiętny spełnia jednocześnie dwa następujące warunki:
na pierwszym i na drugim miejscu występują cyfry parzyste,
na piątym i na szóstym miejscu występują cyfry podzielne przez .
Zauważmy, że liczbę sześciocyfrową
można utożsamić z sześcioelementowym ciągiemciągiem , gdzie współczynniki , , , , , to kolejne cyfry zapisu dziesiętnego liczby .
Liczba sześciocyfrowa, która spełnia warunki zadania, ma następujące ograniczenia dla swoich cyfr:
cyfra jest różna od zera i parzysta, a więc ,
cyfra jest parzysta, zatem ,
cyfry i są podzielne przez , skąd , ,
cyfry oraz mogą przyjmować dowolną z dziesięciu dostępnych wartości , .
Korzystając z reguły mnożeniareguły mnożenia, stwierdzamy, że dla takich , , , , , liczba sześciocyfrowych ciągów jest równa .
Wobec tego sześciocyfrowych liczb naturalnychliczb naturalnych spełniających warunki zadania jest również .
Obliczymy, ile jest pięciocyfrowych liczb naturalnychliczb naturalnych podzielnych przez , w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są mniejsze od .
Rozumując podobnie jak w poprzednim przykładzie stwierdzamy, że każdej liczbie pięciocyfrowej
można wzajemnie jednoznacznie przypisać pięcioelementowy ciągciąg jej kolejnych cyfr.
Ponadto liczba naturalna jest podzielna przez , kiedy jej dwie ostatnie cyfry w zapisie dziesiętnym tworzą liczbę podzielną przez .
Zatem taka liczba pięciocyfrowa spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy:
,
,
oraz gdy ciągciąg dwóch ostatnich cyfr jest jednym z następujących trzech:
, , .
Na podstawie reguły mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy, że odpowiadających jej ciągówciągów pięciocyfrowych jest . Oznacza to, że są liczby spełniające warunki zadania.
Obliczymy, ile jest wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnychliczb naturalnych, które jednocześnie spełniają poniższe trzy warunki:
cyfra jedności jest o mniejsza od cyfry dziesiątek,
cyfra setek jest o większa od cyfry tysięcy,
cyfry dziesiątek tysięcy i setek tysięcy są równe.
Każdej liczbie ośmiocyfrowej
można wzajemnie jednoznacznie przypisać ośmioelementowy ciągciąg jej kolejnych cyfr.
Z treści zadania wynika, że: , , .
Zatem taka liczba ośmiocyfrowa spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy:
,
,
oraz ,
oraz ,
oraz .
Zauważmy, że:
dla każdej z możliwych wartości istnieje dokładnie jedna odpowiadająca jej wartość ,
dla każdej z możliwych wartości istnieje dokładnie jedna odpowiadająca jej wartość ,
dla każdej z możliwych wartości istnieje dokładnie jedna odpowiadająca jej wartość .
Na podstawie reguły mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy, że takich liczb ośmiocyfrowych jest .
Obliczymy, ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych większych od , których wszystkie cyfry są parzyste.
Każdej liczbie czterocyfrowej: można wzajemnie jednoznacznie przypisać czteroelementowy ciągciąg jej kolejnych cyfr. Z warunków zadania wynika, że .
Rozpatrzmy dwa rozłączne przypadki:
1. ,
2. .
Ad 1 W przypadku pierwszym mamy kolejne rozłączne przypadki:
Ad 1.1 i ; wtedy ,
Ad 1.2 i ; wtedy ,
Ad 1.3 ; wtedy , .
Ad 2 Natomiast w przypadku drugim liczby , , , spełniają warunki:
,
, , .
Korzystając z reguły mnożeniareguły mnożenia, obliczamy, ile jest ciągów spełniających warunki zadania w każdym z powyższych przypadków:
Ad 1.1 ,
Ad 1.2 ,
Ad 1.3 ,
Ad 2 .
Korzystając z reguły dodawaniareguły dodawania, obliczamy, ile jest wszystkich liczb spełniających warunki zadania:
.
Słownik
funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste
dodatnia liczba całkowita
liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z sposobów, druga – na jeden z sposobów, trzecia – na jeden z sposobów i tak dalej do -tej czynności, która może zakończyć się na jeden z sposobów, jest równa
jeżeli zbiory są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów :