Przeczytaj
Wyznaczanie dziedziny wyrażeń algebraicznych zapisanych w formie ułamka
Zajmiemy się wyznaczaniem dziedziny wyrażeń algebraicznych zapisanych w formie ułamka, ale zaczniemy od przypomnienia, że określając dziedzinę wyrażenia algebraicznego należy podać dla wszystkich zmiennych występujących w wyrażeniu warunki, przy których spełnieniu wyrażenie przyjmuje jakąś wartość; w szczególności:
mianowniki ułamków i liczby przez które dzielimy muszą być różne od zera;
liczby podpierwiastkowe pierwiastków parzystego stopnia nie mogę być liczbami ujemnymi;
podstawa logarytmu i liczba logarytmowana muszą być dodatnie, ponadto podstawa logarytmu musi być różna od ;
zero nie może być podstawą potęgi o wykładniku .
Wyznaczając dziedzinę wyrażeń algebraicznych zapisanych w formie ułamka należy pamiętać, że:
jeżeli w wyrażeniu algebraicznym występuje tylko jedna niewiadoma, określając jego dziedzinę wystarczy podać podzbiór zbioru liczb rzeczywistych zawierający wszystkie liczby, po których wstawieniu w miejsce niewiadomej będzie możliwe obliczenie wartości wyrażenia. Czasem zamiast podawać zbiór liczb spełniających powyższy warunek prościej jest zapisać, które liczby do dziedziny nie należą;
jeżeli w wyrażeniu algebraicznym jest więcej niewiadomych, należy określić warunki dla wszystkich niewiadomych. Czasem warunki te będą zredagowane podobnie, jak w przypadku jednej niewiadomej, mogą też mieć formę pewnych zależności między różnymi zmiennymi.
W pierwszych czterech przykładach określimy dziedzinę ułamków algebraicznych z jedną zmienną, pokazując za każdym razem co najmniej dwa sposoby zapisu warunków określających dziedzinę.
Podamy dziedzinę wyrażeniadziedzinę wyrażenia .
Rozwiązanie
Jedyny warunek na istnienie tego ułamka wynika z niemożności podzielenia przez .
Zatem .
Można też ten warunek zapisać trochę inaczej: .
Podamy dziedzinę wyrażenia .
Rozwiązanie
Ułamek ten jest określony, gdy jego mianownik przyjmuje wartość różną od .
Wyznaczmy rozwiązania równania
lub lub .
Zatem
Możemy to zapisać inaczej: .
Możemy też podać, że i i .
Podamy dziedzinę wyrażenia .
Rozwiązanie
Ułamek ten będzie określony, gdy mianowniki ułamków , i będą różne od .
Oznacza to, że .
Możemy zatem stwierdzić, że .
Zapisując inaczej: .
Podamy dziedzinę wyrażenia .
Rozwiązanie
Sprowadźmy mianownik do postaci iloczynowej:
.
Ułamek jest określony, gdy mianownik jest liczbą różną od zera, a pod pierwiastkiem mamy liczbę nieujemną:
.
Zatem .
Podsumowując: .
Możemy zapisać, że
lub równoważnie .
W kolejnych przykładach zajmiemy się wyznaczeniem i zapisaniem dziedziny wyrażenia algebraicznego w formie ułamka z więcej niż jedną niewiadomą.
Określimy dziedzinę wyrażenia .
Rozwiązanie
Wyrażenie jest określone, gdy mianownik przyjmuje wartości różne od zera.
Zatem , , .
Określimy dziedzinę wyrażenia .
Rozwiązanie
Musimy ustalić, kiedy mianownik wyrażenia przyjmuje wartości różne od .
Zauważmy, że mianownik łatwo zapisać w postaci iloczynowej:
Zatem .
Ułamek jest zatem określony, gdy spełnione są jednocześnie następujące warunki:
.
Określimy dziedzinę wyrażenia .
Rozwiązanie
Stosując wzór skróconego mnożenia możemy zapisać
.
Zatem .
Określimy dziedzinę wyrażenia .
Rozwiązanie
Przekształćmy mianownik stosując wzór skróconego mnożenia:
.
Wyrażenia oraz są zawsze nieujemne - więc ich suma również.
Wyrażenie w mianowniku może przyjąć wartość tylko, gdy
,
czyli tylko dla .
Ułamek jest więc określony, gdy
.
Równoważnie można to zredagować np. tak:
.
Słownik
wszystkie liczby rzeczywiste, dla których to wyrażenie ma sens liczbowy